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1、学习必备欢迎下载切莫忽视一元二次方程中的隐含条件错误之一：忽视二次项系数不能为0例 1、已知关于的一元二次方程的两根为、。问：为何值时，？误解 ：关于的一元二次方程的两根为、，根据题意，由求根公式得：，即，解得：当时，。分析 ：既然是一元二次方程，那么这里就有一个隐含条件，即，也就是；还有，方程中的一次项系数含有，这就意味着被开方数，即，这也是题目中的一个隐含条件，综合起来，即，而上述解答中就忽视了这个条件。另外，既然方程有两个根，那么到底是两个相等的 根 还 是 两 个 不 相 等 的 根 呢 ？ 这 得 由 判 别 式 来 确 定 ， 所 以 还 应 求 出 判 别 式 的 值 ：， 由
2、于， 所 以 可 判 定0，即方程有两个不相等的实数根。而又因为， 所 以 可 判 定， 即， 由 韦 达 定 理 得 ：，又由于，解得正确答案为：。例 2、 关于的一元二次方程有两个实数根， 求的值 .。误解 ：方程有两个实数根，0，即解之得分析 ：，即时，原方程为一元一次方程。名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页，共 7 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载所以，正确的答案应为2，且。错误之二：忽视负的平方根和算术平方根的非
3、负性例 3、解方程：误解 ：，分析 ： 此解错就错在由到， 忽视了平方根还有一个负的，导致丢掉了一个解。正确的解为：，原方程的解为：，例 4、已知是方程的一根，求作以和为根的一元二次方程。误解 ：把代入原方程，得。解之得：，。名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页，共 7 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载当时，所求的一元二次方程为；当时，所求的一元二次方程为。分析 ： 此解主要错在未考虑到这一问题。 因而应舍去。正解应为：所求
4、的一元二次方程为。错误之三：忽视结论的多解情况例 5、若关于 x 的方程只有一个解，试求的值与方程的解. 误解 ：将原方程化简，得当时，原方程有唯一解分析 ：将原方程化简，得：，应分为两种情况讨论。当时，原方程有唯一解；当时，方程的判别式为： 0 方程总有两个不同的实数根，按题设原方程只有一个解，因此必有一根是原方程的增根，从原方程知道，增根只可能是使即或. 显然， 0 不是的根，故是此方程的根。将代入得：；因为一根是，所以由根与系数的关系可求出方程的另一 根（应用两根之和或两根之积结果相同），为：，名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理
5、归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页，共 7 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载当时，原方程也有唯一的解为. 例 6、已知、分别满足和，则的值是多少？误解 ：由题意可知、应是方程（）的两个根， 0，方程的两根不等，根据韦达定理得：，分析 ：既然、分别满足和，那么就有这种情况，而上述解答看似很合理，却忽视了这种情况。这其实是一个“陷阱”，应必须考虑到这种情况。在时有上述结论存在，而当时，。本题正确的解应为或 2 那么弄丢这种存在情况的原因在哪里呢？主要是在于把、视为方程（）的两个根，这就自然而然地忽视了这种情况的存在了，
6、因为的判别式在的情况下0，就没有的这种情况了。错误之四：忽视二次方程的的取值例 7、已知关于的二次方程的两个实数根的平方和为17，求的值。误解 ：设方程的两个实数根为、，由韦达定理得：，名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 4 页，共 7 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载，即，解得：，分析 ：设方程的两个实数根为、，利用韦达定理求得：，再由两个实数根的平方和为17，得解得：，这样解看似合理的，但最关键的一点是忽视了的判别式的取值情况
7、。当时， 0 化简得，方程无实数根；当时，0，方程有实数根。故只取。例 8、已知、是方程的两实数根， 且，求的值。误解： 根据题意由韦达定理得：，即，。解之得：，。分析 ：解题时只注意到方程两根的等量关系，而忽视了方程有两个实根时0 这一先决条件，而当时 0，故应当舍去。正解应为。错误之五：忽视对题目中关键词的辨析名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 5 页，共 7 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载例 9、为何实数时，方程有实数根。
8、误解： 要使方程有实数根，只需，即，解之得：，又，且。分析 ：解法中对方程“有实根”和“有两个实根”未加以辨析，而当时，原方程为一元一次方程，也有实根，是。所以此题错在误认为原方程一定是一元二次方程，而没想到也可以是一元一次方程。正解为。例 10、是方程的两实根，求的最小值。误解 ：由已知得，当时，的最小值为1。分析 ：解法中没有注意到有实根的意义和本质是什么，因而忽视了方程有两实根时这一前提条件。当时， 0，此时方程无实根，正解的解法还应当求出的取值范围。原方程有两实根解，解得：，当时，的最小值为错误之六：忽视对根的符号的考察例 11、已知、是方程的两个实根。求的值。名师归纳总结 精品学习资
9、料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 6 页，共 7 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载误解：设，则，由韦达定理得：，。分析： ，可知0，且0， 0，故应当舍去。正确的解应当为。例 12、设方程的两根恰好是直角三角形两锐角的正弦值。求的值。误解 ：设原方程两根为，则，；又由题意知。即，解之得，而当时， 0，。分析： 解法中考虑0 是非常必要的，但是却忽视了为两锐角正弦值，应当满足 01， 01， 即0， 0。 而当时，0，0。故应当舍去，正解为。名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 7 页，共 7 页 - - - - - - - - -
