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1、精品资料欢迎下载第八章多元函数微分法及其应用一、选择题1. 极限limxyx yxy00242= (提示:令22yk x)( B )(A) 等于 0 (B) 不存在 (C) 等于12 (D) 存在且不等于 0 或122、设函数fx yxyyxxyxy( ,)sinsin11000,则极限lim( , )xyfx y00= ( C )(提示:有界函数与无穷小的乘积仍为无穷小)(A) 不存在 (B) 等于 1 (C) 等于 0 (D) 等于 2 3、设函数 f x yxyxyxyxy( , )222222000,则( , )f x y( A )(提示:在220 xy,( , )f x y处处连续;
2、在0,0 xy,令ykx,22222000limlim0(0,0)1xxykxkxfxk xk,故在220 xy,函数亦连续 . 所以,( , )f x y在整个定义域内处处连续. ) (A) 处处连续 (B) 处处有极限,但不连续(C) 仅在( 0,0 )点连续 (D) 除(0,0 )点外处处连续4、函数zfx y( , )在点(,)xy00处具有偏导数是它在该点存在全微分的( A )(A) 必要而非充分条件 (B)充分而非必要条件(C) 充分必要条件 (D)既非充分又非必要条件5、 设uyxarctan, 则ux= ( B )(A) xxy22(B) yxy22 (C) yxy22(D)
3、xxy226、设fx yyx( , )arcsin,则fx( , )2 1( A )(A)14(B)14(C)12(D)127、 设yxzarctan,vux,vuy, 则vuzz(C )名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页,共 9 页 - - - - - - - - - 精品资料欢迎下载(A)22vuvu(B)22vuuv(C)22vuvu(D )22vuuv8、若f xxxx fxxxx( ,),( ,)232612,则fxxy( ,)2= (
4、 D )(A) x32 (B) x32 (C) 21x (D) 21x9、 设zyx,则()( , )zxzy2 1( A )(A) 2 (B) 1+ln2 (C) 0 (D) 1 10、设zxyexy,则zxxx( ,)( D )(A)2122xxex() (B) 2122xxex() (C)xxex()122 (D)xxex()12211、曲线xt yt zt24sin ,cos ,在点( , ,)2 02处的法平面方程是(C )(A) 242xz (B) 224xz (C) 42yz (D) 42yz12、曲线45xyyz,在点 ( , , )8 2 4 处的切线方程是(A )(A) 8
5、42204xzy (B)xyz122044(C) xyz85244 (D)xyz351413、曲面xzyxzcoscos22在点2120,处的切平面方程为(D )(A) xz1(B) xy1(C)xy2(D )xz214、 曲面x yzxy z2236在点 ( , , )321 处的法线方程为(A )(A)xyz58531918(B)xyz3823118(C)83180 xyz(D)831812xyz15、设函数 zxy122,则点( , )00 是函数z的( B )(A)极大值点但非最大值点(B)极大值点且是最大值点(C)极小值点但非最小值点(D)极小值点且是最小值点16、设函数zfx y(
6、 , )具有二阶连续偏导数,在Pxy000(,)处,有2)()(,0)()(,0)(,0)(000000PfPfPfPfPfPfyxxyyyxxyx,则( C )名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页,共 9 页 - - - - - - - - - 精品资料欢迎下载(A)点P0是函数z的极大值点(B)点P0是函数z的极小值点(C)点P0非函数z的极值点(D)条件不够,无法判定17、函数fx y zz( , , )2在222421xyz条件下的极大值是
7、( C )(A) 1 (B) 0 (C)1 (D) 2二、填空题1、极限limsin()xyxyx0= . 答:2、极限limln()xyxyexy01222= . 答: ln23、函数zxyln()的定义域为 . 答: xy14、函数zxyarcsin的定义域为 . 答:11x, y05、设函数fx yxyxyyx( ,)ln22,则f kx ky(,)= . 答:kf x y2( , )6、设函数fx yxyxy( , ),则fxy xy(,)= . 答:222xyx(22()()(,)()()2xyxyxyf xy xyxyxyx)7、设 f x yxyxyAxy( , )ln()/11
8、 21 2222222,要使fx y( , )处处连续,则A= . 答:ln28、设 f x yxyxyx yAx y( , )tan()( , )( , )( , )( , )22220 00 0,要使f x y( ,)在(0,0)处连续,则 A= . 答:1 9、函数221xyzx的间断点是 .答:直线10 x上的所有点10、函数f x yxyyx( , )cos122的间断点为 . 答:直线 yx及 x0名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页,
9、共 9 页 - - - - - - - - - 精品资料欢迎下载11、设zxyysin()3,则zxxy21_ . 答:3cos5 12、设f x yxy( , )22,则fy( , )01= _ . 答:1 13、设 u x y zxyz( , , ),则)3, 2, 1(du=_ . 答:38316182ddlndxyz14、设 uxxy22,则在极坐标系下,ur= _ . 答:0 15、设uxyyx,则22ux= _. 答:23yx16、设uxxyln,则2ux y= _ . 答:1y17、函数 yy x( )由12x yey所确定,则ddyx= _ . 答:22xyexy18、设函数z
10、z x y( , ) 由方程xy zxyz2所确定,则zy= _ .答:2112xyzxy19、由方程 xyzxyz2222 所确定的函数 zz x y( , ) 在点( 1,0,1)处的全微分 dz= _ . 答:ddxy220、曲线 xtyt zt23213,在点 ( , , )1213处的切线方程是 _. 答:xyz12221321、 曲 线xteyezt ettt232222,在 对 应 于t1点 处 的 法 平 面 方 程是_. 答:01132eyx22、曲面 xey ez eeyzx223321在点 ( , )210 处的法线方程为 _ . 答:ezeyx2221223、 曲 面
11、ar ctanyxz14在 点 (, , )210 处 的 切 平 面 方 程 是 _. 答 :名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 4 页,共 9 页 - - - - - - - - - 精品资料欢迎下载yz2124、 设函数 zz x y( , ) 由方程123552422xxyyxyezz确定,则函数z的驻点是 _ . 答: (1,2)27、函数zxyxy2346122的驻点是 _.答: (1,1)25、若函数fx yxxyyaxby( , )222
12、36在点( ,)1 1 处取得极值,则常数a_,b_.答:a0,b4 26、函数fx y zx( , , )22在xyz22222条件下的极大值是 _答:4三、计算题1、求下列二元函数的定义域,并绘出定义域的图形. (1) 221zxy (2)ln()zxy(3)1ln()zxy (4)ln(1)zxy解:(1) 要使函数221zxy有意义,必须有2210 xy,即有221xy. 故所求函数的定义域为22(, ) |1Dx yxy, 图形为图 3.1 (2) 要使函数ln()zxy有意义,必须有0 xy. 故所有函数的定义域为( , )|0Dx yxy,图形为图 3.2 (3) 要使函数1ln
13、()zxy有意义,必须有ln()0 xy,即0 xy且1xy. 故该函数的定义域为( , )|01Dx yxyxy,图形为图 3.3 (4) 要使函数ln(1)zxy有意义,必须有10 xy. 故该函数的定义域为(,)|1Dx yxy,图形为图 3.4 O1xyO1xyx+y=0图 3.1 图 3.2 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 5 页,共 9 页 - - - - - - - - - 精品资料欢迎下载O1xyx+y=0 x+y=11O1xyy=1
14、/x1-1-1图 3.3 图 3.4 2、求极限limsinxyyxxy00211 . 解:limsinxyyxxy00211limsin()xyyxxyxy00211= 4 3、求极限 limsin()xyx yx yxy0023211 . 解:原式 =lim()sin()xyx yx yx yxy00232211limsin()xyx yxyxy002111124、求极限limxyxxyexy00416 . 解:limxyxxyexy00416lim()xyxxyexyxy00416= -8 5、设uxyyxsincos,求uuxy,. 解:uyyxxsinsinuxyxycoscos6、
15、设zxeyeyx,求zzxy,. 解:zeyexyxzxeeyyx7、设函数 zz x y( , ) 由 yzzxxy3所确定,试求zxzy,(其中 xy0). 解一:原式两边对x求导得yzxxzxzy0,则zxzyyx同理可得:zyzxyx解二:名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 6 页,共 9 页 - - - - - - - - - 精品资料欢迎下载xyxzFFyzxyyzFFxzxyyx,8、求函数zxxyyxy23243122的极值 . 解:由z
16、xyzxyxy43403430,得驻点 (, )10074334yyyxxyxxzzzzDzxx40,函数z在点 (, )10 处取极小值 z(, )101. 9、设 zexy32,而xt ytcos ,2,求ddzt. 解:dd( sin )()ztetetxyxy3223232(sin)3432tt exy10、设zyxyxln(),求zxzy,. 解:zyyxyxyxxxlnln1zxyxyyyyxx11ln()11、设uaxaxyzaln()0,求 du . 解:uxaaaxxyzln1,uyazaxyzln,uzyaaxyzlnd(ln)dln( dd )uaaaxxaa zyyzxyzxyz112、求函数zxyexyln()22的全微分 . 解:zxxyexyezyyxexyexyxyxyxy222222,d() d() dzxyexyexyxeyxyxyxy12222四、应用题1、要造一容积为128 立方米的长方体敞口水池,已知水池侧壁的单位造价是底部的 2 倍,问水池的尺寸应如何选择,方能使其造价最低?解:设水池的长、宽、高分别为x y z, , 米. 水池底部的单位造