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1、2019届中考数学分类解析 专题10 四边形一、 选择题1.（2012浙江杭州3分）已知平行四边形ABCD中，B=4A，则C=【 】A18B36C72D144【答案】B。【考点】平行四边形的性质，平行线的性质。【分析】由平行四边形性质求出C=A，BCAD，推出A+B=180，求出A的度数，即可求出C：四边形ABCD是平行四边形，C=A，BCAD。A+B=180。B=4A，A=36。C=A=36。故选B。2. （2012浙江宁波3分）勾股定理是几何中的一个重要定理在我国古算书周髀算经中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载如图1是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的，可以用其面积关系验证勾股定理图
2、2是由图1放入矩形内得到的，BAC=90，AB=3，AC=4，点D，E，F，G，H，I都在矩形KLMJ的边上，则矩形KLMJ的面积为【 】A90B100C110D121【答案】C。【考点】勾股定理的证明。【分析】如图，延长AB交KF于点O，延长AC交GM于点P，所以，四边形AOLP是正方形，边长AO=AB+AC=3+4=7。所以，KL=3+7=10，LM=4+7=11，因此，矩形KLMJ的面积为1011=110。故选C。3. （2012浙江台州4分）如图，菱形ABCD中，AB=2，A=120，点P，Q，K分别为线段BC，CD，BD上的任意一点，则PK+QK的最小值为【 】A1 B C 2 D1
3、【答案】B。【考点】菱形的性质，线段中垂线的性质，三角形三边关系，垂直线段的性质，矩形的判定和性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。【分析】分两步分析： （1）若点P，Q固定，此时点K的位置：如图，作点P关于BD的对称点P1，连接P1Q，交BD于点K1。 由线段中垂线上的点到线段两端距离相等的性质，得 P1K1 = P K1，P1K=PK。 由三角形两边之和大于第三边的性质，得P1KQKP1Q= P1K1Q K1= P K1Q K1。 此时的K1就是使PK+QK最小的位置。 （2）点P，Q变动，根据菱形的性质，点P关于BD的对称点P1在AB上，即不论点P在BC上任一点，点P1总在AB上。
4、 因此，根据直线外一点到直线的所有连线中垂直线段最短的性质，得，当P1QAB时P1Q最短。 过点A作AQ1DC于点Q1。 A=120，DA Q1=30。 又AD=AB=2，P1Q=AQ1=ADcos300=。 综上所述，PK+QK的最小值为。故选B。二、填空题1. （2012浙江杭州4分）已知一个底面为菱形的直棱柱，高为10cm，体积为150cm3，则这个棱柱的下底面积为 cm2；若该棱柱侧面展开图的面积为200cm2，记底面菱形的顶点依次为A，B，C，D，AE是BC边上的高，则CE的长为 cm【答案】15，1。【考点】菱形的性质，几何体的展开图，勾股定理。【分析】由底面为菱形的直棱柱，高为1
5、0cm，体积为150cm3，由体积=底面积高，即可求得这个棱柱的下底面积，又由该棱柱侧面展开图的面积为200cm2，即可求得底面菱形的周长与BC边上的高AE的长，由勾股定理求得BE的长，从而求得CE的长：底面为菱形的直棱柱，高为10cm，体积为150cm3，这个棱柱的下底面积为：15010=15（cm2）。该棱柱侧面展开图的面积为200cm2，高为10cm，底面菱形的周长为：20010=20（cm）。AB=BC=CD=AD=204=5（cm），AE=S菱形ABCDBC=155=3（cm）。BE=4（cm）。EC=BCBE=54=1（cm）。2. （2012浙江丽水、金华4分）如图，在直角梯形A
6、BCD中，A90，B120，AD，AB6在底边AB上取点E，在射线DC上取点F，使得DEF120(1)当点E是AB的中点时，线段DF的长度是 ；(2)若射线EF经过点C，则AE的长是 【答案】6；2或5。【考点】直角梯形的性质，勾股定理，解直角三角形。【分析】(1)如图1，过E点作EGDF，EGAD。E是AB的中点，AB6，DGAE3。DEG60（由三角函数定义可得）。DEF120，FEG60。tan60，解得，GF3。EGDF，DEGFEG，EG是DF的中垂线。DF2 GF6。(2)如图2，过点B作BHDC，延长AB至点M，过点C作CFAB于F，则BHAD。ABC120，ABCD，BCH60
7、。CH，BC。设AEx，则BE6x，在RtADE中，DE，在RtEFM中，EF，ABCD，EFDBEC。DEFB120，EDFBCE。，即，解得x2或5。3. （2012浙江衢州4分）如图，平行四边形ABCD中，E是CD的延长线上一点，BE与AD交于点F，CD=2DE若DEF的面积为a，则平行四边形ABCD的面积为 （用a的代数式表示）【答案】12a。【考点】平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质。【分析】四边形ABCD是平行四边形，ABCD，ADBC，AB=CD，DEFCEB，DEFABF。SDEF ：SCE B=（DE：CE）2，SDEF ：SABF=（DE：AB）2，CD=2DE，DE
8、：CE=1：3，DE：AB=1：2，SDEF=a，SCBE=9a，SABF=4a，S四边形BCDF=SCEBSDEF=8a。SABCD=S四边形BCDF+SABF=8a+4a=12a。三、解答题1. （2012浙江杭州10分）如图，在梯形ABCD中，ADBC，AB=CD，分别以AB，CD为边向外侧作等边三角形ABE和等边三角形DCF，连接AF，DE（1）求证：AF=DE；（2）若BAD=45，AB=a，ABE和DCF的面积之和等于梯形ABCD的面积，求BC的长【答案】（1）证明：在梯形ABCD中，ADBC，AB=CD，BAD=CDA。在等边三角形ABE和等边三角形DCF中，AB=AE，DC=D
9、F，且BAE=CDF=60，AE=DF，EAD=FDA，AD=DA。AEDDFA（SAS）。AF=DE。 （2）解：如图作BHAD，CKAD，则有BC=HK。BAD=45，HAB=KDC=45。AB=BH=AH。同理：CD=CK=KD。S梯形ABCD=，AB=a，S梯形ABCD=。又SABE=SDCF=，解得：。【考点】等腰梯形的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质。【分析】（1）根据等腰梯形和等边三角形的性质以及全等三角形SAS的判定证明AEDDFA即可。（2）如图作BHAD，CKAD，利用给出的条件和梯形的面积公式即可求出BC的长。2. （2012浙江湖州8分）已知：如图，在AB
10、CD中，点F在AB的延长线上，且BF=AB，连接FD，交BC于点E（1）说明DCEFBE的理由；（2）若EC=3，求AD的长 3. （2012浙江嘉兴、舟山8分）如图，已知菱形ABCD的对角线相交于点O，延长AB至点E，使BE=AB，连接CE（1）求证：BD=EC；（2）若E=50，求BAO的大小【答案】（1）证明：四边形ABCD是菱形，AB=CD，ABCD。 又BE=AB，BE=CD，BECD。四边形BECD是平行四边形。BD=EC。（2）解：四边形BECD是平行四边形，BDCE，ABO=E=50。又四边形ABCD是菱形，AC丄BD。BAO=90ABO=40。【考点】菱形的性质，平行四边形的
11、判定和性质，平行的性质，直角三角形两锐角的关系。【分析】（1）根据菱形的对边平行且相等可得AB=CD，ABCD，然后证明得到BE=CD，BECD，从而证明四边形BECD是平行四边形，再根据平行四边形的对边相等即可得证。（2）根据两直线平行，同位角相等求出ABO的度数，再根据菱形的对角线互相垂直可得ACBD，然后根据直角三角形两锐角互余计算即可得解。 4. （2012浙江宁波10分）邻边不相等的平行四边形纸片，剪去一个菱形，余下一个四边形，称为第一次操作；在余下的四边形纸片中再剪去一个菱形，又剩下一个四边形，称为第二次操作；依此类推，若第n次操作余下的四边形是菱形，则称原平行四边形为n阶准菱形如
12、图1，ABCD中，若AB=1，BC=2，则ABCD为1阶准菱形（1）判断与推理：邻边长分别为2和3的平行四边形是 阶准菱形；小明为了剪去一个菱形，进行了如下操作：如图2，把ABCD沿BE折叠（点E在AD上），使点A落在BC边上的点F，得到四边形ABFE请证明四边形ABFE是菱形（2）操作、探究与计算：已知ABCD的邻边长分别为1，a（a1），且是3阶准菱形，请画出ABCD及裁剪线的示意图，并在图形下方写出a的值；已知ABCD的邻边长分别为a，b（ab），满足a=6b+r，b=5r，请写出ABCD是几阶准菱形【答案】解：（1）2。由折叠知：ABE=FBE，AB=BF，四边形ABCD是平行四边形，
13、AEBF。AEB=FBE。AEB=ABE。AE=AB。AE=BF。四边形ABFE是平行四边形。四边形ABFE是菱形。（2）如图所示：a=6b+r，b=5r，a=65r+r=31r。如图所示，故ABCD是10阶准菱形。【考点】图形的剪拼，平行四边形的性质，平行的性质，菱形的性质，作图（应用与设计作图）。【分析】（1）根据邻边长分别为2和3的平行四边形进过两次操作即可得出所剩四边形是边长为1菱形，故邻边长分别为2和3的平行四边形是2阶准菱形。根据平行四边形的性质得出AEBF，从而得出AE=BF，即可得出答案。 （2）利用3阶准菱形的定义，即可得出答案。根据a=6b+r，b=5r，用r表示出各边长，
14、从而利用图形得出ABCD是几阶准菱形。5. （2012浙江衢州6分）如图，在平行四边形ABCD中，E、F是对角线BD上的两点，且BE=DF，连接AE、CF请你猜想：AE与CF有怎样的数量关系？并对你的猜想加以证明【答案】解：猜想：AE=CF。证明如下：四边形ABCD是平行四边形，ABCD，AB=CD。ABE=CDF。在ABE和CDF中，AB=CD，ABE=CDF，BE=DF，ABECDF（SAS），AE=CF。【考点】平行四边形的性质，平行线的性质，全等三角形的判定和性质。【分析】由四边形ABCD是平行四边形，即可得ABCD，AB=CD，然后利用平行线的性质，求得ABE=CDF，又由BE=DF，即可由SAS证
