第六系统的稳定性讲课文档

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1、第六系统的稳定性第六系统的稳定性第一页，共六十四页。（优选）第六系统的稳定性第二页，共六十四页。 不稳定的现象不稳定的现象稳稳定定的的摆摆不不稳稳定定的的摆摆6.1 稳定性第三页，共六十四页。 19401940年年1111月月7 7日日，一一阵阵风风引引起起了了桥桥的的晃晃动动，而而且且晃晃动动越越来来越越大大，直直到到整整座座桥桥断断裂。裂。 跨跨越越华华盛盛顿顿州州塔塔科科马马峡峡谷谷的的首首座座大大桥桥，开开通通于于19401940年年7 7月月1 1日日。只只要要有有风风，这这座座大大桥就会晃动。桥就会晃动。第四页，共六十四页。6.1 稳定性1. 稳定性的概念定义：定义：系统受到外界干

2、扰作用时，其被控制量yc(t)将偏离平衡位置，当这个干扰作用去除后，若系统在足够长的时间内能够恢复到其原来平衡位置或者趋于一个给定的新的平衡状态，则系统是稳定的。反之若系统对干扰的瞬态响应随时间的推移而不断扩大或产生持续振荡，则系统是不稳定的。 第五页，共六十四页。 只有稳定的系统才能正常工作，在设计一个系统时，首先要保证其稳定性；在分析一个系统时，也首先要判定是否稳定。 线性系统是否稳定，是系统本身一个特性，与输入量或干扰线性系统是否稳定，是系统本身一个特性，与输入量或干扰无关。无关。第六页，共六十四页。2. 判别系统稳定性的基本准则线性定常系统微分方程的一般形式为：（61）由拉氏变换的数学

3、方法求解式(6-1):其中x(t)为输入，y(t)为输出，ai(i=0n)，bj(j=0m)为常数。第七页，共六十四页。再经拉氏反变换可得原函数：令：为式(6-1)的齐次通解，是与初始条件A0(s)，B0(s)有关而与输入或干扰x(t)无关的补函数。令：为式(6-1)的非齐次特解，是与初始条件A0(s)，B0(s)无关而与输入或干扰x(t)有关的特解。第八页，共六十四页。 既然系统的稳定与否要看系统在除去干扰后的运行情况稳定与否要看系统在除去干扰后的运行情况，因此系统的补函数yc(t)就完全反应了系统是否稳定。 如果当 时， ，则系统为稳定；若当 时， ，或是时间t的周期函数，则系统不稳定。为

4、此需求解yc(t)。一般称A(s)=0为系统的“特征方程特征方程”，它的解它的解si称为特征根称为特征根。若si为复数，则由于实际物理系统A(s)的系数均为实数，因此si总是以共扼复数形式成对出现，即：第九页，共六十四页。亦即则系统不稳定。此时，只有当其实部ai0时，方能使得在 时若si为实数，则只有当实数之值小于0，即ai0时，则当 时，将使得即第十页，共六十四页。综上所述，判别系统稳定性的问题可归结为对系统特征方程的根的判别对系统特征方程的根的判别，即：一个系统稳定的必要和充分条件是其特征方程的所有根都必特征方程的所有根都必须为负实数或具有负实部的复数。须为负实数或具有负实部的复数。亦即稳

5、定系统的全部特征根si均在复平面的左半平面。若 实部 ，则 。 将包含 ，即 这样的时间函数，系统将产生持续振荡，其振荡频率 等于bi，系统也不稳定。第十一页，共六十四页。应当指出，上述不稳定区虽然包括虚轴 ，但对于虚轴上的坐标原虚轴上的坐标原点应具体分析。点应具体分析。当有一个特征根在坐标原点时 ， 常数，系统达到新的平衡状态，仍属稳定。当有两个及两个以上特征根在坐标原点时， ，其瞬态响应发散，系统不稳定。第十二页，共六十四页。 对于如图所示闭环系统，传递函数为：令该函数的分母等于零就得到系统的特征方程特征方程：故可以根据上述方程特征根的位置来判别系统的稳定性。由可知，系统特征方程A(s)=

6、0的特征根与系统闭环传递函数F(s)的极点是相同的，因此由系统的传递函数取其分母A(s)=0，即可分析系统的稳定性。第十三页，共六十四页。6.2 劳斯胡尔维茨稳定性判据 线性定常系统的稳定性分析，本质上就是确定特征方程根在本质上就是确定特征方程根在复平面上的位置，复平面上的位置，劳斯胡尔维茨稳定性判据是通过分析特征方程的根与系数的代数关系根与系数的代数关系，由特征方程中的系数来判别特征根是否在由特征方程中的系数来判别特征根是否在s s平平面左平面，以及不稳定根的个数面左平面，以及不稳定根的个数。1. 劳斯稳定性判据(1) 系统稳定的必要条件线性定常系统的特征方程为：式中，系数ai(i=0,1,

7、2,n)为实数，并且 。第十四页，共六十四页。将上式右边展开得到特征根与系数的关系如下：假设其特征根为si(i=1,2,n)，则 若特征根的实部全为负数时，则由上式可以看出系统稳定的必要条件为：特征多项式所有系数符号相同特征多项式所有系数符号相同。若系数中有不同的符号或其中某个系数为零（a0=0除外），则必有带正实部的根，系统不稳定。（这只是个必要条件而非充分条件）第十五页，共六十四页。2.1 Routh2.1 Routh行列式行列式 列列写写RouthRouth行行列列式式, ,是是利利用用RouthRouth判判据据进进行行系系统统稳稳定定性性分分析析的的主主要要工作工作, ,其步骤如下其

8、步骤如下: :列写系统特征方程列写系统特征方程由系统特征方程的各项系数排成由系统特征方程的各项系数排成RouthRouth行列表的前两行行列表的前两行其中其中,第一行为第一行为sn、sn-2、sn-4的各项系数依次排成；的各项系数依次排成； 第二行为第二行为sn-1、sn-3、sn-5的各项系数依次排成。的各项系数依次排成。(2) 系统稳定的充分条件第十六页，共六十四页。u 计算计算RouthRouth行列式的每一行都要用到该行前面两行的数据。行列式的每一行都要用到该行前面两行的数据。计算行列式的其余各行计算行列式的其余各行第十七页，共六十四页。例例例例如如如如6 6阶阶阶阶特特特特征方程征方

9、程征方程征方程 其劳斯行其劳斯行其劳斯行其劳斯行列式为列式为列式为列式为 Back第十八页，共六十四页。1)1)如果符号为正如果符号为正系统稳定；系统稳定；2)2)如果符号不同如果符号不同 符号改变的次数等于系统具有的正实部特符号改变的次数等于系统具有的正实部特征根的个数征根的个数系统不稳定。系统不稳定。对对RouthRouth行列表中的行列表中的“第一列第一列”各数的符号进行判断：各数的符号进行判断： 劳斯稳定性判据：劳斯稳定性判据：系统稳定的充分必要条件是，其特征方程的全部系数符号相同，并且其劳斯数列的第一列（an，an1，c1，d1等）所有各项全部为正，否则系统不稳定。第十九页，共六十四

10、页。 例例 劳斯判据判定稳定性劳斯判据判定稳定性第二十页，共六十四页。第二十一页，共六十四页。（3 3） Routh Routh 判据的特殊情况判据的特殊情况Back1.1. 特殊情况特殊情况1 1：第一列出现：第一列出现0 0第一列出现第一列出现0 0各项系数均为正数各项系数均为正数解决方法：用任意小正数解决方法：用任意小正数 代之。代之。第二十二页，共六十四页。2.2.特殊情况特殊情况2 2：某一行元素均为：某一行元素均为0 0解解决决方方法法：用用全全0 0行行的的上上一一行行元元素素构构成成辅辅助助方方程程, ,用用对对该该方方程程求求导导后后的的方方程系数替代全程系数替代全0 0行行

11、.各项系数均为正数各项系数均为正数求导得求导得:例如例如：出现全出现全0 0行行还可由这些辅助方还可由这些辅助方程求出相应的极点程求出相应的极点第二十三页，共六十四页。n 说明说明: :劳斯阵列出现全零行表明劳斯阵列出现全零行表明 系统在系统在s s平面有对称分布的根平面有对称分布的根共轭虚根对称于实轴的两对共轭复根Back对称于虚轴第二十四页，共六十四页。2. 胡尔维茨稳定性判据 胡尔维茨法也属于代数判据，它是把特征方程和系数用相应的行列式表示，系统稳定的充要条件为：（1）特征方程的所有系数an,an-1,a0均为正；（2）由特征方程系数组成的各阶胡尔维茨行列式均为正，即 胡尔维茨行列式按照

12、下面方法生成：在主对角线上写出特征方程式的第二项的系数an-1直到最后一项的系数a0 ，在主对角线以下的各行中，按列填充下标号码逐次增加的各系数；而在对角线以上各行中，按列填充下标号码逐次减小的各系数。如果在某位置上按次序应填入的系数下标大于n或小于0，则在该位置补0。第二十五页，共六十四页。 当主行列式及其主对角线上各子行列式均大于零时，特征方程式就没有根在s平面的右半平面，即系统稳定。第二十六页，共六十四页。例6.7 系统特征方程为判别系统稳定性。解：解：写出胡尔维茨主行列式可得各子行列式为因为这些子式均大于零，故系统稳定第二十七页，共六十四页。6.3 奈奎斯特稳定性判据 奈奎斯特稳定性判

13、据是一种几何判断，它根据开环传递函数的特点，通过作奈奎斯特图来研究闭环控制系统稳定性，不仅能判别稳定性还可以分析系统的稳定和不稳定程度，并从中找出改善系统性能的途径。1. 基本原理如图所示闭环系统，其传递函数为：第二十八页，共六十四页。 闭环系统稳定的充要条件：闭环系统稳定的充要条件：特征方程的根全部在s平面的左半平面，只要有一个根在右半平面或虚轴上，系统就不稳定。 奈奎斯特判据是根据开环奈奎斯特图以及开环极点位置来判断根据开环奈奎斯特图以及开环极点位置来判断闭环特征方程的根的位置闭环特征方程的根的位置，从而判定稳定性。下面介绍其步骤：（1）闭环特征方程与特征函数系统闭环特征方程为而其特征函数

14、为第二十九页，共六十四页。故开环传递函数为而闭环特征方程可表示为（616）（618）（617）（619）其中G(s)，H(s)都是复数s的函数，可分别表示为如下多项式之比：特征函数 可表达为：第三十页，共六十四页。式（617）中分母、分子的阶次分别为n和m，因为G(s)和H(s)均为物理可实现的环节，所以 ，故特征函数A(s)分子分母的阶次均为n，比较（617）、（618）和（619），可得如下结论：闭环特征方程的根与特征函数的零点完全相同；特征函数的极点与开环传递函数的极点完全相同特征函数的极点与开环传递函数的极点完全相同；特征函数的零点数与其极点数相同（等于特征函数的零点数与其极点数相同（

15、等于n）。）。因为系统开环传递函数及其极点已知，根据式（618），可以通过对开环传递函数G(s)H(s)和特征函数 的频率特性分析，确定特征函数的零点（即闭环特征方程根）的分布，从而判别系统的稳定性，这就是奈奎斯特稳定性判据的基本原理。第三十一页，共六十四页。（2）幅角原理 奈奎斯特判据的数学基础是复变函数理论中的幅角原理，由前前面特征函数零、极点与开环极点的关系，利用幅角原理，可以得面特征函数零、极点与开环极点的关系，利用幅角原理，可以得到特征函数零点分布与开环极点分布及开环幅角变化的关系。到特征函数零点分布与开环极点分布及开环幅角变化的关系。将(6-18)分解因式得：（620）（618）（

16、621）（622）第三十二页，共六十四页。将(6-21)和(6-22)代入(6-20)得(6-23)第三十三页，共六十四页。(6-24)第三十四页，共六十四页。(6-25)第三十五页，共六十四页。下面以右图为例说明如何确定N：由式625可知，在A(s)平面上，过原点任作一条直线OC，观察A(s)形成的矢端曲线GA以不同方向通过OC直线次数的差值来定N，顺时针通过为负，逆时针通过为正。(a) N=2;(b) N=0;(c) N=3;(d) N=0;(6-25)第三十六页，共六十四页。（3）奈奎斯特判据 判别系统的稳定性就是判别闭环特征方程在s平面右半平面根的个数，即特征函数A(s)在右半平面的零点数。(6-26)第三十七页，共六十四页。（4）开环传递函数与奈奎斯特判据(6-27)我们可以通过坐标平移，由1+G(s)H(s)平面即A(s)平面变换到GH平面（G(s)H(s)的简写），即由1+G(s)H(s)=0变换为：如图所示，在1+G(s)H(s)平面上绕原点逆时针旋转的圈数，相当于在GH平面上绕（1,j0）点逆时针旋转的圈数。这样我们就可以用系统的开环传递函数G(s)H(s)来判别系统