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1、一元二次方程本章内容 “ 一元二次方程” 是课程标准 “ 数与代数 ” 的重要内容，也是方程中重点内容，是学习二次函数等内容的基础，本节是本章的起始内容，主要学习下列三个内容：建立一元二次方程此内容是本节课的难点之一，在后续的内容中将继续学习，为此设计较易的拓展应用 的例 4 及其变式题，课时作业 的第 6、7 题。一元二次方程的概念此内容是本节课的重点，是学习一元二次方程的基础，为此设计拓展应用 的例 1、例3，当堂检测 的第 1、2、4 题， 课时作业 的第 15 题。2.一元二次方程的解的含义利用方程解的含义，可求方程中的待定系数，也可由此把二次三项式变形求值，为此设计拓展应用 的例 2
2、，当堂检测 的第 3 题， 选做题 和 备选题目 的问题。点击一：一元二次方程的定义答案：（5）针对练习。答案： 一元二次方程二次项的系数不等于零。故m 3点击二：一元二次方程的一般形式元二次方程的一般形式是ax2+bx+c 0（a0 ） ，其中 ax2是二次项， bx 是一次项， c 是常数项， a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数 .任何一个一元二次方程都可以通过整理转化成一般形式.由此，对于一个方程从形式上，应先将这个方程进行整理，看是否符合ax2+bx+c0（ a0 ）的一般形式.其中，尤其注意a0的条件，有了a0的条件，就能说明ax2+bx+c0 是一元二次方程.若不能确定
3、a0 ，并且 b0 ，则需分类讨论：当a0 时，它是一元二次方程；当a0 时，它是一元一次方程.针对练习3:答案：原方程化为一般形式是:5x2+8x 2=0(若写成 5x28x+2=0,则不符合人们的习惯),其中二次项是5x2,二次项系数是5,一次项是8x,一次项系数是8,常数项是 2(因为一元二次方程的一般形式是三个单项式的和,所以不能漏写单项式系数的负号).点击三：一元二次方程的根的定义的意义一元二次方程的根的定义可以当作性质定理使用，即若有实数m 是一元二次方程名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - -
4、 - - - - - - - - - - - 第 1 页，共 10 页 - - - - - - - - - ax2+bx+c0 （a0 ） 的根，则 m 必然满足该方程， 将 m 代入该方程， 便有 am2+bm+c0 （a0 ） ；定义也可以当作判定定理使用，即若有数m 能使 am2+bm+c0（a0 ）成立，则m 一定是ax2+bx+c0 的根 .我们经常用定义法来解一些常规方法难以解决的问题，能收到事半功倍的效果 .针对练习答案： m3+2m2+2009 m3+ m2+m2+2009m （m2+ m） + m2+2009m+ m2+20091+20092010.类型之一：一元二次方程的定
5、义例 1.关于 x 的方程2322mxxxmx是一元二次方程，m 应满足什么条件？【解析】先把这个方程变为一般形式，只要二次项的系数不为0 即可 .【解答】 由 mx23x=x2mx+2 得到（m1）x2+（m3）x2=0,所以 m10 ，即 m 1.所以关于x 的方程2322mxxxmx是一元二次方程，m 应满足 m 1.【点评】要特别注意二次项系数a0 这一条件，当a=0 时，上面的方程就不是一元二次方程了 .当 b=0 或 c=0 时，上面的方程在a0 的条件下，仍是一元二次方程，只不过是不完全的一元二次方程.类型之二：考查一元二次方程一般形式一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0
6、 （a、b、c 是已知数， a0 ） ，其中a 叫做二次项系数， b 叫做一次项系数c 叫做常数项只有将方程化为一般形式之后，才能确定它的二次项系数、一次项系数和常数项这里特别要注意各项系数的符号。例 2 一元二次方程（x+1）2x=3（ x22）化成一般形式是.【解析】一元二次方程一般形式是ax2+bx+c=0（a0 ） ，对照一般形式可先去括号，再移项，合并同类项，得2x2 x7=0。【解答】 2x2x7=0 类型之三：考查一元二次方程的解使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解。例 3 已知关于x 的一元二次方程 （m2）x2+3x+（m2 4）=0 有一个解是0，求
7、m 的值。【解析】；因为 0 是方程的解，所以m24=0， m= 2。又因为方程是关于x 的一元二次方程，所以二次项系数m20 、m 2 ，所以 m 的值是 2。【解答】 m=2名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页，共 10 页 - - - - - - - - - 【点拨】 本题逆用一元二次方程解的定义易得出m 的值， 但不能忽视一元二次方程成立的条件 m20 ，因此在解题时要重视解题思路的逆向分析。类型之四：综合应用例 4. 已知一元二次方程有一
8、个根为1，那么这个方程可以是（只需写出一个方程）【解析】这是一道结论开放题，答案不唯一，解这类题的一般思路有两种：一种思路是根据根的定义，写一个含有1 的等式，例如0312152，再把1 换成x：03252xx；也可根据等式性质，由 x=1，可得 x+2=1+2 ，两边再平方得9)2(2x即可。【解答】答案不唯一。例如：9)2(2x等。1.下列方程中的一元二次方程是( )A.3(x+1)2=2(x1) B.21x+x1 2=0C.ax2+bx+c=0 D.x2+2x=(x+1)(x 1)【解析】 A 注意一元二次方程中二次项系数不能为0,并且最高为二次.2.把方程 5x2+6x+3=0 的二次
9、项系数化为1,方程可变为 ( )A.x2+56x+53=0 B.x26x 3=0 C.x256x53=0 D.x256x+53=0【解析】 C 注意方程两边除以5,另两项的符号同时发生变化.3. 已知关于 x 的方程 (m3)72mxx=5 是一元二次方程，求m 的值 .【解析】利用一元二次方程的定义，要注意二次项系数不为0 的条件 .【解答】由题意,得 m27=2 且 m30 ，所以只能取m=3，即当m=3 时，方程 (m3)72mx x=5 是一元二次方程.1.将方程 3x22x1 化成一元二次方程的一般形式后，二次项系数、一次项系数和常数项系数可以是 ( ) A. 3,2,1 B. 3,
10、2,1 C. 3, 2,1 D. 3,2,1【解析】 C 将方程 3x22x1 化成一元二次方程的一般形式，可化为3x22x1名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页，共 10 页 - - - - - - - - - 2.下列方程中，是关于x 的一元二次方程的有_.x22xy1 5x20 2x21=3x（ m21） xm26 3x3x0 x2+1x1=0【解析】 判断一个方程是否是一元二次方程,必须具备以下三个条件：方程中只含有一个未知数；方程中未知数
11、的最高次数是2；方程两边都是关于未知数的整式方程【答案 】3.已知方程 (m+2)x2+(m+1)x m=0，当 m 满足 _时，它是一元一次方程；当m满足 _时，它是一元二次方程. 【解析】当m20，m 2 时，方程是一元一次方程；当m20 ，m 2 时，方程是二元一次方程.【答案 】m 2 m 24.把方程x(x+1)=4(x 1)+2 化为一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数、常数项.【解析】题中方程不是一般形式，应先去括号、移项、合并同类项，将方程化为一般形式.在化的时候，移项要变号，合并同类项要准确.【解答】一般形式为x23x+2=0，它的二次项系数为1，一次项系数为3，常数项
12、为2.1. a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项，且满足1a+(b2)2+|a+b+c|=0，求满足条件的一元二次方程. 【解析】 此题关键是理解算术根、完全平方数和绝对值的意义，即1a0 ， (b 2)20 ，|a+b+c|0，只有使各项为0 时，其和才为 0.本题考查了对已学知识的掌握情况，同时与新学的一元二次方程知识密切联系. 【解答】由1a+(b2)2+|a+b+c|=0，名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 4 页，共 10 页 -
13、- - - - - - - - 得.0,02, 01cbaba解得 a=1,b=2,c=3. a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项，所求的方程为x2+2x3=0. 课时作业：7填表：方程x21=2x x7x2=0 63y2=0 （x2）（2x+3 ）=6 一般形式二次项系数一次项系数常数项8判断下列各题括号内未知数的值是不是方程的解：（1）x2+5x+4=0 （x1=1，x2=1，x3=4） ；（2） （3x1）2=3（x+2）2=76x （x1=3，x2=2，x3=1，x4=1） 9根据题意，列出方程：有一面积为60m2的长方形，将它的一边剪去5m，另一边剪去2m，恰好变成正方形
14、，?试求正方形的边长名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 5 页，共 10 页 - - - - - - - - - 10当 m 满足什么条件时，方程 m（x2+x）=2x2（x+1）是关于 x 的一元二次方程？当 m 取何值时，方程m（ x2+x）=2x2（ x+1）是一元一次方程？B 等级11把方程2(21)(1)(1)xxxx化成一般形式是12一元二次方程226xx的二次项系数、一次项系数及常数之和为13已知1x是方程260 xax的一个根，则a14
15、关于x的方程2(1)230mxmx是一元二次方程， 则m的取值范围是15已知236xx的值为9，则代数式2392xx的值为16 下列关于x的方程：20axbxc；2430 xx；2540 xx；23xx中，一元二次方程的个数是（）A1 个B2 个C3 个D4 个17若2530axx是关于x的一元二次方程，则不等式360a的解集是 （）A2aB2aC2a且0aD12a18关于x的一元二次方程22(1)10axxa的一个根是0，则a的值为 （）A1B1C1或1D1219已知2是关于x的方程23202xa的一个解，则21a的值是（）A3B4C5D620如下图所示，相框长为10cm，宽为6cm，内有宽
16、度相同的边缘木板，里面用来夹相片的面积为32cm2，则相框的边缘宽为多少厘米？我们可以这样来解：名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 6 页，共 10 页 - - - - - - - - - （1）若设相框的边缘宽为cmx，可得方程（一般形式） ；（2）分析并确定x的取值范围；（3）完成表格：x0 1 2 3 （1）中2axbxc（4）根据上表判断相框的边框宽是多少厘米？C 等级21. 关于 x2= 2 的说法，正确的是（）A.由于 x20 ，故 x2不可能等于 2，因此这不是一个方程B.x2=2 是一个方程，但它没有一次项，因此不是一元二次方程C.x2=2 是一个一元二次方程D.x2=2 是一个一元二次方程，但不能解22. 若3x是方程2360 xmxm的一个根，则m的值为（）A1B2C3D423无论 a 为何实数，下列关于x的方程是一元二次方程的是（）A(a21)x2+bx+c=0 B.ax2+bx+c=0 C a2x2+bx+c=0 D.(a
