本文格式为Word版，下载可任意编辑均匀球体对质点的万有引力的计算及应用 平匀球体对质点的万有引力的计算及应用 湖州中学 竺 斌 牛顿从开普勒定律启程，研究了大量不同物体间遵循同样规律的引力之后，进一步把这个规律推广到自然界中任意两个物体之间，于1687年正式发表了万有引力定律： 自然界中任何两个物体都是相互吸引的，引力的大小跟这两个物体的质量的乘积成正比，跟它们的距离的二次方成反比即： F引?GMm ① r2这里的两个物体指的是质点万有引力定律只给出了两个质点间的引力而对于一般不能看成质点的物体间的万有引力，需将物体分成大量小片面，使每一片面都可视为质点，根据①式求出物体1各小片面与物体2各小片面之间的引力，每个物体所受的引力就等于其各片面所受引力的矢量和 但是，若物体为球体，且密度平匀分布，他们之间的引力依旧可以用上式计算，其中r表示两球球心的距离，引力沿两球球心的连线这一点在高中教材、教学参考书都没有给出证明，只是用简朴的几句话带过。
我用两种方法来证明“对于质量分布平匀的球体，在计算万有引力时，可以把其看成质量都集中在球心的质点并计算平匀球壳对其内部质点的引力和平匀球对其内部的引力，仅供大家参考 一、有关引力的计算 1．用微积分法 (1)．质点与平匀球体间的万有引力 z dF ·P(0,0,R) α 若质点质量为m，与球心的距离为R设球的半径 4为a，密度为?v，质量为M??v??a3建立如下图的坐 3标系 根据对称性可知，球对质点的引力必沿z方向，x，y方向上合力为0 球上取一微元，坐标为（r, θ，φ）,其体积为 · (r,θ,φ) φ O y r2sin?drd?d?对质点的万有引力 m?vr2sin?dF?G2drd?d? （R＞a） 2r?R?2rRcos?在z方向上的分力为： x dFz?dF?cos??Gm?vr2(R?rcos?)sin?(r?R?2rRcos?)2232drd?d? F合?Fz??a0??02??0Gm?vr2(R?rcos?)sin?(r?R?2rRcos?)2232d?d?dr ?Gm?v?d??r2dr?002?a?2(R?rcos?)sin?(r?R?2rRcos?)2320d???1?ar2?R2222?Gm?v?2??rdr?(r?R?2rRcos??? 2022?r?R?2rRcos???2rR?0Mm?G2R所以平匀球体对球外一点的万有引力好象球体的质量全部集中在球心一样。
那么两个平匀球体间的万有引力就可以分别把质量全部集中至各自球心，所以用公式计算时r就是球心间距离 (2)．平匀球壳与球壳内质点间的万有引力 z 若质点的质量为m，与球心距离为R，球壳的密度为?V， 43?R13?，建立如下图的坐标系 质量为M??v???R23· P(0,0,R) α φ O ·(r, θ,φ) x y dF 由对称性可知，球对质点的引力必沿z方向，x、y方向上合力为0 球壳上一微元对质点的万有引力为 m?vr2sin?dF?G2drd?d? ?R?a? 2r?R?2rRcos?在z方向上的分力， dFz?dF?cos??Gm?vr2(R?rcos?)sin?(r?R?2rRcos?)2232drd?d? F合?Fz??R2R1??02??02?Gm?vr2(R?rcos?)sin?(r?R?2rRcos?)R22232d?d?drd?2 ?Gm?v?d??r2dr?0R1?2(R?rcos?)sin?(r?R?2rRcos?)230 ?1?R2r2?R2222?Gm?v?2??rdr?(r?R?2rRcos???222R1 2rRr?R?2rRcos?????0?0?0?这就说明平匀球壳对球壳内质点的万有引力等于0。
2．高斯定理法 电学中高斯定理的表述：通过一个任意闭合曲面S的电通量?E等于该面所包围的全体电荷电量的代数和?qi除以?0即 ： ?E???Ecos?dS?S1?0?qS内i 通过F引?GMmM1q1q2E?G与比较，在力学中引入引力场强度， ，F??E引引库r2r24??0r2那么 F引?m?E引再引入引力通量?引，?引?E引?Scos?，那么类似的在引力场中的高斯定理有：?引???E引cos?dS?4?G?mi SS内下面再用高斯定理来证明平匀球体（半径为R）对质点的万有引力 假设场点P（设OP=r）在球外，由于球体质量平匀分布，那么引力场强分布应具有球对称性在任何与平匀球同心的球面上各点的E引大小均相等，方向沿半径向外呈辐射状根据引力场强的球对称性特点，取高斯面为通过P点的同心球面，此球面上的引力场强E引的大小四处和P点相等，而cosθ四处等于1，通过此面的引力通量为： ?引???E引cos?dS?E引??dS?4?r2E引 SS根据高斯定理?引?4?G?mi?4?GM S内∴E引?GM r2GMm (r>R) 2r∴F引?E引?m?假设场点P在球内，那么全体半径大于r=OP的那些球壳对P点的引力场强不起作用，只有半径等于r的球对P点的引力场强有付出。
根据上面的结论有 E引?GM? 2r3r ?MR3M??4?r3??v?4?r3M3334?R3∴E引?GMr 3RGMmr （r
地球内部质量平匀分布，不考虑地球自转 B 设地心到隧道的距离为d，取隧道中点为坐标原点，当小球的位置矢量为x时，所受的引力大小为F??GMmGMmx2222?x?dF???x?d?，此力沿隧道方向的分力为 322R3Rx?d??GMm?x所以小球在隧道内做简谐运动 R3 — 5 —。