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1、本文格式为Word版，下载可任意编辑P波入射反射透射系数推导 P波入射Zoeppritz方程的推导 根据弹性力学的假设，介质是平匀各向同性的无限大介质，平面波是一种最简朴的波动形式，其以波面为平面的形式在介质中传播，即平面波在垂直于波传播的任一平面上，各点的振动是同相的，实际上并不存在激发平面波的震源，所以它是一个数学抽象了的波动过程。点震源激发的球面波向周围八方传播，当其距震源足够远时，在这个地方研究一个局部的等相位面，可以将其看成一个平面波。在理论上，任何类型的波都可以用平面波的合成形式来表示，所以平面波是波动现象中最根本的形式，也是理论研究和实际应用的根基。 在地震勘探中，议论在两种不同
2、的介质分界面上的波的传播现象是特别重要的。一般分为两种处境举行议论，第一种，我们所研究的地球介质按其物性变化是分层的，具有层装布局。因此，议论两种弹性性质不同的介质分界面上波的传播处境。其次种，地球外观是一个特殊的分界面，它将无限介质划分为两个半空间。地面以上的空气介质，其密度与地面以下的岩石或海平面以下的海水层及岩石层的密度相比可以疏忽。因此，地球外观可以看成是一个弹性半空间外观，称为自由面，其上的应力作用为零。根据本文所议论的地质模型所涉及到的地质苦难，我们只议论波在第一种介质分界面处境下波的传播，即平面波在弹性分界面上的反射与透射。 1.1波函数 设有一平面谐纵波入射到两种半无限弹性介质
3、的分界面上。在这种处境下，波不仅会折回到入射介质中传播，而且会透射到另一种介质中传播；即同时存在反射波和透射射波。反射波和透射波中都包含纵波和横波两种成份。P波在介质分界面上的反射和透射处境如下图： ?关于位函数我们首先看：沿任意方向传播的平面波。设N是一个任意取定的单位方向?矢量。N?li?mj?nk （1） ?下面来看沿N方向的平面波，或称三维平面波的波函数形式。三维平面波的波函数f得志 三维波动方程，即： ?2f?2f?2f1?2f? （2） ?x2?y2?z2V2?t2这里我们通过和一维平面波函数类比，可以得出三维平面波函数的形式。我们知道，在一维平面波的处境下，空间任意一点?x,y,
4、z?上的波函数值只取决于x。于是沿x正方向传播的 平面波的波函数为f(x,t)?f1(x?Vt)。其中的x实际上是从原点至?x,y,z?点所在波面的 ?垂直距离，即d?x?0y?0z（一维平面波的传播方向的单位矢量为N?i。在三维平面 波处境下，这一距离应为d?lx?my?nz。因此，将一维平面波函数中的x以lx?my?nz代替理应可以得到三维平面波的波函数）即： f(x,y,z,t)?f1(lx?my?nz?Vt) （3） ?同一维平面波一样，式中的t为波沿N方向的传播时间。 ?f1(lx?my?nz?Vt)代表一个沿N的正方向传播的平面波。同理，f(x,y,z,?t)1?f?(lx?my?
5、代表一个沿nz)VtN的负方向传播的平面波，在一般处境下， ?沿任意方向N传播的平面波的波函数可写成： f(x,y,z,t)?f1(lx?my?nz?Vt)?f1(lx?my?nz?Vt) （4） 1.2平面简谐波： 平面简谐波是是波函数为简谐形式的平面波，也是数学上最轻易处理的一种波。因此，在研究波的传播问题时经常使用简谐波假定。 沿x正方向传播的平面简谐波的波函数可写成： ? f(x,t)或 0fcosk?(xV t ) （5） f(x,t)?f0sink(x?Vt) （6） 上面两式分别代表的是余弦形式和正弦形式的平面简谐波。我们最常使用的是指数形式的平面简谐波 f(x,t)?f0ejk
6、(x?Vt) （7） 通过取上式的实部或虚部即可得到余弦形式或正弦形式的平面简谐波的波函数。上面各波函数中的f0称为波的振幅，由于波函数值总是在?f0和?f0之间变化。 下面议论波函数中其他各量的意义及它们之间的关系。为此，首先“固定”时间变量t以测验波剖面的处境。不难验证， f(x?2?,t)?f(x,t) （8） k2?距离重复一次。因此我们将这个量称为波长，记为?， k2?2? ? 同时，把 k? k?这说明，波剖面的值每隔 称为波数。可见波数就是2?距离内所含的波长个数。 再“固定”空间变量x以测验振动图的处境。轻易看出， f(x,t?2?)?kVf(x, t ) （9） 2?时间重复
7、一次。因此将这个量称作周期，记为T， kV这说明，振动图的值每隔 T?2? kVV由此可见，周期即为波传播一个波长距离所用的时间。另外， k?其中?2?2? VTVV1和?2?分别为频率和圆频率。 T2?利用上面得到的各量之间的关系，可将平面简谐波的波函数写成如下等价形式： f(x,t)?f0e?f0ej(kx?t)jk(x?Vt)?f0ej?(x?Vt) ?f0exj?(?t)V?f0ej(kx?2?t)?f0exj2?(?t)? （10） ? 沿任意方向N?li?mj?nk传播的平面简谐波的波函数可写为 f(x,y,z,t)?f0ejk(lx?my?nz?Vt)?f0ej(kxx?kyy?
8、kzz?Vt) （11） 因此二维平面波的波函数可以写成： f(x,y,z,t)=Aej(kxx?kyy?t) （12） 我们可以写出入射P波、反射波P波、反射SV波、透射P波和透射SV波的位函数： P(A1)SV(A3)P(A2)介质1（111 Pv1 Ps1）介质2（222 Pv2 Ps2）XP(A4)SV(A5)Z?(1)?A1ej(k(1)(1)xx?kzz?wt) （13） （14） (15) (16) (17) (3)?(2)?A2e(2)(2)j(kxx?kzz?wt)?(3)?A3ej(k?(4)?A4ej(k(3)(3)xx?kzz?wt)(4)(4)xx?kzz?wt)?(
9、5)?A5ej(k(5)(5)xx?kzz?wt)/vsi?n，kx?w/vs1sin?， 上式中 kx?kx?w1p(4)(5)kxx?w/vp2sin?，kx?w/vs2sin? （18） (1)(2)且有 kx?kx(1)(2)(3)(4)(5)?kx?kx?kx （19） 由此可得反射和透射定律（斯奈尔定律）如下： vp1/sin?vs1/sin?vp2/sin?vs2/sin? （20） 另外，由图可见：kz?w/vp1cos?，kz(1)(2)?w/vp1cos?，kz(3)?w/vs1cos?， kz(4)?w/vp2cos?，kz(5)?w/vs2cos? j(k(1)(2)在
10、介质I中，总的位函数为?1?A1e(1)(1)xx?kzz?wt)?A2ej(kx(2)(2)x?kzz?wt) （21） ?1?(3)?A3ej(k在介质?中，总的位函数为?2?(4)(3)(3)xx?kzz?wt) （22） （23） （24） ?A4ej(kx?A5e(4)(4)x?kzz?wt)?2?1.3边界条件 (5)(5)(5)j(kxx?kzz?wt)我们知道，介质分界面处的边界条件为位移连续和应力连续。因此，可写出本问题的边界条 ?u1?u2?w?w?12件如下：在Z=0处 ? （25） ?(?zz)1?(?zz)2?(?zx)1?(?zx)2（1）位移连续： 地震波在传播过
11、程中质点振动的位移u可以分解为其标量位的梯度与与其矢量位的旋度之和的形式，有： ? u?grad?rot? （26） ?同时 u?ui?vj?k （27） ?设 ?xi?yj?zk （28） ?将式（26）按梯度和旋度公式开展，得到u的3个分量为： ?z?y?u?x?y?z?x?z? （29） v?y?z?x?y?x?w?z?x?y?研究空间传播的平面波时，一般处境下选择直角坐标系，可使得波前面与一个坐标轴（如 y轴）平行，此时方向余弦cos?0。这样，波前面在y轴方向上无限延迟，波函数与坐 标y无关，于是有 ?0 ?y此时，式（29）中对y的导数项变为0，那么式（29）变为： ?yu?x?z?x?z? （30） ?v?z?x?yw?z?x?这说明位移分量可以分
