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1、2022年秋季六年级上学期奥数第七讲比和比例应用题答案一、 生产队饲养的鸡与猪的只数比为26：5，羊与马的只数比为25：9，猪与马的只数比为10：3。求鸡、猪、马和羊的只数比。解：由题设鸡：猪26：5，羊：马25：9，猪：马10：3由比的基本性质可得：猪：马10：330：9羊：马25：9鸡：猪26：5156：30从而鸡：猪：马：羊156：30：9：25答：鸡、猪、马、羊的只数比为156：30：9：25。二、 下列各题中的两个量是否成比例？若成比例，请说明成正比例还是成反比例。（1） 路程一定时，速度与时间（2） 速度一定时，路程与时间（3） 播种面积一定时，总产量与单位面积的产量；（4） 圆的
2、面积与该圆的半径；（5） 两个相互啮合的大小齿轮，它们的转速与齿数。解：（1）由于速度与时间的乘积等于路程，所以，当路程一定时，速度与时间成反比例。（2）由于路程与时间的比值为速度，所以，当速度一定时，路程与时间成正比例。（3）由于总产量与单位面积的产量的比值为播种面积，所以，当播种面积一定时，总产量与单位面积的产量成正比例。（4）设圆的半径为R，则圆的面积为R2，所以圆的面积与半径的积为R3，随半径的变化而变化，即圆的面积与半径不成反比例；而圆的面积与半径的比值为R，也随半径的变化而变化，即圆的面积与半径不成正比例。综上，圆的面积与半径不成比例。（5）由于齿轮的转速与的积等于单位时间内齿轮转
3、过的总齿数，而两个相互咬合的大小齿轮在单位时间内转过的总齿数相等，所以，他们的转速与齿数成反比例。三、 某小学共有学生697人，已知低年级学生数的等于中年级学生数的，低年级学生数的等于高年级学生数的，求该校低、中、高年级各有多少名学生？解：设低年级的学生数为“1”，则中年级学生数为，高年级的学生数为，从而，低、中、高年级的学生数的比为：低：中：高1：12：15：14，按比例分配得，低年级学生数：204（人），中年级学生数：255（人），高年级学生数：238（人），答：该校低、中、高年级的学生数分别为204人、255人、238人。四、 雏鹰小分队为“希望工种”搞了一次募捐活动。她们用募捐所得的钱
4、购买了甲、乙、丙三种商品，这三种商品的单价分别为30元、15元、和10元。已知购得的甲商品与乙商品的数量之比为5：6，乙商品与丙商品的数量之比为4：11，且购买丙商品比购买甲商品多花了210元，求这次募捐所得的钱数。解：已知：甲商品数：乙商品数5：6乙商品数：丙商品数4：11于是，甲商品数：乙商品数：丙商品数10：12：33，即甲、乙、丙商品分别有10份、12份、33份。由于购买丙商品比购买甲商品多花210元，所以，每份的商品数为210（1033-3010）7（件）。于是，甲商品数为：71070（件），乙商品数为：71284（件），丙商品数为：733231（件）。由此，募捐所得到的钱数为：30
5、70+1584+102315670（元）。答：募捐所得到的钱为5670元。五、 A、B、C是三个顺次咬合的齿轮。当A转4圈时，B恰好转3圈；当B转4圈时，C恰好转5圈。问这三个齿轮的齿数的最小数分别是多少？解：由题设知，A转：B转4：3，B转：C转4：5，于是，A转：B转：C转16：12：15，从而，A齿：B齿：C齿15：20：16。由于15，20，16三数互质，且齿轮的齿数必为自然数，所以A、B、C的齿数最小分别为15，20，16齿。答：这三个齿轮的齿数最小数分别为12，20，16齿。六、 某高速公路收费站对过往车辆收费标准是：大客车30元，中巴车15元，其他车10元。某日通过该收费站的大客
6、车和中巴车的数量之比为5：6，中巴车与其他车（不含大客车）的数量之比为4：11，收取标准为10元的其他车的通行费比大客车多270元。问：这天通过该收费站的大客车、中巴车及其他车各有多少辆？这天的总收入为多少元？解：由题设，大客：中巴5：6，中巴：其他4：11，故大客：中巴：其他10：12：33，于是270（1033-3010）9。因而大客车有91090（辆），中巴车有912108（辆），其他车有923297（辆）。由此，这天收入有3090+15108+102977290（元）。答：这天通过该收费站的大客车、中巴车及其他车分别有90辆、108辆、297辆。这天的总收入为7290元。十一、比和比例
7、我们已经学习过比和比例的有关知识，下面我们首先复习一下有关的主要内容：（一）两个数的比实际上就是两个数的商.两个数a与b（b0）的比可记为：因此，除法、分数、比例实质上是一回事.我们在实际应用当中可以选择不同的形式。（二）两个数的比叫做单比，两个以上的数的比叫做连比，如abc（b0，C0），我们有时需要把几个单比化成连比.连比也满足比例的基本性质，即：abcnanbnc（n0）（三）如果两个变数y和x的比值（也就是商）一定，那么称y与x成正比例关系。下面举出一些两个变数成正比例关系的例子。（1）速度一定时，路程与时间成正比；时间一定时，路程与速度成正比.即：（2）亩产量一定时，播种面积与总产量
8、成正比；播种面积一定时，总产量与亩产量成正比.即：（3）工作效率一定时，工作总量与工作时间成正比；工作时间一定时，工作总量与工作效率成正比.即：同学们还可以举出很多两个变数成正比例的例子，注意成正比例的关键在于两个变数的比恒定.又如商品单价一定，则商品总价与商品数量也成正比例。（四）如果两个变数x和y的乘积一定，那么称x与y成反比例关系。下面举出一些两个变数成反比例关系的例子。（1）路程一定时，速度与时间成反比例关系，即：速度时间=路程（定值）。（2）总产量一定时，亩产量与播种面积成反比，即：亩产量播种面积=总产量（定值）。同学们还可以举出很多两个变数成反比例的例子，注意成反比例的关键在于两个
9、变数的积恒定.在日常生活中，如果多加观察，可以找到许多例子.如两个互相咬合的齿轮，齿数与转数成反比例关系。掌握好正、反比例关系对于分析解决一些实际问题有很大帮助.如全国人民要吃粮食，则粮食总需求量一定，而随着农田沙漠化和城市建设占用农田，使播种面积减小，我们就必须提高亩产量，以保证总产量不变。下面，我们就看一看具体的例子：例1 某单位买甲、乙两种钢笔共100支，已知甲钢笔每支3元，乙钢笔每支2元，且甲、乙两种钢笔所用钱数一样多.求甲、乙两种钢笔各买了多少支。分析与解 我们前面已谈到，当某种商品单价一定时，所花钱总数与商品数量成正比，而本题中，所花钱总数（对于甲、乙两种钢笔来说）相同，则购物数量
10、与单价成反比. 因为甲、乙两种钢笔单价之比为32，而它们所用总钱数相同，则由购物数量与单价成反比可知：甲、乙两种钢笔的数量之比为23，所以甲钢笔有：乙钢笔有 10040=60支。例2 解放前夕，中国人民解放军在数量上已占有优势，与国民党军队人数之比为32，以毛泽东为首的中国共产党人又发动强大的政治攻势，瓦解了10万国民党军队的军心，并促其投诚，这样，中国人民解放军与国民党军队在数量上的比值由32增强到21.求中国人民解放军人数。分析与解 设中国人民解放军人数为3份，国民党军队人数为2份，则有：所以，中国人民解放军总人数30万3=90万，加上投诚过来的10万，共有100万军队，这就是百万雄师渡长
11、江的基础，这就是中国革命取得最终胜利的基础。例3 如图1，甲、乙、丙三个齿轮咬合，当甲轮转4圈时，乙轮恰好转3圈；当乙轮转4圈时，两轮恰好转5圈.求这三个齿轮的齿数最少应分别是多少？分析与解 为书写及叙述简便，我们用甲来表示甲的齿轮齿数，其余类同.由已知：甲乙=34（这是因为两个互相咬合的齿轮，齿数与转数成反比例关系），类似地，乙丙=54。这两个单比中，乙所占的份额分别是4和5，这两个数的最小公倍数是20，利用比例的基本性质，将这两个比变形为：甲乙=1520；乙丙=2016将这两个单比写成连比的形式，就有：甲乙丙=152016由于15， 20，16这3个数互质，且齿数必须为自然数，所以甲、乙、
12、丙三个齿轮的齿数应最少分别为15，20，16。我们总结一下，“比和比例”的问题，首先在于理解其基本概念，尤其是“正比例”与“反比例”概念，分清题目中所给的是比值为定值还是乘积为定值.其次，对于出现两个或者两个以上的单比，我们要善于找到它们的联系，有的时候需要把它们化成连比。下面我们看一看“比和比例”在两类重要的应用题浓度问题、行程问题中的应用：例4 如图2，甲、乙二人绕一个长方形操场跑步.该操场长160米，宽120米，甲从A，乙从B相向而跑.结果第一次在E处相遇，E距A处60米，相遇后，甲、乙二人继续跑。问甲、乙二人能否在E处再次相遇？若相遇，这是甲、乙的第几次相遇？分析与解 由图知：BE=1
13、00米，这说明乙的速度比甲快，甲乙速度之比为35。假设能够再次在E处相遇，则此时，甲、乙都又跑了整数圈，由于时间相同，路程与速度成正比，所以甲、乙所跑路程（也就是圈数）与速度成正比，即：甲、乙所跑圈数为35.只需甲跑3圈，乙跑5圈，二人恰好在E处再次相遇。因为甲、乙相遇一次，就相当于合起来共跑了一圈，所以甲、乙共跑了（3+5=）8圈.所以从E处出发后，甲、乙两人共相遇了8次，这说明最后在E点相遇是甲、乙的第九次相遇（包括第一次在E点相遇）。行程问题的关键在于抓住路程、速度、时间三者中哪一个是不变的，从而另二者相应成正比或成反比。练习十一1.A、B两种商品的价格之比为73，如果它们的价格分别上涨
14、70元，价格之比为74，问这两种商品原来的价格是多少元？2.猎犬发现在离它9米远的地方有一只奔跑着的野兔，立刻追赶，猎犬的步子大，它跑5步的路程，兔子要跑9步，但兔子动作较快，猎犬跑2步的时间，兔子跑3步.问：猎犬至少要跑多少米才能追上兔子？3.一辆汽车从甲地开往乙地，如果车速提高20，可以比原定时间提前一个小时到达，如果以原速行驶120千米后，再将速度提高25，则可提前40分钟到达，求甲、乙两地相距多少千米？4.甲容器中有8的食盐水300千克，乙容器中有12.5的食盐水120千克.往甲、乙两个容器中倒入等量的水，使两个容器中食盐水浓度一样，问倒入水多少千克？5.甲齿轮有60齿，乙齿轮有36齿
15、，为了使甲轮转动15圈带动乙轮转动8圈，需在甲、乙齿轮之间连接一个丙齿轮.丙齿轮是由固定在一起的大、小两个齿轮组成的复合齿轮.丙轮上大轮与甲轮咬合，小轮与乙轮咬合，求丙轮上大、小齿轮齿数最少应分别是多少齿？（如图3）练习十一1. 210元，90元。设A种商品原来价格为7份，B种商品原来价格为3份，那么有：所以，A种商品原价：307210（元）；B种商品原价：30390（元）。2. 54米。由题意，有（1）兔9步距离等于犬5步的距离；（2）兔3步时间等于犬两步时间.我们想办法将这两个已知条件转化为速度比，从而求出猎犬需经过多少米追上兔子。因为兔9步距离等于犬5步距离，所以可设兔一步为5距离单位，犬一步为9距离单位；又因为兔3步的时间等于犬两步的时间，所以可设兔每跑一步需2时间单位，犬每跑一步需3时间单位，由速
