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1、（优选）计算方法数值积分插值型积分课件第一页，共五十一页。第四章第四章 数值积分数值积分1.数值积分引论2.机械求积方法3.以简单函数近似逼近被积函数方法-插值型求积公式4.插值型求积公式的例子5.求积公式的收敛性和稳定性第二页，共五十一页。数值积分引论第三页，共五十一页。第四章数值积分4.0引言若函数f(x)在区间a,b上连续且其原函数为F(x),则可用Newton-Leibnitz公式:求定积分的值。评论：Newton-Leibnitz公式无论在理论上还是在解决实际问题上都起了很大作用，但它并不能完全解决定积分的计算问题。第四页，共五十一页。(1)被积函数f(x)没有用初等函数的有限形式表
2、示的原函数F(x)，例如：(2)被积函数f(x)的原函数能用初等函数表示，但表达式太复杂，例如的原函数：则无法应用Newton-Leibnitz公式。在实际计算中经常遇到以下三种情况：第五页，共五十一页。(3)被积函数f(x)没有具体的解析表达式,其函数关系由表格或图形表示。对于以上情况，通过Newton-Leibniz公式求原函数计算积分的准确值都是十分困难的。因而需要研究一种新的积分方法：数值解法来建立积分的近似计算方法。l将积分区间细分,在每一个小区间内用简单函数代替复杂函数进行积分，这就是数值积分的思想，l用代数插值多项式去代替被积函数f(x)进行积分是本章讨论数值积分的主要内容。Ho
3、me第六页，共五十一页。机械求积方法第七页，共五十一页。4.1数值积分概述图4-1数值积分的几何意义积分值的几何表示：由x=a,x=b,y=0以及y=f(x)这四条边所围的曲边梯形面积。该面积难于计算是因为它有一条曲边y=f(x)。4.1.1数值积分的基本思想y=f(x)yab第八页，共五十一页。最常用的建立数值积分公式的两种方法：本段讲授机械求积方法.即所求的曲边梯形的面积恰好等于底为(b-a)，高为的矩形面积。但点的具体位置是未知的,因而的值也是未知的。第1种：机械求积方法.第2种：使用简单函数近似代替被积函数的方法由积分中值定理可知，对于连续函数f(x)，在积分区间a,b内存在一点，使得
4、谜第九页，共五十一页。三个求积分公式y构造出一些求积分值的近似公式。则分别得到如下的梯形公式和中矩形公式。梯形公式中的y中矩形公式中的例如分别取：第十页，共五十一页。梯形公式xaby=f(x)ab用梯形面积代表积分值第十一页，共五十一页。中矩形公式y=f(x)abyx(a+b)/2ab用区间中点的函数值为高的矩形面积代表积分值第十二页，共五十一页。y=f(x)ySimpson公式abSimpson公式是以函数f(x)在a,b,(a+b)/2这三点的函数值的加权平均值作为平均高度f( ).(a+b)/2Home第十三页，共五十一页。以简单函数近似逼近被积函数方法插值型求积公式第十四页，共五十一页
5、。先用某个简单函数近似逼近f(x),用代替原被积函数f(x)，即函数应该对f(x)有充分的逼近程度,并且容易计算其积分。第2种：使用简单函数近似代替被积函数的方法以此构造数值算法。通常，将选取为f(x)的插值多项式,这样f(x)的积分就可以用其插值多项式的积分来近似代替。要求：第十五页，共五十一页。4.1.2插值求积公式其中，对k=0,n设已知f(x)在节点有函数值,作n次拉格朗日插值多项式第十六页，共五十一页。其中称为求积系数。取作为的近似值，即记为第十七页，共五十一页。定义4.1求积公式当其系数时，则称求积公式为插值（型）求积公式。(4.1)第十八页，共五十一页。记(4.1)的余项为，由插
6、值余项定理得其中注意：当f(x)是次数不高于n的多项式时，因此，求积公式(4.1)成为准确的等式。第十九页，共五十一页。例1给定插值节点为定积分构造插值求积公式。解：以这三点为插值节点的Lagrange插值基函数为第二十页，共五十一页。从而，得到插值型求积公式如下：第二十一页，共五十一页。例2设积分区间a,b为0,2，取解:梯形公式和辛卜生的计算结果与准确值比较如下表所示计算其积分结果并与准确值进行比较。分别用梯形和辛卜生公式：第二十二页，共五十一页。f(x)1xx2x3x4ex定积分准确值222.6746.406.389梯形公式计算值2248168.389辛卜生公式计算值222.6746.6
7、76.421可以看出，当f(x)是x2,x3,x4时,辛卜生公式比梯形公式更精确。梯形公式辛卜生公式同学们，自己验证第二十三页，共五十一页。某求积公式能对多大次数的多项式f(x)成为准确等式，是衡量该公式的精确程度的重要指标。代数精度的定义：如果求积公式（4.1）对于一切次数小于等于m的多项式是准确的，而对于次数为m+1的多项式是不准确的，则称该求积公式具有m次代数精度。第二十四页，共五十一页。在公式4.1中，令f(x)=1,x,x2,x3,xn若求积公式（4.1）的代数精度为n，则其系数应满足:其系数矩阵当互异时，有唯一解第二十五页，共五十一页。定理4.1n+1个节点的求积公式为插值型求积公
8、式公式至少具有n次代数精度。证:必要性.设n+1个节点的求积公式插值型求积公式判断条件为插值型求积公式，求积系数为：又，当f(x)为不高于n次的多项式时,f(x)=P(x),其余项R(f)=0。因而这时求积公式至少具有n次代数精度。第二十六页，共五十一页。充分性：若求积公式至少具有n次代数精度,则对n次多项式精确成立，即从而所以由（*）和(*)知：,即求积公式为插值型求积公式。其中(*)(*)第二十七页，共五十一页。重要结论：梯形公式具有1次代数精度；辛卜生公式有3次代数精度（同学们自己验证）。取f(x)=1，显然上式两端相等。取f(x)=x,取f(x)=x2,所以梯形公式只有1次代数精度。下
9、面以梯形公式为例进行验证Home第二十八页，共五十一页。插值型求积公式的例子第二十九页，共五十一页。例3试确定一个至少具有2次代数精度的公式解:要使公式具有2次代数精度，则对f(x)=1,x,x2，求积公式准确成立，即得如下方程组。解之得：所求公式为：插值型求积公式系数的值与1）积分区间a,b有关，2）节点的选取有关；3）和具体的f(x)无关第三十页，共五十一页。例4试确定求积系数A,B,C，使得可验证，该公式对于f(x)=x3也成立(意外收获)，而对x4不成立。因此，该求积公式有3次代数精度。A=1/3, B=4/3, C=1/3具有最高的代数精度。解:分别取f(x)=1,x,x2，使求积公
10、式准确成立,得:Simpson求积公式第三十一页，共五十一页。做法：选定n+1个插值节点，按照插值公式构造求积公式后，应验算该求积公式是否还有n+1次或更高的代数精度。问题：n+1个节点的插值型求积公式的代数精度究竟有多高？回答：n+1个节点的插值求积公式保证了至少有n次代数精度。结论：n+1个节点的插值型求积公式的代数精度至少为n，但是有可能比n还大？第三十二页，共五十一页。解：该插值求积公式具有3个节点，因此至少有2次代数精度。例5已知插值求积公式（按照插值公式构造的系数）将f(x)=x3代入公式两端，左端=右端=(b4-a4)/4,公式两端严格相等，再代入f(x)=x4两端不相等，故该求
11、积公式具有3次代数精度。讨论该公式的代数精度。Simpson公式是否有3次代数精度呢？第三十三页，共五十一页。的代数精度。例6考察求积公式评论：三个节点不一定具有2次代数精度，因为不是插值型的！解：可验证,对于f(x)=1,x时公式两端相等,再将f(x)=x2代入公式，经过计算，左端=2/3，右端=1。所以该求积公式具有1次代数精度.课堂练习第三十四页，共五十一页。例7给定求积公式如下：试证此求积公式是插值型的求积公式。证明:从而求积公式至少有2次代数精度，由定理4.1，此求积公式是插值型求积公式。可验证，该公式有3次代数精度。课堂练习第三十五页，共五十一页。上的插值基函数、和插值求积公式如下
12、：另外一种验证方法-具体地计算出以下插值型求积公式中的积分系数A,B,C.实际上，在例1中，已经求出了在插值节点这和题目中所给定的求积公式相同，因此题目中的积分公式是插值型求积公式。这个方法比较复杂。第三十六页，共五十一页。例8求证不是插值型的。证明:设x0=-1,x1=0,x2=1从而求积公式拥有3个节点，但是仅有1次代数精度，由定理4.1，此求积公式不是插值型求积公式。课堂练习第三十七页，共五十一页。例9给定求积公式试确定求积系数A-1,A0,A1,使其有尽可能高的代数精度，并指出其代数精度。解：令求积公式对f(x)=1,x,x2准确成立，则有课堂练习第三十八页，共五十一页。解之得:其代数
13、精度至少为2,将f(x)=x3代入求积公式两端相等；将f(x)=x4代入求积公式两端不相等；所以其代数精度为3次第三十九页，共五十一页。构造插值求积公式有如下特点：1）复杂函数f(x)的积分转化为计算多项式的积分；2）求积系数Ak只与积分区间及节点xk有关，而与被积函数f(x)无关，无论f(x)如何，永远可以预先算出Ak的值；3）n+1个节点的插值求积公式至少有n次代数精度；4）求积系数之和可用此检验计算求积系数的正确性。第四十页，共五十一页。(1)在积分区间a,b上选取节点xk(3)利用f(x)=1,x,xn,验算代数精度构造插值求积公式的步骤：(2)求出f(xk)及利用或解关于Ak的线性方
14、程组求出Ak，得到:第四十一页，共五十一页。例10对,构造至少有3次代数精度的求积公式。同学自己完成。解:3次代数精度需4个节点,在0,3上取0,1,2,3四个节点构造求积公式确定求积系数Ak(k=0,1,2,3),利用求积系数公式第四十二页，共五十一页。因为求积公式有4个节点，所以至少具有3次代数精度，只需将f(x)=x4代入来验证其代数精度。将f(x)=x4代入两端不相等，所以只有3次代数精度。Home第四十三页，共五十一页。求积公式的收敛性和稳定性第四十四页，共五十一页。4.1.5、求积公式的收敛性和稳定性一般地，求积公式通常称为机械求积公式。其中插值型求积公式使用了插值基函数的定积分作为系数。第四十五页，共五十一页。若f(x)在a,b上有n+1阶连续导数，则插值型求积公式的余项的表达式为：误差估计公式第四十六页，共五十一页。例1使用以下的插值型求积公式，计算并且估计误差。解：利用以上求积公式，得误差估计:第四十七页，共五十一页。用牛顿-莱布尼茨公式计算，得精确解：本题近似计算结果=2.3619计算x(1-x2)在0,1上的定积分，得到误差估计：|Rf|=e/120,k=0,1,n，则求积公式是稳定的。证明：按照稳定性定义，求积公式是稳定的。第五十一页，共五十一页。
