2022年一元二次方程之判别式法与韦达定理

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1、学习必备欢迎下载一元二次方程之判别式法与韦达定理（一）知识点梳理一元二次方程ax2+bx+c=0（a、b、c 属于 R，a0 ）根的判别， =b2-4ac，不仅用来判定根的性质，而且作为一种解题方法，在代数式变形，解方程(组)，解不等式，研究函数乃至几何、三角运算中都有非常广泛的应用。韦达定理除了已知一元二次方程的一个根，求另一根； 已知两个数的和与积，求这两个数等简单应用外，还可以求根的对称函数，计论二次方程根的符号，解对称方程组，以及解一些有关二次曲线的问题等，都有非常广泛的应用。1、一元二次方程根的判别式：acb42（1）当 0时方程有两个不相等的实数根；（2）当 =0时方程有两个相等的

2、实数根；（3）当 0时方程没有实数根，无解；（4）当 0 时方程有两个实数根（5）根的判别式 b24ac 的意义， 在于不解方程可以判别根的情况，还可以根据根的情况确定未知系数的取值范围。2、一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）：（ 1） 若21, xx是 一 元 二 次 方 程02cbxax的 两 个 根 ， 那 么 ：abxx21，acxx21（2） 以两个数21,xx为根的一元二次方程（二次项系数为1） 是：0)(21212xxxxxx3、一元二次方程的两根和与两根积和系数的关系在以下几个方面有着广泛的应用：（1）已知方程的一根，求另一个根和待定系数的值。（2）不解方程，求某些代数式的

3、值。（3）已知两个数，求作以这两个数为根的一元二次方程。（4）已知两数和与积，求这两个数。（5）二次三项式的因式分解。注意：在应用根与系数的关系时，不要忽略隐含条件。00a例题讲解例 1、当k为何值时，关于x的方程222123xkxkk：两个不相等的实数根；有两个相等的实数根；没有实数根。名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页，共 8 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载例 2、mxmxmxm为何值时，关于的方程有两个相等的实数根

4、？并2350求出这时方程的根。例 3、已知方程的两实数根为、 ，不解方程求下列各式的值。xx2310（ ）；（ ）；（ ）；（ ）；（ ）；（ ）12341156343223322例 4、已知关于的方程xxkxk2220（1）求证：无论k 取任何实数值，方程总有实数根。（2）若等腰三角形的一边长为1，另两边长恰是这个方程的两个根，求三角形的周长。名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页，共 8 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载走

5、进中考专题训练一、填空题：1关于 x 的一元二次方程ax2+bx+c=0 的两根为x1，x2，则 x1+x2= ，x1x2= ；若方程 x2+px+q=0 的两根为,则= ，。2 若方程 2x(x+3)=1 的两根分别为x1， x2， 则 x1+x2= ， x1x2= ， x12x2+ x1x22= ，x12+ x22=，2144xx= 。3关于 x 的一元二次方程013222axx的一个根为2，则 a 的值为。4已知一元二次方程022aaxx的两根之和为4a3，则两根之积为。5当 m 时，一元二次方程042mxx有实根；当m 时，两根同为正；当 m 时，两根异号。6以31,21为根的一元二次

6、方程为。7已知 x1，x2是方程0362xx的两个实数根，则2112xxxx的值为。8如果一元二次方程062mxx的两个根分别比一元二次方程062myy的两个根均大5，则 m 的值为。二、解答题：9不解方程，求下列各方程的两根之和与两根之积：(1) 0322x(2) 0372xx(3) 5)2(3xx10k 取何值时，方程kx2（ 2k+1）x+k=0 ， （1）有两个不相等的实数根；（2）有两个相等的实数根；（ 3）无实数根名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - -

7、- 第 3 页，共 8 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载11已知关于x 的方程012)2(2mxmx. （1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）当 m 为何值时，方程的两根互为相反数？并求出此时方程的解。12已知关于x 的方程04) 12(22mxmx，如果方程的两个不相等的实数根的平方和等于15，求 m 的值。13已知关于x 的一元二次方程022axx. （1）如果此方程有两个不相等的实数根，求a 的取值范围；（2）如果此方程有两个实数根为x1，x2，且满足321121xx，求 a 的值。14设 x1，x2是关于 x 的一元二次方程024222aaaxx的两个实数

8、根，当a 为何值时，2221xx有最小值？最小值是多少？名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 4 页，共 8 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载自我检测1方程（ m+2）xm+3mx+1=0 是关于 x 的一元二次方程，则（）Am 2Bm=2 Cm=2 Dm= 2 2已知关于x 的方程41x2（ m3）x+m2=0 有两个不相等的实数根，则m 的最大整数值是（）A2 B1 C0 D 1 3k 为实数，则关于x 的方程 x2+2（k+1

9、）x+k 1=0 的根的情况是（）A有两个不相等的实数根B有两个相等的实数根C无实数根D不能确定4已知关于x 的方程（ 2m1）x28x+4=0 有两个实数根，则非负整数m 的值为（）A1 B2 C1 或 2 D0、1、2 5对任意实数m，关于 x 的方程（ m2+1）x22mx+m2+4=0 一定（）A有两个不相等的实数根B有两个相等的实数根C无实数根D不能确定6若关于x 的一元二次方程kx22x+1=0 有实数根，则k 的取值范围是（）Ak1 Bk1C k1 且 k0Dk1且 k07若方程0232baxx的两根和为4，积为 2，则 a，b 分别为（）A 12 与-3 B4 与 3 C12

10、与 3 D 4 与 3 8已知一元二次方程02cbxax， 若0cba， 则该方程一定有一个根为（）A0 B1 C 1 D2 9试证明：关于x 的方程（ a28a+20）x2+2ax+1=0 ，不论 a 取何值，该方程都是一元二次方程名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 5 页，共 8 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载一元二次方程之判别式法与韦达定理（二）走进中考专题训练一、填空题1若方程（ m 1）xm+12x=3 是关于 x 的

11、一元二次方程，则m=_2对于方程 （m1）x2+ （m+1） x+3m+2=0 ，当 m_时，为一元一次方程； 当 m_时为一元二次方程3一元二次方程ax2+bx+c=0 至少有一个根为零的条件是_5 如果 m 为任意实数，则一元二次方程x2mx+21m2+m+32=0 的解的情况是 _6k1 时，关于x 的方程 2（k+1）x2+4kx+2k 1=0 的根的情况是_7若 x=a（a2 ）是关于x 的一元二次方程（k1）x2+2kx+k+3=0 的一个实数根，则k 的取值范围是 _8 若 关 于x的 方 程 （ m 1 ） x2+2mx+m+3=0有 两 个 不 相 等 的 实 数 根 ， 则

12、 =_ ，则 m 的取值范围是 _ 二、选择题9方程（ m+2）xm+3mx+1=0 是关于 x 的一元二次方程，则（）Am 2 Bm=2 Cm=2 Dm= 2 10已知关于x 的方程41x2（ m 3）x+m2=0 有两个不相等的实数根，则m 的最大整数值是（）A2 B1 C0 D 1 11k 为实数，则关于x 的方程 x2+2（ k+1） x+k 1=0 的根的情况是（）A有两个不相等的实数根B有两个相等的实数根C无实数根D不能确定12已知关于x 的方程（ 2m1）x28x+4=0 有两个实数根，则非负整数m 的值为（）A1 B2 C1 或 2 D0、1、2 13对任意实数m，关于 x 的

13、方程（ m2+1）x22mx+m2+4=0 一定（）A有两个不相等的实数根B有两个相等的实数根C无实数根D不能确定14已知关于x 的方程（ b+c）x2+2（ac）x43（ac）=0 有两个相等的实数根，则以 a、b、c 为三边长的三角形是（）A直角三角形B等腰三角形C等边三角形D不能确定15 若 关 于x的 方 程x2 （42k） x+k=0有 两 个 不 相 等 的 实 数 根 ， 则 化 简k+2+442kk的值为（）A4 B2k C 4 D 2k 16若关于x 的一元二次方程kx22x+1=0 有实数根，则k 的取值范围是（）名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - -

14、- - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 6 页，共 8 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载Ak1 Bk1Ck1 且 k0Dk1且 k0三、解答题17解关于x 的方程 2x2+（3mn）x2m2+3mnn2=018若两个关于x 的方程 x2+x+a=0 与 x2+ax+1=0 有一个公共根，求a 的值19试证明：关于x 的方程（ a28a+20）x2+2ax+1=0，不论 a 取何值，该方程都是一元二次方程21方程 x2（ k+1）x+41k=0 能否有相等的实数根若有请求出来22已知一元二次方程

15、（ab2b）x2+2（ba）x+2aab=0 有两个相等的实数根，求ba11的值名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 7 页，共 8 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载自我检测1. 下列方程中，两实数根之和等于2 的方程是（）A. xx2230B. xx2230C. 22302xxD. 36102xx2. 如果一元二次方程xx2320的两个根为xx12、，那么xx12与x x12的值分别为（）A. 3，2 B. 32，C. 32，D.

16、 32，3. 如果方程26302xx的两个实数根分别为xx12、，那么x x12的值是（）A. 3 B. 3C. 32D. 324. 如果xx12、是方程xx2310的两个根，那么1112xx的值等于（）A. 3B. 3 C. 13D. 135. 已知关于x 的方程xkxk2260()有两个相等的正实数根，则 k 的值是（）A. 2B. 10C. 2 或10D. 2 56. 若方程xxm280两实数根的平方差为16，则 m 的值等于（）A. 3 B. 5 C. 15 D. 157. 如果xx12、是两个不相等的实数，且满足xx12121，xx22221，那么x x12等于（）A. 2 B. 2C. 1 D. 18. 对于任意实数m，关于 x 的方程()()mxmxm2221240一定（）A. 有两个正的实数根B. 有两个负的实数根C. 有一个正实数根、一个负实数根D. 没有实数根名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 8 页，共 8 页 - - -