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1、燕山大学机械工程学院School of Mechanical Engineering, Yanshan University在在工工程程实实际际问问题题中中，存存在在大大量量的的质质量量和和刚刚度度不不均均匀匀分分布布的的连连续续系系统统的的振振动动问问题题，由由于于一一般般无无法法得得到到精精确确的的解解析析解解，因因此此近近似似计计算方法就成为工程实际问题中十分重要解法。算方法就成为工程实际问题中十分重要解法。无无论论是是有有限限自自由由度度系系统统还还是是无无限限自自由由度度系系统统，当当以以某某一一特特定定的的振振动动形形状状作作自自由由振振动动时时，该该系系统统就就在在各各点点平平衡
2、衡位位置置附附近近以以自自振振频频率率 作简谐运动。作简谐运动。求求连连续续系系统统固固有有频频率率常常用用的的近近似似方方法法： 瑞瑞利利法法；瑞瑞利利里里兹兹法法；假定振型法假定振型法3.7 计算固有频率的近似方法计算固有频率的近似方法例例如如：梁梁横横向向振振动动的的振型函数方程为振型函数方程为对于变截面梁的弯曲振动，阵型函数为变系对于变截面梁的弯曲振动，阵型函数为变系数四阶常微分方程，一般无法求得解析解！数四阶常微分方程，一般无法求得解析解！燕山大学机械工程学院School of Mechanical Engineering, Yanshan University 根根据据能能量量守守
3、恒恒原原理理，对对于于保保守守系系统统其其总总能能量量是是常常数数，故最大动能故最大动能Tmax和最大势能和最大势能Umax应相等，即应相等，即 对对于于任任何何一一个个连连续续系系统统，只只要要近近似似地地给给出出一一个个满满足足边边界界条条件件的的第第一一阶阶振振型型函函数数，并并获获得得系系统统的的动动能能和和势势能能，就可对基频进行估算。就可对基频进行估算。 瑞瑞利利法法(能能量量法法)就就是是根根据据机机械械能能守守恒恒定定律律得得到到的的计计算算基基频频的的近近似似方方法法，它它不不仅仅适适用用于于离离散散系系统统，同同样样也也适适用于连续系统。用于连续系统。3.7.1 瑞利法瑞利
4、法燕山大学机械工程学院School of Mechanical Engineering, Yanshan University如如果果梁梁以以某某一一阶阶固固有有频频率率作作固固有有振振动动，设设梁梁的的振振型型函函数数Y(x)，它它满满足足梁梁的的边边界界条条件件，则则梁梁在在振振动动过过程程中中任任一一瞬时的位移、速度为瞬时的位移、速度为不考虑转动惯量和剪切变形的影响，动能和势能为不考虑转动惯量和剪切变形的影响，动能和势能为燕山大学机械工程学院School of Mechanical Engineering, Yanshan University在在偏偏离离平平衡衡位位置置最最远远距距离离
5、处处，梁梁具具有有最最大弹性势能大弹性势能 上上式式表表明明，当当所所假假设设振振型型函函数数Y(x)恰恰好好是是某某一一阶阶实实际际振振型型函函数数时，即可计算出该阶固有频率的精确解。时，即可计算出该阶固有频率的精确解。 事事实实上上，由由于于不不能能预预知知各各阶阶实实际际的的振振型型函函数数，一一般般只只能能近近似似地地给出第一阶振型函数。因此，给出第一阶振型函数。因此，瑞利法只适用于估算基频。瑞利法只适用于估算基频。根根据据机机械械能能守守恒恒定定律得律得在在静静平平衡衡位位置置，梁具有最大动能梁具有最大动能称为参考动能。称为参考动能。燕山大学机械工程学院School of Mecha
6、nical Engineering, Yanshan University当当梁梁上上有有集集中中质质量量，在在计计算算动动能能时时应应计计入入集集中中质质量量的的动动 能能 。 若若 在在 xi(i=1,2,n)处处 有有 集集 中中 质质 量量 mi (i=1,2,n) ，则梁的最大动能为则梁的最大动能为当当梁梁上上xi(i=1,2,n)处处有有刚刚度度ki(i=1,2,n)和和扭扭转转刚刚度度k i(i=1,2,n)的的弹弹性性支支承承时时，则则梁梁的的最最大大势势能能为为燕山大学机械工程学院School of Mechanical Engineering, Yanshan Univer
7、sity在在假假设设第第一一阶阶振振型型函函数数时时，应应尽尽量量接接近近实实际际振振型型。例例如如，有有一一试试探探振振型型函函数数X(x)，满满足足边边界界条条件件，同同时时具具有有各阶导数。各阶导数。 若若用用X(x)代代替替上上述述公公式式中中的的Y(x)，则则得得梁梁弯弯曲曲振振动动的的瑞利商瑞利商燕山大学机械工程学院School of Mechanical Engineering, Yanshan University瑞利商瑞利商R(X)为一个泛函，它决定于试探函数为一个泛函，它决定于试探函数X(x)。由由于于准准确确确确定定高高阶阶试试探探函函数数存存在在困困难难，通通常常选选用
8、用静静挠挠度度曲曲线线作作为为第第一一阶阶振振型型函函数数的的试试探探函函数数，计计算算系系统统基基频频的近似值。的近似值。可可以以证证明明，如如果果试试探探函函数数X(x)与与系系统统振振型型函函数数Y(x)相相差差一一阶阶小小量量，则则瑞瑞利利商商基基频频近近似似值值与与精精确确值值之之间间相相差差二二阶小量。阶小量。由由于于用用假假设设的的试试探探函函数数代代替替精精确确的的第第一一阶阶振振型型函函数数，相相当当于于给给系系统统施施加加了了约约束束，增增加加了了系系统统刚刚度度，因因此此将将使使固固有有频频率率值值提提高高，也也就就是是说说R(X)给给出出了了系系统统固固有有频频率率的的
9、上限。上限。问题：瑞利商基频计算结果与实际基频比较，大问题：瑞利商基频计算结果与实际基频比较，大 或或 小？小？燕山大学机械工程学院School of Mechanical Engineering, Yanshan University另另外外，前前面面所所讲讲的的弦弦的的横横向向振振动动，杆杆的的纵纵向向振振动动和和轴轴的扭转振动等，同样可用瑞利法计算基频。的扭转振动等，同样可用瑞利法计算基频。对对于于不不同同的的连连续续系系统统，只只是是T*和和Umax的的具具体体表表达达式式不不同而已。为了表示一般情况，以同而已。为了表示一般情况，以R表示瑞利商，即表示瑞利商，即此为瑞利商的一般表达式。
10、此为瑞利商的一般表达式。燕山大学机械工程学院School of Mechanical Engineering, Yanshan University例例1 长长为为L，弯弯曲曲刚刚度度为为EJ，单单位位长长度度分分布布质质量量为为m的的悬悬臂臂梁梁，在在其其自自由由端端有有集集中中质质量量2M (M=mL)。试试用用瑞瑞利利法求梁弯曲振动的基频。法求梁弯曲振动的基频。解解：(1)采采用用分分布布载载荷荷作作用用下下梁的静挠度曲线为试探振型梁的静挠度曲线为试探振型式中式中可可以以验验算算该该函函数数满满足足悬悬臂臂梁梁根根部部的的位位移移和和转转角角为为零零的的几几何边界条件，即何边界条件，即选
11、择为试探振型函数选择为试探振型函数燕山大学机械工程学院School of Mechanical Engineering, Yanshan University将将试试探探振振型型以以及及试试探探振振型型的的二二次次导导数数代代入入瑞瑞利利商商计计算算式式，并并注注意意到到梁梁上上没没有有弹性支承弹性支承燕山大学机械工程学院School of Mechanical Engineering, Yanshan University计算积分，并代入计算积分，并代入M=mL，则求得则求得精确解精确解可见估计值与精确值的误差为可见估计值与精确值的误差为2.8%。燕山大学机械工程学院School of Me
12、chanical Engineering, Yanshan University(2)采采用用无无自自重重悬悬臂臂梁梁在在端端部部集集中中载载荷荷作作用用下下的的静静挠挠度度曲线作为试探振型函数曲线作为试探振型函数式中式中验验算算表表明明，该该函函数数满满足足悬悬臂臂梁梁根根部部的的位位移移和和转转角角为为零零的的几几何何边边界界条条件件。选选择择该该函函数数为为试试探探振振型型函函数数，其其二二次次导导数为数为代入式瑞利商计算式，固有频率为代入式瑞利商计算式，固有频率为悬臂梁在端部集中载荷作用下的静挠度曲线为悬臂梁在端部集中载荷作用下的静挠度曲线为燕山大学机械工程学院School of Me
13、chanical Engineering, Yanshan University计算积分，并代入计算积分，并代入M=mL，则求得则求得可见，估计值仅比精确解高可见，估计值仅比精确解高0.02%。 从从本本例例两两种种方方案案的的计计算算结结果果可可以以看看出出，虽虽然然两两种种情情况况与与精精解解都都比比较较接接近近，但但第第二二种种要要比比第第一一种种好好，原原因因是是本本题题中中集集中中质质量量比比分分布布质质量量影影响响大大，其其挠挠度度曲曲线线更更接接近近于于实实际际的的第第一一阶阶振振型型。若若当当悬悬臂臂梁梁质质量量大大于于端端部部集集中中质质量量时时，则则取取受受分分布布力力作作
14、用用的的悬悬臂臂梁梁的的静静挠挠度度曲曲线线是是较较合合适的。适的。 精确解精确解静静挠挠度度曲曲线线是是最最低低阶阶振振型型函函数数的的一种很有效的近似形状。一种很有效的近似形状。燕山大学机械工程学院School of Mechanical Engineering, Yanshan University例例2 图图示示变变截截面面梁梁具具有有单单位位厚厚度度，截截面面变变化化为为A(x)=h(1- -x/L)= A0(1- -x/L)，A0为为根根部部截截面面积积，设设单单位位体体积积质质量量 为为常数。试求弯曲振动基频的近似值。常数。试求弯曲振动基频的近似值。解解：由由给给定定的的条条件件
15、，知知截截面面积对中心主轴的惯性矩为积对中心主轴的惯性矩为为为简简化化计计算算，设设幂幂函函数数为为试试探探振型函数振型函数燕山大学机械工程学院School of Mechanical Engineering, Yanshan University该试探振型函数满足全部边界条件该试探振型函数满足全部边界条件将试探函数及其二阶导函数代入瑞利商计算式，得将试探函数及其二阶导函数代入瑞利商计算式，得燕山大学机械工程学院School of Mechanical Engineering, Yanshan University基频的近似值为基频的近似值为精确值为精确值为由瑞利法求出的基频较精确值高由瑞利法
16、求出的基频较精确值高3.05%。燕山大学机械工程学院School of Mechanical Engineering, Yanshan University 瑞瑞利利-里里兹兹法法是是在在瑞瑞利利法法的的基基础础上上作作了了改改进进，可可用以求出更精确的基频。用以求出更精确的基频。 另另外外，瑞瑞利利-里里兹兹法法可可以以求求得得高高阶阶固固有有频频率率和和固固有振型的近似值。有振型的近似值。 瑞瑞利利-里里兹兹法法的的基基本本思思想想是是把把连连续续系系统统离离散散化化为为有限自由度系统，然后根据机械能守恒定律进行计算。有限自由度系统，然后根据机械能守恒定律进行计算。 由由于于瑞瑞利利商商提提供供了了第第一一阶阶固固有有频频率率的的上上限限 ( R ，可见瑞利可见瑞利-里兹法降低了基频的估计值。里兹法降低了基频的估计值。3.7.2 瑞利瑞利- -里兹里兹(Rayleigh-Ritz)法法为什么？为什么？燕山大学机械工程学院School of Mechanical Engineering, Yanshan University 按按照照瑞瑞利利-里里兹兹法法，任任意意连连续续系系统统的
