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1、试卷第 1 页，总 13 页 数学（理科）试卷数学（理科）试卷 注意事项： 1答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2请将答案正确填写在答题卡上 第 I 卷（选择题） 第 I 卷（选择题） 请点击修改第 I 卷的文字说明 一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分. 在每小题给出的四个选项中，选择一个符合题目要求的选项. 1已知命题:p“xR ，10 x”，则p为 （ ） AxR ，10 x BxR ，10 x CxR ，10 x DxR ，10 x 【答案】B 【分析】 对全称量词的否定用特称量词，直接写出p 【详解】 :p“xR ，10 x”， p：xR ，10 x
2、 故选：B 【点睛】 全称量词命题的否定是特称（存在）量词命题，特称（存在）量词命题的否定是全称量词命题 2“已知对数函数logayx（0a 且1a ）是增函数，因为2logyx是对数函数，所以2logyx为增函数”，在以上三段论的推理中 （ ） A大前提错误 B小前提错误 C推理形式错误 D结论错误 【答案】A 【分析】 根据对数函数的单调性判断即可. 【详解】 试卷第 2 页，总 13 页 当01a时，函数logayx为减函数，所以，在这个推理中，大前提错误. 故选：A. 【点睛】 本题考查演绎推理，属于基础题. 3在曲线 yx21 上取一点(1，2)及邻近一点(1x，2y)，则yx为 （
3、 ） Ax12x Bx1x2 Cx2 D2x1x 【答案】C 【分析】 根据平均变化率的定义计算 【详解】 解：yf(1x)f（1）(1x)21(121)(x)22x，yxx2 故选：C 4 函数xye的导函数为 （ ） Axye Bxye Cxye Dxye 【答案】B 【分析】 利用复合函数求导法则即可求导. 【详解】 1xxxxyeexee ， 故选：B. 5复数 z 满足：122zzi，z （ ） A21515i B21155i C21515i D21155i 【答案】A 试卷第 3 页，总 13 页 【分析】 设zabi，带入122zzi，根据复数相等列方程求解即可 【详解】 解：设
4、zabi，则zabi， 由122zzi得1221222255iabiabiabiabiiii， 225125aabb ，解得25115ab ， 21515zi 故选：A 【点睛】 方法点睛：复数相等是一个重要概念，它是复数问题实数化的重要工具，通过复数的代数形式，借助两个复数相等，可以列出方程(组)来求未知数的值 6已知ABC的边长分别为a、b、c，ABC的面积为S，内切圆半径为r，则2Srabc，类比这一结论可知：若三棱锥ABCD的四个面的面积分别为1S、2S、3S、4S，内切球半径为R，三棱锥ABCD的体积为V，则R （ ） A1234VSSSS B12342VSSSS C12343VSS
5、SS D12344VSSSS 【答案】C 【分析】 由三角形类比三棱锥，则三角形的面积类比三棱锥的体积，由内切圆类比内切球，可得出结论. 【详解】 ABC的边长分别为a、b、c，ABC的面积为S，内切圆半径为r， 由等面积法可得12Sr abc，2Srabc . 类比这个结论： 试卷第 4 页，总 13 页 三棱锥ABCD的四个面的面积分别为1S、2S、3S、4S，内切球半径为R，三棱锥ABCD的体积为V， 由等体积法可得123413VR SSSS，12343VRSSSS. 故选：C. 【点睛】 易错点点睛：在进行类比推理时，不仅要注意形式的类比，还要注意方法的类比，且要注意以下两点： 找两类
6、对象的对应元素，如：三角形对应三棱锥，圆对应球，面积对应体积等等； 找对应元素的对应关系，如：两条边（直线）垂直对应线面垂直或面面垂直，边相等对应面积相等 7函数 3244f xxxx的单调增区间是 （ ） A22,3 B22,3 C2,23 D2,23 【答案】C 【分析】 对函数求导，解不等式 0fx，即可得出单调递增区间. 【详解】 由 3244f xxxx得 2384fxxx ， 由 23840fxxx 得23840 xx，解得223x， 因此函数 3244f xxxx的单调增区间是2,23. 故选：C. 8命题:p若( )f xx，则1( )2fxx，命题:q存在xR，使210 xx
7、 ，则下列结论正确的是 （ ） Aq 为真命题 B()pq 为假命题Cp 为假命题 Dpq为真命题 【答案】D 【分析】 先判断命题 p 和 q 的真假，再逐一判断选项中的复合命题的真假即可. 【详解】 试卷第 5 页，总 13 页 由( )f xx时，求导得1( )2fxx，故命题 p 是真命题； 因为221331244xxx ，故不存在xR，使210 xx ，即命题 q 是假命题. 故选项 D 中，pq为真命题，故正确； 选项 B 中，q是真命题，()pq 为真命题，故错误； 选项 C 中，p 为假命题，错误； 选项 A 中，q 为真命题，错误. 故选：D. 9若直线l：2yexb是曲线2
8、lnyx的切线，则实数b （ ） A-4 B-2 C2e De 【答案】A 【分析】 设切点00,2lnxx，写出切线方程0022ln2xyxx，从而可得01xe，代入切线方程即可求解. 【详解】 设l：2yexb与曲线2lnyx相切于点00,2lnxx， 则002fxx， 所以的方程为00022lnyxxxx， 则0022ln2xyxx，故022ex，解得01xe， 则直线l：24yex，所以4b， 故选：A. 10下面四个图象中，有一个是函数 3221113f xxaxax (aR)的导函数 yfx的图象，则1f 等于 （ ） 试卷第 6 页，总 13 页 A1-3 B23 C73 D13
9、或53 【答案】D 【分析】 根据函数解析式，先求得 fx，由各图象形式确定 fx的图象，并确定a的值，即可求得1f . 【详解】 函数 3221113f xxaxax（aR） ，则 2221fxxaxa， 可知 fx为开口向上的二次函数，则排除. 若 fx的图象为，则对称轴为0 xa ，即0a ， 此时 3113f xxx，则1511 133f 若 fx的图象为，则对称轴为0 xa ，即0a ， 由图象可知， fx过坐标原点，则 2010fa ，解得：1a 或1a （舍去） 此时 32113f xxx，则1111 133f ， 故选：D. 【点睛】 关键点点睛：本题考查了导函数图象与函数图象
10、关系，由导函数图象确定参数，熟悉二次函数的图象与性质是解题的关键，属于一般题. 第 II 卷（非选择题） 三、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. 11已知函数 sincosf xxxx， f x的导函数为 fx，则2f的值为_. 【答案】0 试卷第 7 页，总 13 页 【详解】 sincosf xxxx， sincossincosfxxxxxxx，因此，02f. 故答案为：0. 12观察图中 5 个图形的相应小圆圈的个数的变化规律，猜想第 n 个图中有_小圆圈. 【答案】2nn1 【分析】 仔细观察每个图形中圆圈的个数与对应顺序之间的关系，从而归纳出第 n 个图形中小
11、圆圈的个数. 【详解】 观察图中 5 个图形小圆圈的个数分别为 1，12+1，23+1，34+1，45+1，故第 n 个图中小圆圈的个数为(n-1) n+1=n2-n+1. 故答案为：n2-n+1 13已知函数 f x的导函数 fx,且满足 21lnf xxfx，则 1f _; 【答案】1 【详解】对函数进行求导，得1( )2(1)fxfx把1x 代入得，(1)2(1) 1ff 直接可求得(1)1f 14若函数cossinf xxax在区间 ,4 2是单调函数，则实数 a 的取值范围是_. 【答案】(,1 【详解】因为函数cossinf xxax在区间,4 2 是单调函数， 若函数cossin
12、f xxax在区间,4 2 是单调递增函数， 则 sincos0fxxax 在区间,4 2 上恒成立； 所以tanax在区间,4 2 上恒成立，又当,4 2x 时，tan1,x， 试卷第 8 页，总 13 页 所以a； 若数cossinf xxax在区间,4 2 是单调递减函数， 则 sincos0fxxax 在区间,4 2 上恒成立； 所以tanax在区间,4 2 上恒成立，又当,4 2x 时，tan1,x， 所以1a ；综上所述，(,1a . 二、解答题：本大题共 4 小题，共 50 分. 15 （本小题共 12 分） 在平面直角坐标系xOy中，设曲线C的参数方程为2cossinxy（为参
13、数） ，以坐标原点O为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系.直线l的极坐标方程为2cos3sin8. （1）求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程； （2）设P是曲线C上的动点，求点P到直线l的距离的最小值，并求出此时点P的坐标. 【答案】 （1）2214xy，2380 xy ； （2）3 1313，8 3,5 5P. 【分析】 （1）利用消参法得到曲线C的普通方程，利用极坐标公式求出直线l的直角坐标方程； （2）设点2cos ,sinP，求出点P到直线l的距离为85sin13d即得解. 【详解】 （1）由曲线C的参数方程得cos2sinxy， 两式平方相加得曲线C的普通方程为2214xy；
14、 由题得2 cos3 sin8， 所以直线l直角坐标方程为2380 xy . 试卷第 9 页，总 13 页 （2）由参数方程设点2cos ,sinP， 则点P到直线l的距离为8 5sin4cos3sin81313d 其中4tan3, 所以3 1313d ，此时3sin5，4cos5. 所以点P到直线l的距离的最小值为3 1313. 所以点P的坐标为8 3,5 5P. 【点睛】 关键点睛： 解答本题的关键是利用参数方程设点2cos ,sinP， 从而建立三角函数的模型， 优化解题，提高了解题效率. 16 （本小题共 12 分） 某大学有国防生50名，学校在关注国防生文化素养的同时也非常注重他们的
15、身体素质，要求每月至少参加一次野营拉练活动(下面简称“活动”)并记录成绩.10月份某次活动中同学们的成绩统计如图所示： （1）根据图表，估算学生在活动中取得成绩的中位数(精确到0.1)； （2）根据成绩从50,6090,100，两组学员中任意选出两人为一组，若选出成绩分差大于10，则称该组为“帮扶组”，试求选出两人为“帮扶组”的概率. 【答案】 （1）76.5； （2）815. 【分析】 （1）根据由频率分布直方图求中位数的方法，求得中位数. 试卷第 10 页，总 13 页 （2）求得50,6090,100、两组学员的人数，利用列举法，结合古典概型概率计算公式，计算出所求概率. 【详解】 （1
16、）成绩在区间50,60的频率为10 0.0040.04， 成绩在区间60,70的频率为10 0.020.2， 0.5 0.040.20.26， 设中位数为x，则0.26700.040.26,706.5,76.50.04xxx. （2）成绩在区间50,60与90,100的人数分别为0.04 502，10 0.008 504. 设成绩在区间50,60的学员为, a b，成绩在区间90,100的学员为, , ,c d e f， 从中任选两人，有,ab ac ad ae af bc bd be bf cd ce cf de df ef共15种， 其中选出成绩分差大于10的有,ac ad ae af bc bd be bf共8种， 故选出两人为“帮扶组”的概率为815. 17 （本小题共 12 分） 在如图所示几何体中， 四边形ABCD为矩形， 且22ADAB，ABE为等腰直三角形，90BAE，且ADAE （1）求异面直线AB与EC所成角的余弦值； （2）若AC与BD交于点F，求二面角DEFC的余弦值 【答案】 （1）66； （2）55 【分析】 （1）以点A为坐标原点，AE、AB、AD所在直线
