本文格式为Word版，下载可任意编辑10 数学分析简明教程答案(尹小玲 邓东皋) 第十章 数项级数 1 级数问题的提出 1．证明：若微分方程xy y xy 0有多项式解 y a0 a1x a2x2 anxn， 那么必有ai 0(i 1,2, ,n)． 证明 由多项式解y a0 a1x a2x anx得 2 n y a1 2a2x 3a3x2 nanxn 1， y 2a2 6a3x 12a4x2 n(n 1)anxn 2. 从而 xy 2a2x 6a3x 12a4x n(n 1)anx且 xy a0x a1x a2x an 2x将上述结果代入微分方程xy y xy 0，得 2 3 n 1 2 3 n 1 ， an 1xn anxn 1. a1 (a0 4a2)x (a1 9a3)x2 (a2 16a4)x3 (an 2 n2an)xn 1 an 1xn anxn 1 0. 对比系数得递推公式如下： a1 0, a0 4a2 0, a1 9a3 0, a n2a 0, n n 2 an 1 0, an 0. 由此解得a0 a1 a2 an 0，因而ai 0(i 0,1,2, ,n)． 2．试确定系数a0,a1, ,an, ，使 a n 0 n xn得志勒让德方程 (1 x2)y 2xy l(l 1)y 0. 解 设y a n 0 n x，那么y nanx n n 1 n 1 ，y n(n 1)a n 2 n xn 2，故 (1 x)y (1 x) n(n 1)anx 2 2n 2 n 2 n(n 1)anx n 2n 1 n 2 n(n 1)anxn， n 2 2xy 2x nanx n 1 2nanxn， n 1 l(l 1)y l(l 1) anx l(l 1)anxn. n n 0 n 0 将上述结果代入勒让德方程(1 x)y 2xy l(l 1)y 0，得 2 0 (1 x2)y 2xy l(l 1)y n(n 1)anx n 2 n 2 n(n 1)anx 2nanx l(l 1)anxn n n n 2 n 1 n 0 n n n (n 2)(n 1)an 2x n(n 1)anx 2nanx l(l 1)anxn. n 0 n 2 n 1 n 0 对比系数，得递推公式如下： l(l 1)a0 2a2 0, (l 1)(l 2)a 6a 0, 13 (l 2)(l 3)a2 12a4 0, (l (n 1))(l n)a (n 1)na 0, n 1n 1 (l n)(l n 1)an (n 2)(n 1)an 2 0, . 由此解得 l(l 1) a a0, 2 2 a (l 2)(l 3)a (l 2)l(l 1)(l 3)a, 20 44 34 3 2 k(l 2k 2)(l 2k 4) l(l 1)(l 3) (l 2k 1)a ( 1)a0, 2k (2k)! a (l 1)(l 2)a, 1 33 2 (l 3)(l 4)(l 3)(l 1)(l 2)(l 4) a5 a3 a1, 5 45 4 3 2 k(l 2k 1)(l 2k 3) (l 1)(l 2)(l 4) (l 2k) a ( 1)a1, 2k 1(2k 1)! 从而可以得到 (l 2k 2)(l 2k 4) l(l 1) (l 2k 1)2k y a0 a0 ( 1)kx (2k)! k 1 (l 2k 1)(l 2k 3) (l 1)(l 2) (l 2k)2k 1 a1x a1 ( 1)kx . (2k 1)! k 1 其中a0,a1取任何常数． 2 数项级数的收敛性及其根本性质 1．求以下级数的和： （1） 1 ； (5n 4)(5n 1)n 1 （2） 4n n 1 1 2 1 ； ( 1)n 1 （3） ； n 1 2n 1 （4） 2n 1 ； n 2n 1 （5） r n 1 n sinnx,r 1； （6） r n 1 n cosnx,r 1． 11 11 ，故 (5n 4)(5n 1)5 5n 45n 1 解（1）由于 Sn 111 1 66 11(5n 4)(5n 1) 1 11111 1 5 66115n 45n 1 1 1 1 1 (n )， 5 5n 1 5 所以级数的和S 1. 51 1 11 ，故 2 2n 12n 1 （2）由于 4n2 1 Sn 1 11111 1 1 1 1 1 (n ). 2 3352n 12n 1 2 2n 1 2 所以级数的和S 1 . 2 n 1 ( 1)n 1 1 （3） n 1 2 n 12n 1 12 ． 1 31 2 n 2n 1 2n 1 2n 1，因此欲求原级数的和，只需计算级数（4） nnn 2222n 1n 1n 1 n 1 2n2n2462n即可．对级数，设其片面和，那么 S nnn23n 222222n 1n 1 12462n 22n Sn 2 3 4 n 1， n222222 故 1122222nSn Sn Sn 1 2 3 4 n n 1 2222222 111 1 1 2 2 3 4 n 222 2 2n n 1 2 1 2 122 1 n 1 1 2 2n . n 1 121 2 2n 1 2n1 从而limSn 2，即limSn 4，因此原级数 n 1 4 1 3． nn n 22n 1n 12 n （5）由于级数的片面和Sn n r k 1 k sinkx，故 n 2rcosxSn 2r k 1n k 1 sinkxcosx rk 1 sin(k 1)x sin(k 1)x k 1n r k 1n 1 k 1 sin(k 1)x rk 1sin(k 1)x k 1 2 rsinkx r kk 2 r k 0 n 1 k sinkx (Sn rn 1sin(n 1)x rsinx) r2(Sn rnsinnx)， 从中解得 rsinx rn 2sinnx rn 1sin(n 1)x Sn . 1 r2 2rcosx 又由于当n 时，r n 2 sinnx rn 2 0,rn 1sin(n 1)x rn 1 0，故 limSn n rsinx ， 2 1 r 2rcosx 因此 rnsinnx n 1 rsinx ． 1 r2 2rcosx （6）级数的片面和Sn n r k 1 n k coskx，从而 n 2rcosxSn 2r k 1n k 1 coskxcosx rk 1 cos(k 1)x cos(k 1)x k 1n r k 1n 1 k 1 cos(k 1)x rk 1cos(k 1)x k 1 2 rcoskx r kk 2 r k 0 n 1 k coskx (Sn rn 1cos(n 1)x rcosx) r2(Sn 1 rncosnx)， 从中解得 rcosx rn 2cosnx rn 1cos(n 1)x r2rcosx r2 . limSn lim 22n n 1 r 2rcosx1 r 2rcosxrcosx r2 因此 rcosnx ． 2 1 r 2rcosxn 1 n 2．议论以下级数的敛散性： （1） n ； 2n 1n 1 （2） 2 n 1 n 1 1 n 13n ； ； （3） cos 2n 1 （4） 1 ； (3n 2)(3n 1)n 1 （5） n 1 1 n(n 1)(n n 1) ． 解（1）由于通项 n1 0(n )，故原级数发散． 2n 12 n n 11 1 1 （2）由于 n ， n 均收敛，故原级数收敛． n 12n 1 2 n 13n 1 3 （3）由于通项cos（4）由于 。