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1、试卷第 1 页,总 13 页 数学(理科)试卷数学(理科)试卷 注意事项: 1答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2请将答案正确填写在答题卡上 第 I 卷(选择题) 第 I 卷(选择题) 请点击修改第 I 卷的文字说明 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分. 在每小题给出的四个选项中,选择一个符合题目要求的选项. 1已知命题:p“xR ,10 x”,则p为 ( ) AxR ,10 x BxR ,10 x CxR ,10 x DxR ,10 x 【答案】B 【分析】 对全称量词的否定用特称量词,直接写出p 【详解】 :p“xR ,10 x”, p:xR ,10 x
2、 故选:B 【点睛】 全称量词命题的否定是特称(存在)量词命题,特称(存在)量词命题的否定是全称量词命题 2“已知对数函数logayx(0a 且1a )是增函数,因为2logyx是对数函数,所以2logyx为增函数”,在以上三段论的推理中 ( ) A大前提错误 B小前提错误 C推理形式错误 D结论错误 【答案】A 【分析】 根据对数函数的单调性判断即可. 【详解】 试卷第 2 页,总 13 页 当01a时,函数logayx为减函数,所以,在这个推理中,大前提错误. 故选:A. 【点睛】 本题考查演绎推理,属于基础题. 3在曲线 yx21 上取一点(1,2)及邻近一点(1x,2y),则yx为 (
3、 ) Ax12x Bx1x2 Cx2 D2x1x 【答案】C 【分析】 根据平均变化率的定义计算 【详解】 解:yf(1x)f(1)(1x)21(121)(x)22x,yxx2 故选:C 4 函数xye的导函数为 ( ) Axye Bxye Cxye Dxye 【答案】B 【分析】 利用复合函数求导法则即可求导. 【详解】 1xxxxyeexee , 故选:B. 5复数 z 满足:122zzi,z ( ) A21515i B21155i C21515i D21155i 【答案】A 试卷第 3 页,总 13 页 【分析】 设zabi,带入122zzi,根据复数相等列方程求解即可 【详解】 解:设
4、zabi,则zabi, 由122zzi得1221222255iabiabiabiabiiii, 225125aabb ,解得25115ab , 21515zi 故选:A 【点睛】 方法点睛:复数相等是一个重要概念,它是复数问题实数化的重要工具,通过复数的代数形式,借助两个复数相等,可以列出方程(组)来求未知数的值 6已知ABC的边长分别为a、b、c,ABC的面积为S,内切圆半径为r,则2Srabc,类比这一结论可知:若三棱锥ABCD的四个面的面积分别为1S、2S、3S、4S,内切球半径为R,三棱锥ABCD的体积为V,则R ( ) A1234VSSSS B12342VSSSS C12343VSS
5、SS D12344VSSSS 【答案】C 【分析】 由三角形类比三棱锥,则三角形的面积类比三棱锥的体积,由内切圆类比内切球,可得出结论. 【详解】 ABC的边长分别为a、b、c,ABC的面积为S,内切圆半径为r, 由等面积法可得12Sr abc,2Srabc . 类比这个结论: 试卷第 4 页,总 13 页 三棱锥ABCD的四个面的面积分别为1S、2S、3S、4S,内切球半径为R,三棱锥ABCD的体积为V, 由等体积法可得123413VR SSSS,12343VRSSSS. 故选:C. 【点睛】 易错点点睛:在进行类比推理时,不仅要注意形式的类比,还要注意方法的类比,且要注意以下两点: 找两类
6、对象的对应元素,如:三角形对应三棱锥,圆对应球,面积对应体积等等; 找对应元素的对应关系,如:两条边(直线)垂直对应线面垂直或面面垂直,边相等对应面积相等 7函数 3244f xxxx的单调增区间是 ( ) A22,3 B22,3 C2,23 D2,23 【答案】C 【分析】 对函数求导,解不等式 0fx,即可得出单调递增区间. 【详解】 由 3244f xxxx得 2384fxxx , 由 23840fxxx 得23840 xx,解得223x, 因此函数 3244f xxxx的单调增区间是2,23. 故选:C. 8命题:p若( )f xx,则1( )2fxx,命题:q存在xR,使210 xx
7、 ,则下列结论正确的是 ( ) Aq 为真命题 B()pq 为假命题Cp 为假命题 Dpq为真命题 【答案】D 【分析】 先判断命题 p 和 q 的真假,再逐一判断选项中的复合命题的真假即可. 【详解】 试卷第 5 页,总 13 页 由( )f xx时,求导得1( )2fxx,故命题 p 是真命题; 因为221331244xxx ,故不存在xR,使210 xx ,即命题 q 是假命题. 故选项 D 中,pq为真命题,故正确; 选项 B 中,q是真命题,()pq 为真命题,故错误; 选项 C 中,p 为假命题,错误; 选项 A 中,q 为真命题,错误. 故选:D. 9若直线l:2yexb是曲线2
8、lnyx的切线,则实数b ( ) A-4 B-2 C2e De 【答案】A 【分析】 设切点00,2lnxx,写出切线方程0022ln2xyxx,从而可得01xe,代入切线方程即可求解. 【详解】 设l:2yexb与曲线2lnyx相切于点00,2lnxx, 则002fxx, 所以的方程为00022lnyxxxx, 则0022ln2xyxx,故022ex,解得01xe, 则直线l:24yex,所以4b, 故选:A. 10下面四个图象中,有一个是函数 3221113f xxaxax (aR)的导函数 yfx的图象,则1f 等于 ( ) 试卷第 6 页,总 13 页 A1-3 B23 C73 D13
9、或53 【答案】D 【分析】 根据函数解析式,先求得 fx,由各图象形式确定 fx的图象,并确定a的值,即可求得1f . 【详解】 函数 3221113f xxaxax(aR) ,则 2221fxxaxa, 可知 fx为开口向上的二次函数,则排除. 若 fx的图象为,则对称轴为0 xa ,即0a , 此时 3113f xxx,则1511 133f 若 fx的图象为,则对称轴为0 xa ,即0a , 由图象可知, fx过坐标原点,则 2010fa ,解得:1a 或1a (舍去) 此时 32113f xxx,则1111 133f , 故选:D. 【点睛】 关键点点睛:本题考查了导函数图象与函数图象
10、关系,由导函数图象确定参数,熟悉二次函数的图象与性质是解题的关键,属于一般题. 第 II 卷(非选择题) 三、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 11已知函数 sincosf xxxx, f x的导函数为 fx,则2f的值为_. 【答案】0 试卷第 7 页,总 13 页 【详解】 sincosf xxxx, sincossincosfxxxxxxx,因此,02f. 故答案为:0. 12观察图中 5 个图形的相应小圆圈的个数的变化规律,猜想第 n 个图中有_小圆圈. 【答案】2nn1 【分析】 仔细观察每个图形中圆圈的个数与对应顺序之间的关系,从而归纳出第 n 个图形中小
11、圆圈的个数. 【详解】 观察图中 5 个图形小圆圈的个数分别为 1,12+1,23+1,34+1,45+1,故第 n 个图中小圆圈的个数为(n-1) n+1=n2-n+1. 故答案为:n2-n+1 13已知函数 f x的导函数 fx,且满足 21lnf xxfx,则 1f _; 【答案】1 【详解】对函数进行求导,得1( )2(1)fxfx把1x 代入得,(1)2(1) 1ff 直接可求得(1)1f 14若函数cossinf xxax在区间 ,4 2是单调函数,则实数 a 的取值范围是_. 【答案】(,1 【详解】因为函数cossinf xxax在区间,4 2 是单调函数, 若函数cossin
12、f xxax在区间,4 2 是单调递增函数, 则 sincos0fxxax 在区间,4 2 上恒成立; 所以tanax在区间,4 2 上恒成立,又当,4 2x 时,tan1,x, 试卷第 8 页,总 13 页 所以a; 若数cossinf xxax在区间,4 2 是单调递减函数, 则 sincos0fxxax 在区间,4 2 上恒成立; 所以tanax在区间,4 2 上恒成立,又当,4 2x 时,tan1,x, 所以1a ;综上所述,(,1a . 二、解答题:本大题共 4 小题,共 50 分. 15 (本小题共 12 分) 在平面直角坐标系xOy中,设曲线C的参数方程为2cossinxy(为参
13、数) ,以坐标原点O为极点,x轴非负半轴为极轴建立极坐标系.直线l的极坐标方程为2cos3sin8. (1)求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程; (2)设P是曲线C上的动点,求点P到直线l的距离的最小值,并求出此时点P的坐标. 【答案】 (1)2214xy,2380 xy ; (2)3 1313,8 3,5 5P. 【分析】 (1)利用消参法得到曲线C的普通方程,利用极坐标公式求出直线l的直角坐标方程; (2)设点2cos ,sinP,求出点P到直线l的距离为85sin13d即得解. 【详解】 (1)由曲线C的参数方程得cos2sinxy, 两式平方相加得曲线C的普通方程为2214xy;
14、 由题得2 cos3 sin8, 所以直线l直角坐标方程为2380 xy . 试卷第 9 页,总 13 页 (2)由参数方程设点2cos ,sinP, 则点P到直线l的距离为8 5sin4cos3sin81313d 其中4tan3, 所以3 1313d ,此时3sin5,4cos5. 所以点P到直线l的距离的最小值为3 1313. 所以点P的坐标为8 3,5 5P. 【点睛】 关键点睛: 解答本题的关键是利用参数方程设点2cos ,sinP, 从而建立三角函数的模型, 优化解题,提高了解题效率. 16 (本小题共 12 分) 某大学有国防生50名,学校在关注国防生文化素养的同时也非常注重他们的
15、身体素质,要求每月至少参加一次野营拉练活动(下面简称“活动”)并记录成绩.10月份某次活动中同学们的成绩统计如图所示: (1)根据图表,估算学生在活动中取得成绩的中位数(精确到0.1); (2)根据成绩从50,6090,100,两组学员中任意选出两人为一组,若选出成绩分差大于10,则称该组为“帮扶组”,试求选出两人为“帮扶组”的概率. 【答案】 (1)76.5; (2)815. 【分析】 (1)根据由频率分布直方图求中位数的方法,求得中位数. 试卷第 10 页,总 13 页 (2)求得50,6090,100、两组学员的人数,利用列举法,结合古典概型概率计算公式,计算出所求概率. 【详解】 (1
16、)成绩在区间50,60的频率为10 0.0040.04, 成绩在区间60,70的频率为10 0.020.2, 0.5 0.040.20.26, 设中位数为x,则0.26700.040.26,706.5,76.50.04xxx. (2)成绩在区间50,60与90,100的人数分别为0.04 502,10 0.008 504. 设成绩在区间50,60的学员为, a b,成绩在区间90,100的学员为, , ,c d e f, 从中任选两人,有,ab ac ad ae af bc bd be bf cd ce cf de df ef共15种, 其中选出成绩分差大于10的有,ac ad ae af bc bd be bf共8种, 故选出两人为“帮扶组”的概率为815. 17 (本小题共 12 分) 在如图所示几何体中, 四边形ABCD为矩形, 且22ADAB,ABE为等腰直三角形,90BAE,且ADAE (1)求异面直线AB与EC所成角的余弦值; (2)若AC与BD交于点F,求二面角DEFC的余弦值 【答案】 (1)66; (2)55 【分析】 (1)以点A为坐标原点,AE、AB、AD所在直线