青朱出入图证明青朱出入图青朱出入图证明(篇一) 青朱出入图-刘徽 证法二 项明达证明 做两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b〔ba〕 ，斜边长为c. 再做一个边长为c的正方形. 把它们拼成如下图的多边形，使E、A、C三点在一条直线上. 过点Q作QP∥BC，交AC于点P. 过点B作BM⊥PQ，垂足为M；再过点 F作FN⊥PQ，垂足为N. ∵ ∠BCA = 90º，QP∥BC， ∴ ∠MPC = 90º， ∵ BM⊥PQ， ∴ ∠BMP = 90º， ∴ BCPM是一个矩形，即∠MBC = 90º. ∵ ∠QBM + ∠MBA = ∠QBA = 90º， ∠ABC + ∠MBA = ∠MBC = 90º， ∴ ∠QBM = ∠ABC， 又∵ ∠BMP = 90º，∠BCA = 90º，BQ = BA = c， ∴ RtΔBMQ ≌ RtΔBCA. 同理可证RtΔQNF ≌ RtΔAEF. 从而将问题转化为梅文鼎证明 做四个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b ，斜边长为c. 把它们拼成如图那样的一个多边形，使D、E、F在一条直线上. 过C作AC的延长线交DF于点P. ∵ D、E、F在一条直线上, 且RtΔGEF ≌ RtΔEBD, ∴ ∠EGF = ∠BED， ∵ ∠EGF + ∠GEF = 90°， ∴ ∠BED + ∠GEF = 90°， ∴ ∠BEG =180º―90º= 90º. 又∵ AB = BE = EG = GA = c， ∴ ABEG是一个边长为c的正方形. ∴ ∠ABC + ∠CBE = 90º. ∵ RtΔABC ≌ RtΔEBD, ∴ ∠ABC = ∠EBD. ∴ ∠EBD + ∠CBE = 90º. 即 ∠CBD= 90º. 又∵ ∠BDE = 90º，∠BCP = 90º， ABC = BD = a. ∴ BDPC是一个边长为a的正方形. 同理，HPFG是一个边长为b的正方形. 设多边形GHCBE的面积为S，那么 11a2+b2=S+2´ab,c2=S+2´ab22, 222 ∴ a+b=c. 勾股定理十一种证明方法青朱出入图证明(篇二) 勾股定理十一种证明方法 勾股定理，又称毕达哥拉斯定理或毕氏定理。
是一个根本的几何定理，传统上认为是由古希腊的毕达哥拉斯所证明据说毕达哥拉斯证明白这个定理后，即斩了百头牛作庆祝，因此又称“百牛定理”在中国，《周髀算经》记载了勾股定理的公式与证明，相传是在商代由商高发觉，故又有称之为商高定理；三国时代的赵爽对《周髀算经》内的勾股定理作出了具体注释，又给出了另外一个证明 法国和比利时称为驴桥定理，埃及称为埃及三角形 中国古代把直角三角形中较短的直角边叫做勾，较长的直角边叫做股，斜边叫做弦 展示各个学习小组从网络或书籍上找寻验证勾股定理的方法 一、欧几里得的证法 在欧几里得的《几何原本》一书中给出勾股定理的以下证明 设△ABC为始终角三角形，其中A为直角从A点划始终线至对边，使其垂直于对边延长此线把对边上的正方形一分为二，其面积分别与其余两个正方形相等 在定理的证明中，我们须要如下四个协助定理： 1.假如两个三角形有两组对应边和这两组边所夹的角相等，那么两三角形全等〔SAS定理〕 2.三角形面积是任一同底同高之平行四边形面积的一半 3.随意一个正方形的面积等于其二边长的乘积 4.随意一个矩形的面积等于其二边长的乘积〔据协助定理3〕。
证明的思路为：把上方的两个正方形，透过等高同底的三角形，以其面积关系，转换成下方两个同等面积的长方形 其证明如下： 1.设△ABC为始终角三角形，其直角为CAB 2.其边为BC、AB、和CA，依序绘成四方形CBDE、BAGF和ACIH 3.画出过点A之BD、CE的平行线此线将分别与BC和DE直角相交于K、L 4.分别连接CF、AD，形成两个三角形BCF、BDA 5.∠CAB和∠BAG都是直角，因此C、A和G都是线性对应的，同理可证B、A和H 6.∠CBD和∠FBA皆为直角，所以∠ABD等于∠FBC{青朱出入图证明}. 7.因为AB和BD分别等于FB和BC，所以△ABD必需相等于△FBC 8.因为A与K和L在同始终线上，所以四方形BDLK必需二倍面积于△ABD 9.因为C、A和G在同始终线上，所以正方形BAGF必需二倍面积于△FBC 10.因此四边形BDLK必需有一样的面BAGF = AB² 11.同理可证，四边形CKLE必需有一样的面积ACIH = AC² 12.把这两个结果相加，AB²+ AC² = BD×BK + KL×KC 13.由于BD=KL，BD×BK + KL×KC = BD(BK + KC) = BD×BC 14.由于CBDE是个正方形，因此AB² + AC² = BC²。
此证明是于欧几里得《几何原本》一书第1.47节所提出的，由于这个定理的证明依靠于平行公理，而且从这个定理可以推出平行公理，许多人质疑平行公理是这个定理的必要条件，始终到十九世纪尝试否认第五公理的非欧几何出现 《几何原本》第1.47节〔英文〕，欧几里德著，2006年12月19日存取〕 二、图形重新排列证法 此证明以图形重新排列证明两个大正方形的面积皆为(a + b)2把四个相等的三角形移除后，左方余下面积为a2 + b2，右方余下面积为c2，两者相等 三、利用相像三角形的证法 设ABC为始终角三角形, 直角C〔看附图〕. 从点C画上三角形的高，并将此高与AB的穿插点称之为H此新三角形ACH和原本的三角形ABC相像，因为在两个三角形中都有一个直角〔这又是由于“高”的定义〕，而两个三角形都有A这个共同角，由此可知第三只角都是相等的同样道理，三角形CBH 和三角形ABC也是相像的这些相像关系衍生出以下的比率关系： 因为{青朱出入图证明}. 所以 可以写成 综合这两个方程式，我们得到 换句话说: 四、加菲尔德证明勾股定理的故事 1876年一个周末的黄昏，在美国首都华盛顿的郊外，有一位中年人正在漫步，观赏黄昏的美景，他就是当时美国俄亥俄州共和党议员加菲尔德。
他走着走着，突然发觉旁边的一个 小石凳上，有两个小孩正在全神贯注地谈论着什么，时而大声争辩，时而小声探讨由于新奇心驱使，加菲尔德循声向两个小孩走去，想搞清晰两个小孩究竟在干什么只见一个小男孩正俯着身子用树枝在地上画着一个直角三角形于是加菲尔德便问他们在干什么？那个小男孩头也不抬地说：“请问先生，假如直角三角形的两条直角边分别为3和4，那么斜边长为多少呢？”加菲尔德答道：“是5呀小男孩又问道：“假如两条直角边分别为5和7，那么这个直角三角形的斜边长又是多少？”加菲尔德毫不犹豫地答复到：“那斜边的平方必须等于5的平方加上7的平方．”小男孩说：“先生，你能说出其中的道理吗？”加菲尔德一时语塞，无法说明了，心里很不是味道加菲尔德不再漫步，马上回家，潜心探讨小男孩给他出的难题他经过反复思索与演算，最终弄清了其中的道理，并给出了简洁的证明方法 解：在网格内，以两个直角边为边长的小正方形面积和，等于以斜边为边长的正方形面积 勾股定理的内容：直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方 说明：中国古代学者把直角三角形的较短直角边称为“勾”，较长直角边为“股”，斜边称为“弦”，所以把这个定理称为“勾股定理”。
勾股定理提醒了直角三角形边之间的关系 举例：如直角三角形的两个直角边分别为3、4，那么斜边c的平方；= a的平方+b的平方=9+16=25即c=5 如图，将图中的四个直角三角形涂上绿色，把中间小正方形涂上白色，以弦为边的正方形称为弦实，然后经过拼补搭配，“令出入相补，各从其类”，他确定了勾股弦三者的关系是符合勾股定理的即“勾股各自诚，并之为弦实，开方除之，即弦也”赵爽对勾股定理的证明，显示了我国数学家超群的证题思想，较为简明、直观 六、邹元治的证明 图1 以a、b为直角边，以c为斜边做四个全等的直角三角形，那么每个直角三角形的面积等于{青朱出入图证明}. 1ab.把这四个直角三角形拼成如下图的形态，使{青朱出入图证明}. A、E、B三点在一条直线上，B、F、C三点在一条直2 线上，C、G、D三点再一条直线上 七、梅文鼎的证明 做四个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b，斜边长为c，把它们拼成如图那样的一个多边形，使D、E、F在一条直线上过C作AC的延长线交DF于点P 八、利用切割线定理证明 九、利用多列米定理证明 十、作直角三角形的内切圆证明 勾股定理的发觉及证明青朱出入图证明(篇三) 勾股定理的发觉及证明{青朱出入图证明}. 勾股定理是数学史上一颗绚烂的明珠，是人类最宏大的十个科学发觉之一，被称为“几何学的基石”。
千百年来，人们对它的证明颇感爱好，给后代留下了众多奇妙的传闻 一、勾股定理的发觉 相传4000多年前，大禹曾在治理洪水的过程中，利用勾股定理来测量两地的地势差，在3000多年以前，中国人已经知道用边长为3,4,5的直角三角形进展测量，勾股定理的表达最早见于《周髀算经》〔成书不晚于公元前2世纪的西汉时期〕，书中记载，周公问商高，天有没有台阶可以上去，地又不能用尺子去度量，，请问，怎么知道它们的凹凸长短呢？〔周公与商高约是公元前11世纪左右的人〕商高答：数是依据圆和方的道理得来的，圆从方得来，方又从矩得来，矩乃是从数学计算得来的以为“勾广三，股修四，径隅五”以上史实说明，商高在当时已经知道特别情形下的勾股 那么，”什么是“勾、股”呢？ 在中国古代，人们把弯曲成直角的手臂的上半局部称为“勾”，下半 局部称为“股”商高那段话的意思就是说：当直角三角形的两条直角边 分别为3〔短边〕和4〔长边〕时，径隅〔就是弦〕那么为5以后人们 就简洁地把它说成“勾三股四弦五”由此可见我国古代劳动人民的机灵 才智 勾股定理在外国称为“毕达哥拉斯定理”。
为什么一个定理有这么多 名称呢？毕达哥拉斯是古希腊数学家，他是公元前五世纪的人，比商高 晚诞生五百多年毕达哥拉斯有次应邀参与一次餐会，这位主子的餐厅铺着是正方形漂亮的大理石地砖，由于大餐迟迟不上桌，一些饥肠辘辘的贵宾颇有不满；但这位擅长视察的毕达哥拉斯却注视脚下这些排列规那么、漂亮的方形图案，毕达哥拉斯不只是观赏地砖的漂亮，而是想到它们和“数”之间的关系，经过思索，发觉了这个定理后人就以毕达哥拉斯的名字命名“毕达哥拉斯定理”为了庆祝这必须理的发觉，毕达哥拉斯学派杀了一百零一头牛酬答供奉神灵，因此这个定理又有人叫做“百牛定理” 二、勾股定理的证明方法 古今勾股定理的证明方法许多，到目前为。