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1、四、函数的连续性1.函数的增量(一)、连续的定义2.连续的定义例1证由定义2.9知3.单侧连续性质2.14例2解右连续但不左连续 ,4.连续函数与连续区间连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线.若f(x)在定义域内连续,则称f(x)为连续函数.定理2.3: 基本初等函数在定义域内都是连续的.f(x)在(a,b)内连续:(二)、函数的间断点及类型1x=2例41.第一类间断点1)跳跃间断点2)可去间断点注意 可去间断点只要改变或者补充间断处函数的定义, 则可使其变为连续点.例52.第二类间断点例6解例7解注意 不要以为函数的间断点只能是个别的几个点.狄利克雷函数在定义域R内每一点处都间断，且都是第
2、二类间断点。在定义域 R内每一点处都间断, 但其绝对值处处连续.12/16例8解(三)、连续函数的性质例如,结论: 一切初等函数在其定义区间内都是连续的.定义区间是指包含在定义域内的区间.复合函数的连续性(四)、闭区间上连续函数的性质定理1 (有界性定理)设f(x)在a,b上连续,则f(x) 在a,b上有界.连续但无界例如,定义:定理2 (最大、最小值定理)设f(x)在a,b上连续,则f(x) 在a,b上可取到最大值,最小值.注意:1.若区间是开区间, 定理不一定成立; 2.若区间内有间断点, 定理不一定成立.Th3 (介值定理)MCmab几何解释:定义:推论(零点存在定理)几何解释:注意(1
3、) 若f(x)在a,b上单调,则只有唯一零点.(2)若a,b改为(a,b)结论未必成立.在(1,2)连续,但Th2.6不成立.-1例1证由零点定理,例2证由零点定理,证:在0,1连续,由零点定理(五)、 小结1.函数在一点连续必须满足的三个条件;3.间断点的分类与判别;2.区间上的连续函数;第一类间断点:可去型,跳跃型.第二类间断点:无穷型,振荡型.间断点(见下图)可去型第一类间断点oyx跳跃型无穷型振荡型第二类间断点oyxoyxoyx连续函数的和差积商的连续性.复合函数的连续性.初等函数的连续性.求极限的又一种方法.反函数的连续性.四个定理有界性定理;最值定理;介值定理;根的存在性定理.注意1闭区间； 2连续函数这两点不满足上述定理不一定成立思考题下述命题是否正确？思考题解答不正确.例函数练 习 题思考题但反之不成立.例但练 习 题练习题答案
