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1、2020-2021 学年度上学期期末考试高二数学（理科）试题一、选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分）1已知命题 ?狈“? ? ?，? ? ? ? ?”，则 p 的否定为?A.? ? ?，? ? ? ? ? ?B.? ? ?，? ? ? ? ? ?C.? ? ?，? ? ? ? ? ?D.? ? ?，? ? ? ? ? ?2已知圆 C 的方程为? ? ? ? ? ? ?，则圆心 C 的轨迹方程为?A.? ? ? ? ? ? ?B.? ? ? ? ? ? ?C.? ? ? ? ? ? ? ? ?D.? ? ? ? ? ?
2、 ? ? ?3 阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出 S 时的 n 值等于?A.5B.4C.3D.24从 4 名男同学和 3 名女同学中任选 3 名同学，那么互斥而不对立的事件是?A.至少有一名男同学与都是男同学B.恰有一名男同学与至少两名男同学C.至少有一名男同学与都是女同学D.恰一名男同学与至少有一名女同学5在平面区域? ? ? ? ? ? ? ? ?内随机撒 100 颗豆子，恰好落在区域 ? ? ? ?内的豆子约为?A.25B.12C.50D. 66在普通高中新课程改革中，某地实施“3 ? 1 ? ?”选课方案该方案中“2”指的是从政治、地理、化学、生物 4 门学科中任选 2
3、门，假设每门学科被选中的可能性相等，那么政治和地理恰有一门被选中的概率是?A.16B.1?C.?3D.67已知具有线性相关关系的两个变量 x，y 之间的一组数据如表：x01234y?.?n4.4.8.7若回归直线方程是y? ?.? ?.1，则 n 的值为是?A.4.3B.3.1C.3.?D.?.88已知椭圆? 1? ? ?的右焦点为 F，离心率1?，过点 F 的直线 l 交椭圆于 ? 两点，若 AB 中点为?1?1?，则直线 l 的斜率为? ?A. ?43B.? ?C.?1?D. ?349已知空间中不同直线 m、n 和不同平面?、?，下面四个结论：若 m、n 互为异面直线，RR?，?RR?，R
4、R?，?RR?，则?RR?；若 ? ?， ? ?，?RR?，则? ? ?；若 ? ?， ? ?，则 ?RR?；若? ? ?， ? ?，?RR，则 ?RR?.其中正确的个数是?A.1B. 2C. 3D.010已知命题 p：? ? ? 或 ? ? 4，命题 q：? ? ?，? ? 1 ?，则命题 q 为真命题是命题 p 为假命题的?A.充要条件B.必要不充分条件C.充分不必要条件D.既不充分也不必要条件11已知?1、?是双曲线? 1? ? ?的左、右焦点，过?作双曲线一条渐近线的垂线，垂足为点 A，交另一条渐近线于点 B，且?1?，则该双曲线的离心率为?A.3或6?B.6?C.3D.? 3312在
5、三棱锥 ? ? ? 中，已知 ? ? 1? ?3，三角形 BDE 是边长为 2 的正三角形，则三棱锥 ? ? ? 的外接球的最小体积为?A.? 3?3B.3? 3?7C.8 3?3D.16?3二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分将答案填在答题卡相应的位置上）13某中学共有学生 1500 名，为了解学生身体状况，采用分层抽样法抽取一个容量为 150 的样本已知女生比男生少抽了 30 人，则该校的女生人数应是14在长方体 ? ?1?1?1?1中，? ? ? ? ?1，则异面直线?1? 与?1? 所成角的余弦值为_15已知 P 是直线 ?狈3? 4? 1? ? ? 上一动点，
6、过点 P 作圆 ?狈? ? ?3 ? ? 的两条切线，切点分别为 A、? ，则四边形 PACB 面积的最小值为_16椭圆 ?狈? 1? ? ?的左、右焦点分别为?1、?，焦距为 2c，若直线 ? ? ?与椭圆 E 的一个交点 M 满足?1? ?1，则该椭圆的离心率等于_三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17（本题 10 分）某高校对大学生参加志愿者服务的次数进行了统计，随机抽取了 M 名学生作为样本，得到这 M 名学生参加志愿者服务的次数，根据此数据作出了频率分布统计表和频率分布直方图如图：?1?求表中 n，p 的值和频率分布直方图中 a 的
7、值，并根据频率分布直方图估计该高校大学生参加志愿者服务次数的众数；（精确到 1）?如果用分层抽样的方法从样本服务次数在?和?3?两组中共抽取 5 人，再从这 5人中选 2 人，求 2 人服务次数分别在?和?3? 两组的概率18（本题 12 分）已知等差数列?满足? 4，?3? ? 16，数列?是公比为 2 的等比数列，?4? ?4? ?1?求数列?，?的通项公式；?设? ?1，求数列?的前 n 项和?分组频数频率1?1?20?.?1?50n?mp?3?4?.?合计MN19（本题 12 分）如图，在长方体 ? ?1?1?1?1中，? ? AD ? 1，?1? ?，E 为 ?1的中点?1?求证：?
8、1RR平面 ?1?；?2?求直线 ?1与平面 ?1? 所成角的正弦值20（本题 12 分）已知椭圆?狈? 1? ? ?的短轴长为 2，短轴的一个端点到右焦点的距离也为 2?1?求椭圆的方程；?若直线 ? ? ? ? 1 ? ? 与椭圆相交于不同两点 A、B 求 ?21（本题 12 分）如图所示的四棱锥 ? ? ? 中，? ?平面 ABCD，ABCD 是边长为 2的正方形，? ? 4，点 E 在线段 PC 上，? ? 3? ?1?证明：? ? ?；?求平面 AED 与平面 AEC 所成的锐二面角的余弦值22（本题 12 分）已知椭圆?：? 1 ? ? ?的左焦点为?1? ? ，点?，1 在椭圆
9、E 上(1)求椭圆 E 的方程；(2) 如图，O 为坐标原点，点 A 为椭圆 E 上一动点?非长轴端点?，直线 ?、AO 分别与椭圆 E 交于点 B、C，求? 面积的最大值.2020-2021 学年度上学期期末考试高二数学（理科）答案一、选择题（本大题共 12 小题，共 60 分）题号123456789101112选项ACBBACDDABDB二、填空题（本大题共 4 小题，共 20 分）13 60014?逈?逈152 ?16?二、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分）17（本题 10 分）解：? 2逈 ? = 逈.2?， ? = ?逈， ? =?逈?逈= 逈.?2?，? = ? 逈.2?
10、逈.?2? 逈.逈? =?逈= 逈.逈t?，? =?=?= 逈.?2?，众数位于区间 ?,2逈 ，设众数为 ?，则 ? =?+2逈2= ?t.? ?，所以学生参加社区服务次数的众数为 18 次 4 分?2由题意知样本服务次数在2逈,2?有 6 人，样本服务次数在2?,?逈) 有 4 人如果用分层抽样的方法从样本服务次数在2逈,2?和 2?,?逈两组中共抽取 5 人，则在2逈,2?和和2?,?逈) 的人数分别为：? ?逈= ? 和 ? ?逈= 26 分记抽取的 5 人中服务次数在2逈,2?为?，?2，?，在2?,?逈)的为?，?2从已抽取的 5 人中任选两人的所有可能为：?,?2， ?,? ，
11、?,?，?,?2， ?2,? ， ?2,?，?2,?2，?,?，?,?2， ?,?2，共 10 种情况；设“2 人服务次数分别在2逈,2?和2?,?逈) 两组”为事件 A，则事件 A 包括：?,?，?,?2，?2,?，?2,?2，?,?，?,?2共 6 种， 8 分所以 ? =?逈=?故 2 人服务次数分别在2逈,2?和2?,?逈) 两组的概率为?10 分18（本题 12 分）解：?设数列?的公差为 d由?2= ?,?+ ?= ?,得?+ = ?,2?+ ? = ?,解得?= 2, = 2.故?= 2 + 2? ? = 2?2 分又?= ? ?2= ?故?= ?2?= 2?24 分（2）由（1
12、）知?= ?+?= 2?2?= ?2?5 分所以?= ?2?+ 2?22+ ?2?，2?=?22+ 2?2?+ + ? ? ?2?+ ?2?+?，7 分由 ，得 ?= ?2?+ 22+ + 2? ?2?+?，8 分所以 ?=2?2?2 ?2?+?= 2?+? 2 ?2?+?= ? ? ?2?+? 210 分整理得 ?= ? ? ?2?+?+ 212 分19（本题 12 分）?证明：由长方体的性质可知，?，且 = ?，四边形 ?是平行四边形， ?，又 ?平面 ?，?平面 ?， ?平面 ?E.4 分?2解：以 A 为原点，AD、AB、?分别为 x、y 和 z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，5
13、分则 ?逈，0，逈，?逈，0，2，?，0，2，?逈，?，?， ?= ?逈,逈,2，?= ?,逈,2，? ?= ?逈,?,?，7 分设平面 ? 的法向量为? ?= ?,?,?，则? ? ?= 逈? ? ? ?= 逈，即? + 2? = 逈? + ? = 逈，令 ? = ?，则 ? = 2，? = ?， ? ?= ?2,?, ?，9 分设直线 ?与平面 ? 所成角为?，则 ? = ?cos ? ? ?，? ? = ? ? ? =22 ?+?+?=?，11 分故直线 ?与平面 ? 所成角的正弦值为?12 分20（本题 12 分）解：?根据题意，椭圆 C 的短轴一个端点到右焦点的距离为 2，则有 ?
14、= 2，又由椭圆 C 的短轴长 2b=2，则有 ? = ?，则椭圆的标准方程为：?2?+ y2= ?4 分?2设 ?,?, ?2,?2由?可得：椭圆的标准方程为：?2?+ y2= ?，直线 l 的方程为：? 2? ? = 逈则?2?+ y2= ? 2? ? = 逈6 分得 2?2 2? ? = 逈，8 分则有?+ ?2= ?,?2=?2，10 分 =? +?+ ?22 ?2=?2? + ? =?212 分21（本题 12 分）证明：?设 AC 与 BD 交于点 O，因为 ABCD 为正方形，所以 ? ? ?，又因为 ? ?平面 ABCD，? ?平面 ABCD，所以 ? ? ?，又 ? ? =
15、，AC、PA 在平面 PAC 内，所以 ? ?平面 PAC，又 ? ?平面 PAC，所以 ? ? ?4 分?2因为 ? ?平面 ABCD，且 ABCD 为正方形，所以 AB，AD，AP 两两互相垂直，所以分别以 AB，AD，AP 所在直线为 x，y，z 轴，建立空间直角坐标系?如图所示，所以 ?逈,0，逈，?2,2，逈，?逈,2，逈，?逈,0，?，?2,0，逈，6 分设 ?,y，?，由? ?= ? ?，得?,y，? ? = ? ?，? ?， ?，解得? =?2，? =?2，? = ?，所以 ?2，?2，?，所以? ?= ?2，?2，?，? ?= ?逈,2，逈，8 分设平面 AED 的法向量?=
16、 ?,?,?，则有? ? ?= 逈,? ? ?= 逈,即?,?,? ? ?逈,2,逈 = 逈,?,?,? ? ?2，?2，? = 逈,化简得?= 逈,?2?= ?,令?= ?，?= 2，则?= ?2，0， ?，10 分由?知，? ?平面 PAC，又? ?= ? 2，2，逈，所以?cos ? ? ?，? ? =? ? ? ?=? ?=2?，故平面 AED 与平面 AEC 所成的锐二面角的余弦值为2?12 分22（本题 12 分）解：?设椭圆 C 的方程为?2?2+?2?2= ? ? ? ? 逈，因为椭圆的左焦点为? 2,?逈 ，所以?2 ?2= 2设椭圆的右焦点为?2? 2,?逈 ，已知点 ?2，? 在椭圆 C 上，由椭圆的定义知 ?+ ?2= 2?，所以 2? = ? + ? = ?.所以 ? = 2，从而 ? =2椭圆 E 的方程为?2?+?22= ?4 分?2当直线 AB 的斜率不存在时，不妨取 2，? ，2， ? ，? 2， ? ，故?=?2? =?2 2 2 2 = 2 2，6 分当直线 AB 的斜率存在时，设直线 AB 的方程为 ? = ? 2 ， ?,?， ?2,?2，联立
