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1、线性代数知识点至章演示文稿第一页，共一百零八页。（优选）线性代数知识点至章第二页，共一百零八页。分别计算出排列中每个元素前面比它大的数分别计算出排列中每个元素前面比它大的数码个数之和，即算出排列中每个元素的逆序数，码个数之和，即算出排列中每个元素的逆序数，每个元素的逆序数之总和即为所求排列的逆序数每个元素的逆序数之总和即为所求排列的逆序数方法方法2 2方法方法1 1分别计算出排在分别计算出排在 前面比它大的前面比它大的数码之和，即分别算出数码之和，即分别算出 这这 个元素个元素的逆序数，这的逆序数，这 个元素的逆序数之总和即为所求个元素的逆序数之总和即为所求排列的逆序数排列的逆序数计算排列逆序
2、数的方法第三页，共一百零八页。定义定义在排列中，将任意两个元素对调，其余元素不在排列中，将任意两个元素对调，其余元素不动，称为一次对换将相邻两个元素对调，叫做相邻动，称为一次对换将相邻两个元素对调，叫做相邻对换对换定理定理一个排列中的任意两个元素对换，排列改一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性变奇偶性推论推论奇排列调成标准排列的对换次数为奇数，奇排列调成标准排列的对换次数为奇数，偶排列调成标准排列的对换次数为偶数偶排列调成标准排列的对换次数为偶数对换第四页，共一百零八页。n阶行列式的定义第五页，共一百零八页。第六页，共一百零八页。n阶行列式的性质第七页，共一百零八页。第八页，共一百零八
3、页。）余子式与代数余子式）余子式与代数余子式行列式按行（列）展开第九页，共一百零八页。）关于代数余子式的重要性质）关于代数余子式的重要性质第十页，共一百零八页。克拉默法则第十一页，共一百零八页。克拉默法则的理论价值克拉默法则的理论价值定理定理定理定理第十二页，共一百零八页。定理定理定理定理第十三页，共一百零八页。矩阵的定义第十四页，共一百零八页。第十五页，共一百零八页。方阵列矩阵行矩阵第十六页，共一百零八页。两个矩阵的行数相等、列数也相等时，就称两个矩阵的行数相等、列数也相等时，就称它们是同型矩阵它们是同型矩阵同型矩阵和相等矩阵第十七页，共一百零八页。零矩阵单位矩阵第十八页，共一百零八页。交换
4、律交换律结合律结合律矩阵相加第十九页，共一百零八页。运算规律运算规律数乘矩阵第二十页，共一百零八页。矩阵相乘第二十一页，共一百零八页。运算规律运算规律第二十二页，共一百零八页。n阶方阵的幂阶方阵的幂方阵的运算第二十三页，共一百零八页。方阵的行列式方阵的行列式运算规律运算规律第二十四页，共一百零八页。转置矩阵转置矩阵一些特殊的矩阵第二十五页，共一百零八页。对称矩阵对称矩阵反对称矩阵反对称矩阵幂等矩阵幂等矩阵第二十六页，共一百零八页。正交矩阵正交矩阵对角矩阵对角矩阵对合矩阵对合矩阵第二十七页，共一百零八页。上三角矩阵上三角矩阵主对角线以下的元素全为零的方阵称为上三主对角线以下的元素全为零的方阵称为
5、上三角矩阵角矩阵下三角矩阵下三角矩阵主对角线以上的元素全为零的方阵称为下三主对角线以上的元素全为零的方阵称为下三角矩阵角矩阵第二十八页，共一百零八页。伴随矩阵伴随矩阵第二十九页，共一百零八页。定义定义逆矩阵第三十页，共一百零八页。相关定理及性质相关定理及性质第三十一页，共一百零八页。矩阵的分块，主要目的在于简化运算及便于矩阵的分块，主要目的在于简化运算及便于论证论证分块矩阵的运算规则与普通矩阵的运算规则分块矩阵的运算规则与普通矩阵的运算规则相类似相类似分块矩阵第三十二页，共一百零八页。初等变换的定义换法变换换法变换倍法变换倍法变换消法变换消法变换第三十三页，共一百零八页。初等变换 逆变换三种初
6、等变换都是可逆的，且其逆变换是三种初等变换都是可逆的，且其逆变换是同一类型的初等变换同一类型的初等变换第三十四页，共一百零八页。反身性反身性传递性传递性对称性对称性矩阵的等价第三十五页，共一百零八页。三种初等变换对应着三种初等矩阵三种初等变换对应着三种初等矩阵初等矩阵由单位矩阵经过一次初等变换得到的矩阵称由单位矩阵经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵为初等矩阵第三十六页，共一百零八页。（）换法变换：对调两行（列），得初等（）换法变换：对调两行（列），得初等矩阵矩阵第三十七页，共一百零八页。（）倍法变换：以数（非零）乘某行（）倍法变换：以数（非零）乘某行（列），得初等矩阵列），得初等矩阵第三十
7、八页，共一百零八页。（）消法变换：以数乘某行（列）加到另（）消法变换：以数乘某行（列）加到另一行（列）上去，得初等矩阵一行（列）上去，得初等矩阵第三十九页，共一百零八页。经过初等行变换，可把矩阵化为行阶梯形矩经过初等行变换，可把矩阵化为行阶梯形矩阵，其特点是：可画出一条阶梯线，线的下方全阵，其特点是：可画出一条阶梯线，线的下方全为为0 0；每个台阶只有一行，台阶数即是非零行的；每个台阶只有一行，台阶数即是非零行的行数，阶梯线的竖线（每段竖线的长度为一行）行数，阶梯线的竖线（每段竖线的长度为一行）后面的第一个元素为非零元，也就是非零行的第后面的第一个元素为非零元，也就是非零行的第一个非零元一个非
8、零元例如例如行阶梯形矩阵第四十页，共一百零八页。经过初等行变换，行阶梯形矩阵还可以进一经过初等行变换，行阶梯形矩阵还可以进一步化为行最简形矩阵，其特点是：非零行的第一步化为行最简形矩阵，其特点是：非零行的第一个非零元为个非零元为1 1，且这些非零元所在列的其它元素都，且这些非零元所在列的其它元素都为为0 0例如例如行最简形矩阵第四十一页，共一百零八页。对行阶梯形矩阵再进行初等列变换，可得到对行阶梯形矩阵再进行初等列变换，可得到矩阵的标准形，其特点是：左上角是一个单位矩矩阵的标准形，其特点是：左上角是一个单位矩阵，其余元素都为阵，其余元素都为0 0例如例如矩阵的标准形第四十二页，共一百零八页。所
9、有与所有与A A等价的矩阵组成的一个集合，称为一等价的矩阵组成的一个集合，称为一个等价类，标准形是这个等价类中形状最简单的个等价类，标准形是这个等价类中形状最简单的矩阵矩阵第四十三页，共一百零八页。定义定义矩阵的秩定义定义第四十四页，共一百零八页。定理定理行阶梯形矩阵的秩等于非零行的行数行阶梯形矩阵的秩等于非零行的行数矩阵秩的性质及定理第四十五页，共一百零八页。第四十六页，共一百零八页。定理定理定理定理线性方程组有解判别定理第四十七页，共一百零八页。齐次线性方程组齐次线性方程组：把系数矩阵化成行最简形：把系数矩阵化成行最简形矩阵，写出通解矩阵，写出通解非齐次线性方程组非齐次线性方程组：把增广矩
10、阵化成行阶梯：把增广矩阵化成行阶梯形矩阵，根据有解判别定理判断是否有解，若有形矩阵，根据有解判别定理判断是否有解，若有解，把增广矩阵进一步化成行最简形矩阵，写出解，把增广矩阵进一步化成行最简形矩阵，写出通解通解10线性方程组的解法第四十八页，共一百零八页。定理定理11初等矩阵与初等变换的关系定理定理推论推论第四十九页，共一百零八页。分分量量全全为为实实数数的的向向量量称称为为实实向向量量分分量量全全为为复复数数的的向向量量称称为为复复向向量量向量的定义定定义义第五十页，共一百零八页。第五十一页，共一百零八页。向向量量的的相相等等零零向向量量分分量量全全为为0 0的的向向量量称称为为零零向向量量
11、负负向向量量第五十二页，共一百零八页。向向量量加加法法向量的线性运算第五十三页，共一百零八页。数数乘乘向向量量向向量量加加法法和和数数乘乘向向量量运运算算称称为为向向量量的的线线性性运运算算， 满满 足足 下下 列列 八八 条条 运运 算算 规规 则则 ：第五十四页，共一百零八页。第五十五页，共一百零八页。除除了了上上述述八八条条运运算算规规则则，显显然然还还有有以以下下性性质质：第五十六页，共一百零八页。若若干干个个同同维维数数的的列列（行行）向向量量所所组组成成的的集集合合叫叫做做向向量量组组定定义义线性组合第五十七页，共一百零八页。定定义义线性表示第五十八页，共一百零八页。定定理理定定义
12、义第五十九页，共一百零八页。定定义义线性相关定定理理第六十页，共一百零八页。定定理理第六十一页，共一百零八页。第六十二页，共一百零八页。定定义义向量组的秩第六十三页，共一百零八页。等等价价的的向向量量组组的的秩秩相相等等定定理理 矩矩阵阵的的秩秩等等于于它它的的列列向向量量组组的的秩秩，也也等等于于它它的的行行向向量量组组的的秩秩定定理理设设向向量量组组B B能能由由向向量量组组A A线线性性表表示示，则则向向量量组组B B的的 秩秩 不不 大大 于于 向向 量量 组组A A的的秩秩推推论论第六十四页，共一百零八页。推推论论推推论论（最最大大无无关关组组的的等等价价定定义义）设设向向量量组组是
13、是向向量量组组的的部部分分组组，若若向向量量组组线线性性无无关关，且且向向量量组组能能由由向向量量组组线线性性表表示示，则则向向量量组组是是向向量量组组的的一一个个最最大大无无关关组组第六十五页，共一百零八页。向量空间定定义义设设 为为 维维向向量量的的集集合合，如如果果集集合合 非非空空，且且集集合合 对对于于加加法法及及数数乘乘两两种种运运算算封封闭闭，那那么么就就称称集集合合 为为向向量量空空间间第六十六页，共一百零八页。第六十七页，共一百零八页。定定义义子空间第六十八页，共一百零八页。定定义义基与维数第六十九页，共一百零八页。第七十页，共一百零八页。向向量量方方程程齐次线性方程组第七十
14、一页，共一百零八页。第七十二页，共一百零八页。解解向向量量第七十三页，共一百零八页。解解向向量量的的性性质质性性质质性性质质定定义义第七十四页，共一百零八页。定定理理定定义义第七十五页，共一百零八页。向向量量方方程程非齐次线性方程组第七十六页，共一百零八页。解解向向量量的的性性质质性性质质性性质质解解向向量量向向量量方方程程 的的解解就就是是方方程程组组 的的解解向向量量第七十七页，共一百零八页。（）求求齐齐次次线线性性方方程程组组的的基基础础解解系系线性方程组的解法第七十八页，共一百零八页。第第一一步步：对对系系数数矩矩阵阵进进行行初初等等行行变变换换，使使其其变变成成行行最最简简形形矩矩阵
15、阵第七十九页，共一百零八页。第八十页，共一百零八页。第第三三步步：将将其其余余 个个分分量量依依次次组组成成 阶阶单单位位矩矩阵阵，于于是是得得齐齐次次线线性性方方程程组组的的一一个个基基础础解解系系第八十一页，共一百零八页。（）求求非非齐齐次次线线性性方方程程组组的的特特解解第八十二页，共一百零八页。将将上上述述矩矩阵阵中中最最后后一一列列的的前前 个个分分量量依依次次作作为为特特解解的的第第 个个分分量量，其其余余 个个分分量量全全部部取取零零，于于是是得得第八十三页，共一百零八页。即即为为所所求求非非齐齐次次线线性性方方程程组组的的一一个个特特解解第八十四页，共一百零八页。定义定义向量内
16、积的定义及运算规律第八十五页，共一百零八页。第八十六页，共一百零八页。定义定义向量的长度具有下列性质：向量的长度具有下列性质：向量的长度第八十七页，共一百零八页。第八十八页，共一百零八页。定义定义向量的夹角第八十九页，共一百零八页。所谓正交向量组，是指一组两两正交的非零所谓正交向量组，是指一组两两正交的非零向量向量空间的基若是正交向量组，就称为正向量向量空间的基若是正交向量组，就称为正交基交基定理定理定义定义正交向量组的性质第九十页，共一百零八页。施密特正交化方法施密特正交化方法第九十一页，共一百零八页。第一步正交化第一步正交化第九十二页，共一百零八页。第二步单位化第二步单位化第九十三页，共一百零八页。定义定义正交矩阵与正交变换方阵为正交矩阵的充分必要条件是的行方阵为正交矩阵的充分必要条件是的行（列）向量都是单位向量，且两两正交（列）向量都是单位向量，且两两正交第九十四页，共一百零八页。定义定义若为正交矩阵，则线性变换称为若为正交矩阵，则线性变换称为正交变换正交变换正交变换的特性在于保持线段的长度不变正交变换的特性在于保持线段的长度不变第九十五页，共一百零八页。定义定义方阵的特征值和特
