精选有限元法基础动力学问题讲义

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1、（优选）有限元法基础动力学问题第一页，共六十八页。12. 动力学问题关键概念关键概念一致质量矩阵一致质量矩阵 团聚质量矩阵团聚质量矩阵振型阻尼矩阵振型阻尼矩阵 Rayleigh阻尼阻尼显式积分显式积分 隐式积分隐式积分Guyan减缩法减缩法 动力子结构法动力子结构法有限元法基础2第二页，共六十八页。12. 动力学问题12.1 12.1 动力学问题的有限元方程动力学问题的有限元方程（一）动力学问题的基本方程（一）动力学问题的基本方程平衡方程平衡方程几何方程几何方程本构关系本构关系边界条件边界条件初始条件初始条件有限元法基础3第三页，共六十八页。12. 动力学问题（二）（二）Galerkin法法l

2、 平衡方程和力的边界条件的等效积分形式平衡方程和力的边界条件的等效积分形式第一项分部积分第一项分部积分有限元法基础4第四页，共六十八页。12. 动力学问题（三）有限元离散（三）有限元离散l在动力学分析时，物理量是空间（在动力学分析时，物理量是空间（x, y, z）的函数，也）的函数，也是时间（是时间（t）的函数，是一个四维问题）的函数，是一个四维问题l有限元离散，或网格剖分是对空间域进行，这一步有限元离散，或网格剖分是对空间域进行，这一步骤与静力学问题分析时相同骤与静力学问题分析时相同l时间维的离散使用有限差分法处理时间维的离散使用有限差分法处理有限元法基础5第五页，共六十八页。12. 动力学

3、问题（四）位移插值函数（四）位移插值函数 只对空间域进行离散，插值函数表示为只对空间域进行离散，插值函数表示为写成矩阵形式写成矩阵形式有限元法基础6插值函数插值函数与时间无关与时间无关第六页，共六十八页。12. 动力学问题（五）有限元方程（五）有限元方程 将插值函数代入将插值函数代入Galerkin积分表达式，由积分表达式，由 的任意性得，的任意性得，系统的求解方程系统的求解方程其中其中有限元法基础7第七页，共六十八页。12. 动力学问题（六）典型的动力学问题（六）典型的动力学问题模态分析（模态分析（Modal Analysis） 确定结构的动力学特征确定结构的动力学特征瞬态分析（瞬态分析（T

4、ransient Analysis） 使用直接积分法或模态叠加法得到结构的瞬态响应使用直接积分法或模态叠加法得到结构的瞬态响应谐分析（谐分析（Harmonic Analysis） 线性结构承受简谐载荷的稳态响应线性结构承受简谐载荷的稳态响应谱分析（谱分析（Spectrum Analysis） 在响应谱作用下，结构的响应在响应谱作用下，结构的响应 有限元法基础8第八页，共六十八页。12. 动力学问题12.2 12.2 质量矩阵和阻尼矩阵质量矩阵和阻尼矩阵l动力问题的质量矩阵动力问题的质量矩阵它与所使用的有限元列式的原理和位移插值函数保持一致。它与所使用的有限元列式的原理和位移插值函数保持一致。

5、假定质量集中在节点上，导出的质量假定质量集中在节点上，导出的质量 矩阵是对角线矩阵，可提高计算效率。矩阵是对角线矩阵，可提高计算效率。有限元法基础9一致质量矩阵一致质量矩阵Consistent Mass团聚质量矩阵团聚质量矩阵Lumped Mass 第九页，共六十八页。12. 动力学问题l团聚质量矩阵的计算方法团聚质量矩阵的计算方法（1 1） 中每一行主元等于中每一行主元等于 中该行所有元素之和中该行所有元素之和（2 2） 中每一行主元等于中每一行主元等于 中该行主元乘以缩放中该行主元乘以缩放 因子因子 a 根据平动根据平动DOFDOF质量守恒确定质量守恒确定, ,即即有限元法基础10第十页，

6、共六十八页。12. 动力学问题l振型阻尼矩阵振型阻尼矩阵 阻尼正比于质点速度阻尼正比于质点速度 阻尼正比于应变速度阻尼正比于应变速度这种阻尼称为比例阻尼或振型阻尼，比例系数与固有频率这种阻尼称为比例阻尼或振型阻尼，比例系数与固有频率相关。相关。 和和 与频率无关，为常数。与频率无关，为常数。 有限元法基础11阻尼矩阵与质量矩阵或刚度矩阵成比例阻尼矩阵与质量矩阵或刚度矩阵成比例Rayleigh阻尼阻尼第十一页，共六十八页。12. 动力学问题12.3 12.3 直接积分法直接积分法 半半离离散散的的动动力力学学方方程程的的解解法法分分为为两两类类，一一是是直直接接进进行行数数值值积积分分，一一类类

7、是是使使用用固固有有振振型型表表达达动动态态响响应应，称称为为振型叠加法。振型叠加法。 直直接接时时间间积积分分一一般般采采用用差差分分格格式式，分分为为显显式式时时间间和和隐隐式式时时间间积分。积分。 显显式式积积分分式式条条件件稳稳定定的的，隐隐式式积积分分是是无无条条件件稳稳定定的的，各各有优缺点。有优缺点。有限元法基础12第十二页，共六十八页。12. 动力学问题12.3.1 12.3.1 中心差分法中心差分法 有有限限差差分分法法的的理理论论依依据据很很简简单单，以以有有限限增增量量的的比比值值代代替替数数学学上的微分，速度表示为上的微分，速度表示为中心差分格式为中心差分格式为有限元法

8、基础13第十三页，共六十八页。12. 动力学问题将中心差分格式应用到有限元的半离散方程将中心差分格式应用到有限元的半离散方程整理得递推公式整理得递推公式有限元法基础14第十四页，共六十八页。12. 动力学问题中心差分法求解运动方程的步骤中心差分法求解运动方程的步骤1.1.初始计算初始计算1 1）形成刚度矩阵）形成刚度矩阵K K、质量矩阵、质量矩阵M M和阻尼矩阵和阻尼矩阵C C2 2）给定）给定 ， 和和3 3）选择时间步长）选择时间步长 ，4 4）计算）计算5 5）形成有效质量矩阵）形成有效质量矩阵6 6）三角分解）三角分解 有限元法基础15第十五页，共六十八页。12. 动力学问题2.2.对

9、每一时间步长对每一时间步长1 1）计算时间）计算时间 t 的有效载荷的有效载荷2 2）求解时间）求解时间 的位移的位移3 3）如果需要计算时间）如果需要计算时间 t 的加速度和速度的加速度和速度 有限元法基础16第十六页，共六十八页。12. 动力学问题特点特点（1 1）若已知）若已知 和和 可直接预测下一步的可直接预测下一步的 ，称为逐步积分法。称为逐步积分法。 如果质量矩阵如果质量矩阵M是对角的，是对角的，C也是对角或可以忽略，则利用也是对角或可以忽略，则利用递推公式求解时不需求解方程，直接可得下一时间步的预测值。递推公式求解时不需求解方程，直接可得下一时间步的预测值。有限元法基础17显示时

10、间积分显示时间积分(Explicit Time Integral) 第十七页，共六十八页。12. 动力学问题（2 2）当当t=0时时，需需要要 和和 ，因因此此必必须须用用专专门门的的起起步方法。由速度和加速度的中心差分公式，消去步方法。由速度和加速度的中心差分公式，消去 的量，得的量，得初始加速度可用运动方程求得初始加速度可用运动方程求得有限元法基础18第十八页，共六十八页。12. 动力学问题（3 3）中心差分是条件稳定的，时间步长不能任意取，最大）中心差分是条件稳定的，时间步长不能任意取，最大步长与计算的问题相关，以及网格剖分相关。步长与计算的问题相关，以及网格剖分相关。一般步长可取为一般

11、步长可取为 为系统的最高阶固有频率，为系统的最高阶固有频率，Tn是系统的最小固有振动周期。是系统的最小固有振动周期。实际应用中可以用系统中最小尺度单元的最小振动周期代替系实际应用中可以用系统中最小尺度单元的最小振动周期代替系统的统的Tn，因为，因为 。 有限元法基础19第十九页，共六十八页。12. 动力学问题（4 4）时间步长的确定方式）时间步长的确定方式 a) a) 网格剖分后，找出尺寸最小的单元，形成单元的特网格剖分后，找出尺寸最小的单元，形成单元的特征方程征方程求出最大特征根求出最大特征根 ，得到，得到 。 b) b)网格剖分后，找出尺寸最小的单元的最小边长网格剖分后，找出尺寸最小的单元

12、的最小边长 L，可，可以近似地估计以近似地估计 ， ，由此，得，由此，得 ，称为，称为Couran，Friedrich和和Lewy条件。条件。有限元法基础20物理解释：时间步长应足够小，以致于在单个时间步物理解释：时间步长应足够小，以致于在单个时间步内，传播不会超过相邻的两个节点间的距离。内，传播不会超过相邻的两个节点间的距离。第二十页，共六十八页。12. 动力学问题（5 5）中心差分的显示算法，适合于由冲击、碰撞、爆炸）中心差分的显示算法，适合于由冲击、碰撞、爆炸类型的载荷引起的波传播问题的求解。类型的载荷引起的波传播问题的求解。 因为这些问题本身就是在初始扰动后，按一定的波速因为这些问题本

13、身就是在初始扰动后，按一定的波速C逐逐步在介质中传播。步在介质中传播。 对于结构动力学问题，采用显示时间积分不太合适。对于结构动力学问题，采用显示时间积分不太合适。因为结构的动力响应中低频成分起主要作用，允许大的时因为结构的动力响应中低频成分起主要作用，允许大的时间步长。间步长。 有限元法基础21第二十一页，共六十八页。12. 动力学问题l例：波的传播例：波的传播 均匀钢杆，无阻尼，开始静止，突然施加轴均匀钢杆，无阻尼，开始静止，突然施加轴向端点力。用向端点力。用4040个个2 2节点杆单元模拟，材料为线弹性。图中节点杆单元模拟，材料为线弹性。图中Cn为为Courant数，即实际步长与临界步长

14、的比值。数，即实际步长与临界步长的比值。有限元法基础22第二十二页，共六十八页。12. 动力学问题有限元法基础23第二十三页，共六十八页。12. 动力学问题有限元法基础24初始速度为零，开始后在加载。初始速度为零，开始后在加载。第二十四页，共六十八页。12. 动力学问题12.3.2 12.3.2 Newmark法法 Newmark积分法假设，积分法假设，在在 的时间区域内，有的时间区域内，有其中，其中， 和和 是按积分精度、稳定性和算法阻尼要求决定的参数，是按积分精度、稳定性和算法阻尼要求决定的参数，取不同的值代表不同的积分方案。取不同的值代表不同的积分方案。有限元法基础25第二十五页，共六十

15、八页。12. 动力学问题l几个特例几个特例1 1） ，对应于线性加速度法，即在时间步加速度内线性，对应于线性加速度法，即在时间步加速度内线性变化变化2 2） ，对应于平均加速度法，即在时间步内加速度取平，对应于平均加速度法，即在时间步内加速度取平均值均值有限元法基础26第二十六页，共六十八页。12. 动力学问题Newmark法的运动方程法的运动方程由由Newmark关系式，得关系式，得递推公式为递推公式为有限元法基础27第二十七页，共六十八页。12. 动力学问题Newmark法的计算步骤法的计算步骤1.1.初始计算初始计算（1 1）形成刚度矩阵）形成刚度矩阵K，质量矩阵，质量矩阵M和阻尼矩阵和

16、阻尼矩阵C（2）给定）给定 ， 和和（3）选择时间步长）选择时间步长 ，以及参数，以及参数 、 和积分常数和积分常数（4）形成有效刚度矩阵）形成有效刚度矩阵（5）三角分解）三角分解 有限元法基础28第二十八页，共六十八页。12. 动力学问题2.2.对每一时间步长对每一时间步长（1 1）计算时间）计算时间 的有效载荷的有效载荷（2）求解时间）求解时间 的位移的位移（3）计算时间）计算时间 的加速度和速度的加速度和速度有限元法基础29第二十九页，共六十八页。12. 动力学问题lNewmark法的特点法的特点（1 1）为隐式积分算法（）为隐式积分算法（Implicit Time Integral） 每一步都必须求解方程；每一步都必须求解方程；（2）当）当 时算法是无条件稳定的，时算法是无条件稳定的， 即时间步长得大小不影响解得稳定性；即时间步长得大小不影响解得稳定性；（3）当）当 时是条件稳定的，时是条件稳定的， ；（4）Newmark法特别适合于时程较长的系统数瞬态法特别适合于时程较长的系统数瞬态 响应分析，而且大时间步长可以滤掉高阶不精确响应分析，而且大时间步长可以滤掉高阶不精确 模态对