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1、学习必备欢迎下载一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）【学习目标】1、学会用韦达定理求代数式的值。2、理解并掌握应用韦达定理求待定系数。3、理解并掌握应用韦达定理构造方程，解方程组。4、能应用韦达定理分解二次三项式。知识框图求代数式的值求待定系数一元二次韦达定理应用构造方程方程的求解特殊的二元二次方程组根公式二次三项式的因式分解【内容分析 】韦达定理： 对于一元二次方程20(0)axbxca，如果方程有两个实数根12,x x，那么1212,bcxxx xaa说明： （1）定理成立的条件0（2）注意公式重12bxxa的负号与b 的符号的区别根系关系的三大用处（1）计算对称式的值例 若12,x x
2、是方程2220070 xx的两个根，试求下列各式的值：(1) 2212xx；(2) 1211xx；(3) 12(5)(5)xx；(4) 12|xx解： 由题意，根据根与系数的关系得：12122,2007xxx x(1) 2222121212()2( 2)2( 2007)4018xxxxx x(2) 121212112220072007xxxxx x(3) 121212(5)(5)5()2520075( 2)251972xxx xxx(4) 22212121212|()()4( 2)4( 2007)2 2008xxxxxxx x说明： 利用根与系数的关系求值，要熟练掌握以下等式变形：222121
3、212()2xxxxx x，12121211xxxxx x，22121212()()4xxxxx x，名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页，共 8 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载2121212|()4xxxxx x，2212121212()x xx xx xxx，33312121212()3()xxxxx xxx等等韦达定理体现了整体思想【课堂练习】1设 x1，x2是方程 2x26x30 的两根，则x12x22的值为 _
4、2已知 x1，x2是方程 2x27x40 的两根，则x1x2，x1x2，（x1x2）23已知方程2x2 3x+k=0 的两根之差为212，则 k= ; 4若方程x2+(a22)x 3=0 的两根是1 和 3，则 a= ; 5若关于x 的方程x2+2(m1)x+4m2=0 有两个实数根，且这两个根互为倒数，那么m的值为 ; 6 设 x1,x2是方程 2x26x+3=0 的两个根，求下列各式的值：(1)x12x2+x1x22 (2) 1x11x27已知 x1和x2是方程 2x2 3x1=0的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值：2221x1x1（2）构造新方程理论：以两个数为根的一元二次方程
5、是。例 解方程组 x+y=5 xy=6 解：显然， x，y 是方程 z2-5z+6 0 的两根由方程解得 z1=2,z2=3 原方程组的解为 x1=2,y1=3 x2=3,y2=2 显然，此法比代入法要简单得多。（3）定性判断字母系数的取值范围例 一个三角形的两边长是方程的两根，第三边长为2，求 k 的取值范围。名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页，共 8 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载解：设此三角形的三边长分别为a、b、
6、c，且 a、b 为的两根，则c=2 由题意知 k2-4 220，k 4 或 k-4 为所求。【典型例题】例 1 已知关于x的方程221(1)104xkxk，根据下列条件，分别求出k的值(1) 方程两实根的积为5； (2) 方程的两实根12,xx满足12|xx分析： (1) 由韦达定理即可求之；(2) 有两种可能，一是120 xx，二是12xx，所以要分类讨论解： (1) 方程两实根的积为5 222121 (1)4(1)034,412154kkkkx xk所以，当4k时，方程两实根的积为5(2) 由12|xx得知：当10 x时，12xx，所以方程有两相等实数根，故302k；当10 x时，1212
7、0101xxxxkk，由于302k，故1k不合题意，舍去名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页，共 8 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载综上可得，32k时，方程的两实根12,xx满足12|xx说明： 根据一元二次方程两实根满足的条件，求待定字母的值，务必要注意方程有两实根的条件，即所求的字母应满足0例 2 已知12,xx是一元二次方程24410kxkxk的两个实数根(1) 是否存在实数k，使12123(2)(2)2xxxx成立
8、？若存在，求出k的值；若不存在，请您说明理由(2) 求使12212xxxx的值为整数的实数k的整数值解： (1) 假设存在实数k，使12123(2)(2)2xxxx成立 一元二次方程24410kxkxk的两个实数根2400( 4 )4 4 (1)160kkkk kk，又12,x x是一元二次方程24410kxkxk的两个实数根1212114xxkx xk222121212121212(2)(2)2()52()9xxxxxxx xxxx x939425kkk，但0k不存在实数k，使12123(2)(2)2xxxx成立(2) 222121212211212()44224411xxxxxxkxxx
9、xx xkk 要使其值是整数，只需1k能被 4 整除， 故11, 2, 4k，注意到0k，要使12212xxxx的值为整数的实数k的整数值为2, 3, 5说明： (1) 存在性问题的题型，通常是先假设存在，然后推导其值，若能求出，则说明存在，否则即不存在(2) 本题综合性较强，要学会对41k为整数的分析方法名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 4 页，共 8 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载一元二次方程根与系数的关系练习题A 组1一
10、元二次方程2(1)210k xx有两个不相等的实数根，则k的取值范围是( ) A2kB2,1kk且C2kD2,1kk且2若12,x x是方程22630 xx的两个根，则1211xx的值为 ( ) A2B2C12D923已知菱形ABCD 的边长为5，两条对角线交于O 点，且 OA、OB 的长分别是关于x的方程22(21)30 xmxm的根，则m等于 ( ) A3B5C53或D53或4若t是一元二次方程20 (0)axbxca的根，则判别式24bac和完全平方式2(2)Matb的关系是 ( ) AMBMCMD大小关系不能确定5若实数ab，且,a b满足22850,850aabb，则代数式1111b
11、aab的值为 ( ) A20B2C220或D220或6如果方程2()()()0bc xca xab的两根相等， 则, ,a b c之间的关系是_ 7已知一个直角三角形的两条直角边的长恰是方程22870 xx的两个根，则这个直角三角形的斜边长是_ 8若方程22(1)30 xkxk的两根之差为1，则k的值是_ 9设12,xx是方程20 xpxq的两实根，121,1xx是关于x的方程20 xqxp的两实根，则p= _ ，q= _ 10已知实数, ,a b c满足26,9ab cab，则a= _ ，b= _ ，c= _ 11对于二次三项式21036xx，小明得出如下结论：无论x取什么实数，其值都不可能
12、等于 10您是否同意他的看法？请您说明理由名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 5 页，共 8 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载12若0n， 关于x的方程21(2 )04xmn xmn有两个相等的的正实数根，求mn的值13已知关于x的一元二次方程2(41)210 xmxm(1) 求证：不论为任何实数，方程总有两个不相等的实数根；(2) 若方程的两根为12,x x，且满足121112xx，求m的值14已知关于x的方程221(1)104
13、xkxk的两根是一个矩形两边的长(1) k取何值时，方程存在两个正实数根？(2) 当矩形的对角线长是5时，求k的值名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 6 页，共 8 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载B 组1已知关于x的方程2(1)(23)10kxkxk有两个不相等的实数根12,x x(1) 求k的取值范围；(2) 是否存在实数k，使方程的两实根互为相反数？如果存在，求出k的值；如果不存在，请您说明理由2已知关于x的方程230 xx
14、m的两个实数根的平方和等于11求证： 关于x的方程22(3)640kxkmxmm有实数根3若12,x x是关于x的方程22(21)10 xkxk的两个实数根，且12,xx都大于 1(1) 求实数k的取值范围；(2) 若1212xx，求k的值名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 7 页，共 8 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载答案A 组1 B 2 A 3A 4A 5A 62 ,acbbc且7 3 8 9或391,3pq103,3,0abc11正确124 1321(1)1650 (2)2mm143(1) (2)22kkB 组113(1)112kk且(2) 不存在21m(1)当3k时，方程为310 x，有实根； (2) 当3k时，0也有实根3(1) 314kk且；(2) 7k名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 8 页，共 8 页 - - - - - - - - -
