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1、第八章 专题拓展8.4 开放探究型中考数学中考数学 (广东专用)1解答题好题精练1.(2018陕西,25,12分)问题提出(1)如图,在ABC中,A=120,AB=AC=5,则ABC的外接圆半径R的值为.问题探究(2)如图,O的半径为13,弦AB=24,M是AB的中点,P是O上一动点,求PM的最大值.问题解决(3)如图所示,AB、AC、是某新区的三条规划路,其中,AB=6km,AC=3km,BAC=60,所对的圆心角为60.新区管委会想在路边建物资总站点P,在AB、AC路边分别建物资分站点E、F,也就是,分别在、线段AB和AC上选取点P、E、F.由于总站工作人员每天都要将物资在各物资站点间按P
2、EFP的路径进行运输,因此,要在各物资站点之间规划道路PE、EF和FP.为了快捷、环保和节约成本,要使得线段PE、EF、FP之和最短,试求PE+EF+FP的最小值.(各物资站点与所在道路之间的距离、路宽均忽略不计)23解析解析(1)5(2分)详解:如图,设O是ABC的外接圆的圆心,OA=OB=OC,又AB=AC,AOBAOC,BAO=CAO,BAC=120,BAO=60,ABO是等边三角形,AB=OA=OB=5.即ABC的外接圆半径R的值为5.(2)如图,连接MO,并延长与O相交于点P,连接OA,OP.4M是弦AB的中点,OMAB,AM=AB=12.在RtAOM中,OM=5.(4分)PMOM+
3、OP=OM+OP=MP=18,当点P运动到P时,PM取得最大值,为18.(5分)(3)如图,设P为上任意一点,分别作点P关于直线AB、AC的对称点P1、P2,连接P1P2,分别与AB、AC相交于点E、F,连接PE,PF,5PEF的周长=P1E+EF+P2F=P1P2,对于点P及分别在AB、AC上的任意点E、F,有PEF的周长PEF的周长=P1P2.即PEF周长的最小值为P1P2的长.(7分)连接AP1,AP,AP2,则AP1=AP=AP2,P1AB=PAB,P2AC=PAC,P1AP2=2BAC=120,P1P2=AP1=AP.(8分)要使P1P2最短,只要AP最短即可.设O为所在圆的圆心,连
4、接OB、OC、OP、OA,且OA与相交于点P,6则AP+POAO.APAP.(9分)连接BC,易证ACB为直角三角形,且ABC=30,ACB=90,BC=ACtan60=3km.BOC=60,OB=OC,BO=BC=3km,OBC=60,ABO=ABC+OBC=90.在RtABO中,AO=3km.(11分)AP=(AO-OP)=(3-3)=(3-9)km.P1P2的最小值为AP=(3-9)km.PE+EF+FP的最小值为(3-9)km.(12分)7思路分析思路分析(1)设O是ABC的外接圆的圆心,根据全等三角形的判定与性质和圆的半径相等可证ABO是等边三角形,所以AB=OA=OB=5;(2)当
5、PMAB时,PM有最大值,根据垂径定理可得AM=AB=12,再根据勾股定理求得OM=5,进而由PMOM+OP=OM+OP=MP=18得解;(3)分别以AB、AC所在的直线为对称轴,作出P关于AB的对称点为P1,关于AC的对称点为P2,易得PEF的周长为P1P2的长,根据P1P2=AP,可知要使P1P2最短,只要AP最短,OA与交于点P,此时使得线段PE、EF、FP之和最短,然后先判定ABC为直角三角形,求出BC的长,在RtABO中由勾股定理求出AO的长,进而求出AP的值,最后求得PE+EF+FP的最小值.难点分析难点分析本题难点在于第(3)问如何确定P点的位置及何时PE+EF+FP取得最小值.
6、读懂题目信息也就明确了可以利用轴对称确定最短路线问题,同时结合圆半径和线段OA的长度求出AP的最小值.82.(2018青岛,23,10分)问题提出:用若干相同的一个单位长度的细直木棒,按照下图方式搭建一个长方体框架,探究所用木棒条数的规律.问题探究:我们先从简单的问题开始探究,从中找出解决问题的方法.探究一用若干木棒来搭建横长是m,纵长是n的矩形框架(m、n是正整数),需要木棒的条数.如图,当m=1,n=1时,横放木棒为1(1+1)条,纵放木棒为(1+1)1条,共需4条;如图,当m=2,n=1时,横放木棒为2(1+1)条,纵放木棒为(2+1)1条,共需7条;如图,当m=2,n=2时,横放木棒为
7、2(2+1)条,纵放木棒为(2+1)2条,共需12条;9如图,当m=3,n=1时,横放木棒为3(1+1)条,纵放木棒为(3+1)1条,共需10条;如图,当m=3,n=2时,横放木棒为3(2+1)条,纵放木棒为(3+1)2条,共需17条.问题(一):当m=4,n=2时,共需木棒条.问题(二):当矩形框架横长是m,纵长是n时,横放的木棒为条,纵放的木棒为条.探究二用若干木棒来搭建横长是m,纵长是n,高是s的长方体框架(m、n、s是正整数),需要木棒的条数.如图,当m=3,n=2,s=1时,横放与纵放木棒之和为3(2+1)+(3+1)2(1+1)=34条,竖放木棒为(3+1)(2+1)1=12条,共
8、需46条;如图,当m=3,n=2,s=2时,横放与纵放木棒之和为3(2+1)+(3+1)2(2+1)=51条,竖放木棒为(3+1)(2+1)2=24条,共需75条;10如图,当m=3,n=2,s=3时,横放与纵放木棒之和为3(2+1)+(3+1)2(3+1)=68条,竖放木棒为(3+1)(2+1)3=36条,共需104条.11问题(三):当长方体框架的横长是m,纵长是n,高是s时,横放与纵放木棒条数之和为条,竖放木棒条数为条.实际应用:现在按探究二的搭建方式搭建一个纵长是2、高是4的长方体框架,总共使用了170条木棒,则这个长方体框架的横长是.拓展应用:若按照下图方式搭建一个底面边长是10,高
9、是5的正三棱柱框架,需要木棒条.12解析解析问题(一):当m=4,n=2时,共需木棒4(2+1)+(4+1)2=12+10=22条.问题(二):当矩形框架横长是m,纵长是n时,横放的木棒为m(n+1)条,纵放的木棒为n(m+1)条.问题(三):由题图探索发现:横放与纵放木棒条数之和为m(n+1)+(m+1)n(s+1)条,竖放木棒条数为s(m+1)(n+1)条.实际应用:按探究二的搭建方式搭建一个纵长是2、高是4的长方体框架,总共使用了170条木棒,设这个长方体框架的横长是x,根据规律可得2(x+1)+x(2+1)(4+1)+4(2+1)(x+1)=170,解得x=4,所以这个长方体框架的横长
10、是4.拓展应用:若按照如题图方式搭建一个底面边长是10,高是5的正三棱柱框架,每层三角形从左到右的个数=1+2+3+4+5+10,有两个腰,腰的总个数=2(1+2+3+4+5+10),共有6层,则需要横放与纵放木棒条数之和=6(1+2)(1+2+3+4+5+10)=990条,竖放木棒条数=5(1+2+3+4+5+10+11)=330条,故总共需要木棒990+330=1320条.13思路分析思路分析由题图可知,横放条数+纵放条数=总条数,其中横放条数=横长m(纵长n+1),纵放条数=(横长m+1)纵长n,由此可解决问题(一)、问题(二),根据题图可解决问题(三).对于实际应用:按探究二的搭建方式
11、搭建一个纵长是2、高是4的长方体框架,总共使用了170条木棒,设这个长方体框架的横长是x,根据发现的规律列方程求解.拓展应用:若按照如题图方式搭建正三棱柱框架,要找出每层中小三角形的个数,得到木棒数,然后加上竖放的木棒条数.解后反思解后反思本题可以看成探究性问题,也可以看成阅读理解题,这类问题要求必须在理解的基础上进行问题的解答,在初始探究时或在阅读材料中提供了一些操作或探究方法,要求同学们去模拟并探究,这种题不仅考查了同学们的阅读能力,而且还综合考查了同学们的创新意识及转化能力.一般解决第(1)问并不难,等于送分给考生,而且这种思想与方法为解决后几问提供了参考与暗示,仿照前一问题的思路,一切
12、问题都迎刃而解了.143.(2017吉林,26,10分)函数的图象与性质拓展学习片段展示:【问题】如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=a(x-2)2-经过原点O,与x轴的另一个交点为A,则a=.【操作】将图中抛物线在x轴下方的部分沿x轴折叠到x轴上方,将这部分图象与原抛物线剩余部分的图象组成的新图象记为G,如图.直接写出图象G对应的函数解析式.【探究】在图中,过点B(0,1)作直线l平行于x轴,与图象G的交点从左至右依次为点C,D,E,F,如图.求图象G在直线l上方的部分对应的函数y随x增大而增大时x的取值范围.【应用】P是图中图象G上一点,其横坐标为m,连接PD,PE.直接写出PDE的面积不
13、小于1时m的取值范围.15解析解析【问题】把(0,0)代入y=a(x-2)2-,得4a-=0,a=.(1分)【操作】当x0或x4时,y=(x-2)2-;(2分)当0 x4时,y=-(x-2)2+.(3分)【探究】由题意得,当x0或x4时,令y=1,则(x-2)2-=1.解得x1=2+,x2=2-.(4分)点C,F的坐标分别为(2-,1),(2+,1).当0 x4时,令y=1,则-(x-2)2+=1.解得x1=3,x2=1.(5分)点D,E的坐标分别为(1,1),(3,1).当1x2+时,y随x的增大而增大.(7分)【应用】PDE的面积不小于1时,m的取值范围是m=0或m=4或m2-或m2+.(
14、详解:设点P的纵坐标为y,则P(m,y),2|y-1|=1,解得y=0或y=2.当y=0时,m=0或m=4;当y=2时,(m-2)2-=2,解得m=2.所以PDE的面积不小于1时,m的取值范围是m=0或m=4或m2-或m2+)(10分)16评分说明:(1)在“操作”和“探究”中,写自变量取值范围时,用“”或“”均得分;(2)在“操作”中,解析式正确即可得分;(3)在“应用”中,写对一个得1分,写对两个或三个得2分,写对四个得3分.174.(2017北京,26,6分)如图,P是所对弦AB上一动点,过点P作PMAB交于点M,连接MB,过点P作PNMB于点N.已知AB=6cm,设A,P两点间的距离为
15、xcm,P,N两点间的距离为ycm.(当点P与点A或点B重合时,y的值为0)小东根据学习函数的经验,对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究.下面是小东的探究过程,请补充完整:(1)通过取点、画图、测量,得到了x与y的几组值,如下表:x/cm0123456y/cm02.02.32.10.9018(说明:补全表格时相关数值保留一位小数)(2)建立平面直角坐标系,描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点,画出该函数的图象;(3)结合画出的函数图象,解决问题:当PAN为等腰三角形时,AP的长度约为cm.19解析解析(1)x/cm0123456y/cm02.02.32.11.60.90(2)(3)
16、2.25.(答案不唯一)提示:当PAN为等腰三角形时,只有AP=PN这一种可能,则有y=x,求函数y=x的图象与所画出的函数图象的交点即可.205.(2017河南,22,10分)如图1,在RtABC中,A=90,AB=AC,点D,E分别在边AB,AC上,AD=AE,连接DC,点M,P,N分别为DE,DC,BC的中点.(1)观察猜想图1中,线段PM与PN的数量关系是,位置关系是;(2)探究证明把ADE绕点A按逆时针方向旋转到图2的位置,连接MN,BD,CE,判断PMN的形状,并说明理由;(3)拓展延伸把ADE绕点A在平面内自由旋转,若AD=4,AB=10,请直接写出PMN面积的最大值.21解析解析(1)PM=PN;PMPN.(2分)(2)等腰直角三角形.(3分)理由如下:由旋转可得BAD=CAE.又AB=AC,AD=AE,BADCAE.BD=CE,ABD=ACE.(5分)点P,M分别是DC,DE的中点,PM是DCE的中位线.PM=CE且PMCE.同理可证PN=BD且PNBD.PM=PN,MPD=ECD,PNC=DBC.(6分)MPD=ECD=ACD+ACE=ACD+ABD,DPN=PNC
