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1、第一章函数与导数第二章平面向量与三角函数第三章数列第四章立体几何第五章概率与统计第六章解析几何第七章常见二级结论应用第八章思想方法第1讲不等式考情分析l不等式的解法是数学的基本功，在许多题目中起到工具作用2求最值和不等式恒成立问题常用到基本不等式3题型多以选择题、填空题形式考查，中等难度考点一不等式的性质与解法核心提炼11.不等式的倒数性质I I (l)ab, abO:,令a b 1 1 (2)aObO,Ocj. c d 2.不等式恒成立问题的解题方法(1)八x)a对一切xE/恒成立兮瓜），nina,xE/；八x)a对一切xE/恒成立台f(x)maxg(x)对一切x巳恒成立台当xe时，八x)的
2、图象在g(x)的图象的上万(3)解决恒成立问题还可以利用分离参数法例1(I)若p1,0mn1c. m-I)n-P 答案D B. p-mm log,p I 1 解析方法一设m=-，n=-p=2，逐个代入可知D正确4 2 方法二对于选项A,因为Omnl,所以0行）灭1,故A不正确；n 对于选项B,!_二2_!=(pm)n-m(pn)p(n-m)P L二骂巴p- n n n(j) -n) n(p-n) O,所人，故B不正确；对于p- n n 选项c,由于函数y=x-P在(0,十CO）上为减函数，且Omnn-I)，故C不正确；对于选项D,结合对数函数的图象可得，当p1,0mn)时，log,，plog1
3、1p,故D正确(2)(2020北京市昌平区新学道临川学权模拟）已知关千x的不等式ax-b:,;o的解集是2,十=),则关千x的不等式釭2+(3a-b)x-3bO的解集是（) A.（一=,-3)U(2,十勺C . (X),2) U (3,十勺答案A B. (- 3,2) D.(2,3) 解析由关于x的不等式ax一bO的解集是2,十CX)，得b=2a且aO,则关于x的不等式釭2+(3a-b)x3b0,即(x+3)(x-2)0,解得x2,所以不等式的解集为(003)U(2, + = ). 易错提醒求解含参不等 式a入:2+bx+c于则不等式，祯x)+x-20的解栠是答案xl- I x l 解析由f.
4、f(x)+x-20，得勹；x-2,;o2-3 l x ,l ll2l - x p 口, 。/ x ll 或, 1-2l /0的解梊是空集，则实数a的取值范围是（A.(-2, c. -2, B.-2, n. -2, u 2 答案B 解析当a24=0时，解得a=2或a=2,当a=2时，不等式可化为4x-IO,解集不是空集，不符合题意；当a=-2时，不等式可化为10,此式不成立，解集为空集当a24*0时，要使不等式的解集为空集，a2- 40, 6 则有L1=(a+2)2+4(a24)0, 5 解得一2aO),g(x)恒正或恒负的形式，然后运用基本不等式来求最值g(x) 例2(l)下列不等式的证明过程
5、正确的是（) b a b a A.若a,bER，则汇庐汾三24 4 B.若aO，则a了2三4C.若a,bE(O,十CO），则lga+lgb袤寸石而五D. 若aER,则2a+2一彦2寸了了2答案D b a 4 解析由于五，b的符号不确定，故选项A错误；? a0,2-ao, :.2“十2-a2寸了万=;,=2（当且仅当a=O时，等号成立），故选项D正确(2)(2019天津）设xO,yO, x+2y=5,则(x+ 1)(2y+ 1) 岳的最小值为. 答案4寸解析(x+ 1)(2y+ l)切2y+x+I 2xy+6 岳= 高岳=2岳由x+2y=5得52寸冗， 即寸5岳泣255 6 6 O,bO,且a-
6、b=1,则2a的最小值为b 答案2寸21 解析: aO, bO,由a-b=l,得a=l+b,占2a+=2+2b+庐:2+2厂三22心，迈l当且仅当b=时，等号成立，2a+的最小值为2寸2+2.2 b (2)(2020江苏）已知5x2沪y4=l(x,yER)，则x2户的最小值是. 答案- 4 5 解析方法一由题意知y;z=O由5乌?+y4=1,1 -y4 可得f=亏，5y 1-y4 1+ 4y4 所以x2+J-一一y2一一5y2 5y2 灼4沪）叶X2孛I 当且仅当j=4沪，即y=士迈时取等号) 2 4 所以x2+J-的最小值为一5 方法二设f沪tO,则x2=t-y2.因为5x2沪y4=1，所以
7、5(t沪）fy4=1,所以4y45r y-+1= O. 由4=25f-16玄0,解得t多气庈一4 5 5舍去）4 故入2户的最小值为一5 专题强化练一、单项选择题1.不等式(-x+3)(x-l)O的解集是（) A. xj- 1x3) B. xllx3 C. xlx3D. xlx3)答案D 解析不等式即(x-3)(x-l)O,由二次不等式的解法大于分两边可得不等式的解集为xlx3.2.下列命题中正确的是（) A.若ab,则ac2bc2a b B.若ab,cb,cd，则a-cb-d1 1 D.若abO,ab,则一-a b 答案D 解析对于A选项，当c=O时，不成立，故A选项错误当a=I,b=O,
8、c=-2, d= -a b 1时 ，于故B选项错误c-d 当a=l, b=O, c= I, d=O时，a-c=b-d,故C选项错误由不等式的性质知D正确3. (2020北京市昌平区新学道临川学校桵拟）已知一元二次不等式瓜）0的解栠为xlx3，则八lO.）0的解集为（) A. xl.xlg3 C. xlxlg 3 答案D B.冈2勺lg3 D. xlxlg 3 解析一元二次不等式爪x)O的解集为xj.x3,则如）0的解集为入1-2女0可化为一2103,解得xlg3, 所以所求不等式的悖集为x肛bO,且ab=l,则下列不等式成立的是() 1 b A. a庐亏；log2(a+b)b. . I B.l
9、og2(a+b)a+ f 2 b l b C. a+1;1og2(a+b)了I b D. log2(a+b)l,Obl,b 亨log22归1,I a+-b l l 2 b a+fa+ba+j:log2(a+b). b b 5. (201 8全国1ll)设a=logo.20.3,b=log20.3,则（) A. a+babO C. a+ bOlogo.2l =O, b = log20.3log2 I = 0,. abO. B. aba+bO D. abOlogo.30.4logo3 l =O, a+b :.o1,.aba+bO,yO, x+2y釭y=8,则x+2y的最小值是（A. 3 B. 4
10、C. 9 _ 11 2 D. 2 答案B 解析由题意得x+2y=8-x-2彦8-(x+2)/)2,当且仅当x=2y时，等号成立，整理得(x+2 2y)2 +4(x+2y)-32?:0,即（x+2y-4)(x+2y+8)?:0,又x+2yO,所以x+2y?:4,所以x+2y的最小值为4故选B.7.已知a-L b-2, (a+ l)(b+2)= 16,则a+b的最小值是（) A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 答案B 解析由a-1,b-2，得a+IO,b+20, a+b=(a+l)+(b+2)-32寸(ct+1)（b+2)-3=2X4-3=5,当且仅当a+J=b+2=4,即a=3,b=2时等号
11、成立，所以a+b的最小值是5.坐3ll2 8.已知正实数a,b, c满足a2-2ab+9b2-c=O,则当取得最大值时，一的最大值ab c 为（）9 A. 3 B.4 C. 1 D. 0 答案C 解析由正实数a,b, c满足a2-2ab+9b2-c=O,得立竺十世竺C C C C a2 9b2 当且仅当一一，即a=3b时，ab 取最大值一l c c c 4 又因为a22ab+9b2-c=O,所以此时c=I2b气1 所以：叶序分（三）；24分）21,当且仅当b=l时等号成立故最大值为1.二、多项选择题9.设瓜）Inx,Oab,若p凡厄），q=f（号），r扣扣）j(b)，则下列关系式中正确的是（A
12、. q= r B. pq 答案解析10. BC a+ b r= (ln a+ In b)=p=ln扫，p=ln扫0,解得5a8,又aEZ，故a可以为6,7,8.方法二分离常数，得a-x2+6x，函数y=-x2+6x的图象及直线y=a，如图所示，由图易知5b的充要条件为（、丿I I A-一.a b B. In aln b C. aln abln b 答案BD D. abbO,所以;咕，故A错误；对于B,因为y=lnx在(0,00）上为增函数，所以abO台lnaln b,故B正确；对于C,设j(x)=xlnx,则 f(x)= lnx+l(xO), I 叮（x)=O,得x=；，当xE(o, )时，f
13、(x)O,如）单调递增，所以abO不能推出alnaO),则g(x)=l己因为xO,所以exl,所以g(x)bO时，g(a)g(b)，即ae(/beb,即abO,bO,且abb,必要性成立，故D正确12. (2020新高考全国I)已知aO,bO,且a+b=L则（) l A. a2+b2 2 l B. 2矿炒2 C. log2a+Iog2b2 答案ABD D.-.a寸冬拉解析因为aO,bO, a+ b= l, 所以a+b2,l l 当且仅当a=b=时，等号成立，即有abO,所以22a习，即2旷b;-故B正确；2 I 对于C,log2a+log2b=log2ablog芍2,故C错误；对于D,由（寸寸
14、炉a+b+2访1+2访2,得寸寸注寸，故D正确三、填空题13.对于OaI,给出下列四个不等式：loga(l + a)loga(l +;); I l+-a尸0al+I 其中正确的是（填序号）a 答案 解析由于OaI,所以函数j(x)=lo&心和g(x)矿在定义域上都是单调递减函数，而且l+aO恒成立，则实数m的取值范围是答案(I, +=) 解析？xE(O,十OO），成产(m+I)x+mO恒成立，:.m(入:2-x+l)x恒成立，又x2-x+i=(x分）2令0,X .m-; 恒成立，r - x+ l X l 当xE(O,十OO）时 ，x-x+l, I x+-=-1 X I 当且仅当x=，即x=1时
15、取“=X :.ml. =l , 2寸l1 15.已知函数瓜）f-2xe.I.-:_;,其中e是自然对数的底数，若j(a-1)八2a2)0,则实数a的取值范围是. 答案1，且解析由凡）X2x十ex_1 ex 得八一x)=(-x)3-2(-x)+e-入.-I e 飞1 吐2x-ex飞如），1 又xER，所以凡）f2x十ex勹是奇函数e 1 因为f(x)=3.?.-2+e十了国2+2寸勹=3.?.o，当且仅当x=O时“=”成立，所以fix)在R上单调递增，因为爪a-I)fi2a勺0,所以fi2a勺-.ft_a-1)，即贝2a勺冬代1-a).1 所以2a21-a,即2a2+a-lO,解得一lal,yO
16、且x+4y+-11,则-1 x-l y x-1 十的最大值为y 答案9 l l 解析?x+4y+-+ - =11 x1y 沁1)+4y=IO-（古叶），又(_l_+)r(x-1)+4y=5十二立x-l y y xl 艺2.4=9,x- 1 4y 当且仅当一一一，即2y=x-lO时等号成立，y X1 ：（土叶）10（古沁）匀，I. l 令t一+，则t(lO-t)9,x- l y 即户IOt+9:;o,: . 1:;t:;9, 1. I :.一的最大值为9.x1 . y 第2讲基本不等式的综合问题利用基本不等式求最值时，要坚持“一正、二定、三相等“原则，解题时可以对条件灵活变形，满足求最值的条件要求例1(I)已知x2沪xy=l,则x+y的最大值是沪(2)设x玄O,y玄0,.x2了l,则x寸百了的最大值为. 1 . 2 (3)已知xO,yO,+=2，则2x+y的最小值为. x y+1 笨安（凶2型口示1)3 (2)4 (3)3 解析(1)由(x+y)2=.xy1得(x+y)2气彗产1,孟五则x+y:S:（当且仅当x=y=时取等号），3 3 故x+y的最大值为平(2)x亡气气荨l+y2 1 产
