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1、线性系统的频域分析法详解演示文稿第一页，共一百五十七页。（优选）线性系统的频域分析法第二页，共一百五十七页。 输入不相频率的正弦信号，测量稳态输出正弦的幅值和相位差。可绘输入不相频率的正弦信号，测量稳态输出正弦的幅值和相位差。可绘出输入、输出幅值比和相位差与频率的关系曲线。出输入、输出幅值比和相位差与频率的关系曲线。 输入、输出正弦幅值比与频率的关系定义为输入、输出正弦幅值比与频率的关系定义为幅频特性幅频特性 A()CM()输出正弦函数稳态时的幅值；输出正弦函数稳态时的幅值；RM()输入正弦函数的幅值。输入正弦函数的幅值。 输入、输出正弦相位差与频率的关系，输入、输出正弦相位差与频率的关系，定
2、义为系统的相频特性定义为系统的相频特性输出正弦稳态时的相位角；输出正弦稳态时的相位角；输入正弦的相位角。输入正弦的相位角。第三页，共一百五十七页。反之，已知系统的频率特性反之，已知系统的频率特性G(j)，可求得系统的稳态输出正弦的复数，可求得系统的稳态输出正弦的复数形式：形式： 稳态输出正弦的复数形式与输入正弦函数的复数形式之比是稳态输出正弦的复数形式与输入正弦函数的复数形式之比是个复数，复数的幅值就是幅频特性，复数的幅角就是相频特性。因此，个复数，复数的幅值就是幅频特性，复数的幅角就是相频特性。因此，可定义系统的频率特性可定义系统的频率特性G(j) ：把输入正弦把输入正弦 和稳态输出正弦和稳
3、态输出正弦 写成写成复数形式复数形式 则有：则有：第四页，共一百五十七页。5.1.2 频频 率率 特特 性的求取性的求取 一、实验法一、实验法 实验测取频率特性的基本原理是输入正弦信号，测试输出正弦信号。只实验测取频率特性的基本原理是输入正弦信号，测试输出正弦信号。只是，为保证准确性，采取了一些抗干扰、克服非线性等措施。是，为保证准确性，采取了一些抗干扰、克服非线性等措施。第五页，共一百五十七页。 例例如如，对对于于图图示示的的电电路路,当当ui(t)是是正正弦弦信信号号时时, 输输出出uo(t)的的求求取取过过程程如下如下: 设设ui(t)=U sint, 则其拉氏变换为则其拉氏变换为 二、
4、解析法二、解析法 根据频率特性的定义，若已知系统的传递函数，输入正弦信号计根据频率特性的定义，若已知系统的传递函数，输入正弦信号计算出稳态时的输出正弦信号，可求得系统的频率特性。算出稳态时的输出正弦信号，可求得系统的频率特性。第六页，共一百五十七页。电路的传递函数为 对上式进行拉氏反变换, 可得 输出的象函数为第七页，共一百五十七页。 第一项是输出的暂态分量, 第二项是输出的稳态分量。 当时间t 时, 暂态分量趋于零, 电路的稳态响应为 输入、输出的复数形式为根据频率特性的定义，得电路的频率特性为第八页，共一百五十七页。另一方面，若令电路的传递函数中的另一方面，若令电路的传递函数中的s=j,得
5、到得到 频率特性等于传递函数令频率特性等于传递函数令s=j。这一结论可推广到所有稳定的。这一结论可推广到所有稳定的线性定常系统？设系统的传递函数为线性定常系统？设系统的传递函数为 第九页，共一百五十七页。在零初始条件下，对应的微分方程为在零初始条件下，对应的微分方程为 线性系统输入正弦函数时，稳态输出也是正弦函数，设输入线性系统输入正弦函数时，稳态输出也是正弦函数，设输入输出的复数形式为输出的复数形式为 ， 。代入上式。代入上式由上式可得由上式可得第十页，共一百五十七页。5.1.2频率特性的表示方法频率特性的表示方法1) 1) 直角坐标法直角坐标法 乃奎斯特图nyquist(Gs) 当频率从0
6、变化时，以jIm()为纵坐标；以Re()为横坐标。从-0变化时的乃氏图与从0变化时乃氏图关于实轴对称。式中 Re()称为系统的实频特性；Im()称为系统的虚频特性。例如，阶系统的传递函数 第十一页，共一百五十七页。 G(j)的轨迹上的任意一点到坐标原点的连线长度即为系统的幅频特性；连线与正实轴的夹角即为相频特性。 当频率从0变化时，可得到许多矢量，把矢量的端点连接起来，同样可得到G(j)的轨迹，两种表示方法之间存在如下关系：2) 极坐标法极坐标法第十二页，共一百五十七页。3) 对数坐标法对数坐标法 分别求出系统的幅频特性和相频特性，并对幅频特性取对数：对数幅频特性分贝（dB）波德图bode(G
7、s)以log为横坐标，以L()为纵坐标绘制对数幅频曲线；以log为横坐标，以 为纵坐标绘制对数相频曲线。第十三页，共一百五十七页。请注意 对数刻度和线性刻度的区别 log2*L=0.3L10倍频程=一个单位长度L第十四页，共一百五十七页。 对数频率特性采用的对数分度实现了横坐标的非线性压缩, 便于在较大频率范围反映频率特性的变化情况。对数幅频特性采用20lgA(), 则将幅值的乘除运算化为加减运算。设两个环节的频率特性为： 系统由这两个环节串联组成，系统频率特性为系统的对数频率特性为： 即已知环节的对数幅频、相频特性曲线时，只需将其叠加，就可以得到系统的对数幅频、相频特性曲线。 第十五页，共一
8、百五十七页。5.2 典型环节与开环系统频率特性典型环节与开环系统频率特性 1. 比例环节比例环节比例环节的频率特性为 G(j)=K 相应的幅频特性和相频特性为 开环频率特性往往是典型环节频率系统的乘积，先求出环节的频率特性，再开环频率特性就容易了。j Im()0Re()K乃氏图Bode图对数幅频特性和相频特性为 第十六页，共一百五十七页。2. 积分环节积分环节积分环节的频率特性为 (5.18) 其幅频特性和相频特性为 (5.19) 由式(5.19)可见,它的幅频特性与角频率成反比, 而相频特性恒为-90。对数幅频特性和相频特性为 (5.20) 第十七页，共一百五十七页。图 5-8 积分环节的奈
9、氏图 第十八页，共一百五十七页。图 5-9 积分环节的伯德图 第十九页，共一百五十七页。 3. 微分环节微分环节 微分环节的频率特性为 (5.21) 其幅频特性和相频特性为 (5.22) 由式(5.22)可见, 微分环节的幅频特性等于角频率, 而相频特性恒为90。对数幅频特性和相频特性为 (5.23) 第二十页，共一百五十七页。图 5-10 微分环节的奈氏图 第二十一页，共一百五十七页。图 5-11 微分环节的伯德图 第二十二页，共一百五十七页。4. 惯性环节惯性环节惯性环节的频率特性为 (5.24) 它的幅频特性和相频特性为 (5.25) 式(5.24)写成实部和虚部形式, 即 第二十三页，
10、共一百五十七页。则有 即 所以, 惯性环节的奈氏图是圆心在(0.5, 0), 半径为0.5的半圆(见图5-12)。 对数幅频特性和相频特性为 (5.26) 第二十四页，共一百五十七页。图 5-12 惯性环节的奈氏图 第二十五页，共一百五十七页。图 5-13 惯性环节的伯德图 第二十六页，共一百五十七页。 当T=1时, =1/T称为交接频率, 或叫转折频率、转角频率。惯性环节对数幅频特性曲线的绘制方法如下:先找到=1/T, L()=0dB的点, 从该点向左作水平直线, 向右作斜率为-20 dB/dec的直线。在低频段和高频段, 精确的对数幅频特性曲线与渐近线几乎重合。在=1/T附近, 可以选几个
11、点, 把由式(5.26)算出的精确的L()值标在图上, 用曲线板光滑地连接起来, 就得精确的对数幅频特性曲线。渐近线和精确曲线在交接频率附近的误差列于表5-2中。 表表 5-2 惯性环节对数幅频特性曲线渐近线和精确曲线的误差惯性环节对数幅频特性曲线渐近线和精确曲线的误差 第二十七页，共一百五十七页。由表可知, 在交接频率处误差达到最大值: 一般来说, 这些误差并不影响系统的分析与设计。 在低频段, 很小, t1, ()=-90。所以, ()=0和()=-90是曲线()的两条渐近线, 在交接频率处有 第二十八页，共一百五十七页。表表 5-3 惯性环节对数相频特性曲线角度值惯性环节对数相频特性曲线
12、角度值 第二十九页，共一百五十七页。 惯性环节对数相频特性曲线是一条中心点对称的曲线, 这可以证明如下: 取两个关于=1/T对称的频率1=/T和2=1/(T), 则有 因此有 这表明()是关于=1/T, ()=-45这一点中心对称的。 用MATLAB画出的惯性环节的伯德图如图5-14所示(T=1)。 第三十页，共一百五十七页。图 5-14 MATLAB绘制的惯性环节的伯德图 第三十一页，共一百五十七页。5. 一阶微分环节一阶微分环节一阶微分环节的频率特性为 (5.27) 幅频特性和相频特性为 (5.28) 对数幅频特性和相频特性为 (5.29) 第三十二页，共一百五十七页。图 5-15 一阶微
13、分环节的奈氏图 第三十三页，共一百五十七页。图 5-16 一阶微分环节的伯德图 第三十四页，共一百五十七页。6. 二阶振荡环节二阶振荡环节二阶惯性环节的频率特性为 (5.30) 它的幅频特性和相频特性为 (5.31) 第三十五页，共一百五十七页。对数幅频特性和相频特性为 (5.32) 由式(5.31)得 (T1) (T1) 第三十六页，共一百五十七页。所以有 (=0) (+) 第三十七页，共一百五十七页。图 5-17 二阶振荡环节的奈氏图 第三十八页，共一百五十七页。 画二阶振荡环节的伯德图时分析如下：在低频段, 很小, T1, L()=-20lg (T)2=-40lg(T)dB。其对数幅频特
14、性曲线可用上述低频段和高频段的两条直线组成的折线近似表示, 如图5-18的渐近线所示。 这两条线相交处的交接频率=1/T, 称为振荡环节的无阻尼自然振荡频率。在交接频率附近, 对数幅频特性与渐近线存在一定的误差, 其值取决于阻尼比的值, 阻尼比越小, 则误差越大, 如表5-4所示。当0.707时, 在对数幅频特性上出现峰值。根据表5 -5可绘制出不同阻尼比的相频特性曲线。二阶振荡环节的伯德图如图5-18所示。 第三十九页，共一百五十七页。表表 5-4 二阶振荡环节对数幅频特性曲线渐近线和精确曲线的误差二阶振荡环节对数幅频特性曲线渐近线和精确曲线的误差(dB)第四十页，共一百五十七页。表表 5-
15、5 二阶振荡环节对数相频特性曲线角度值二阶振荡环节对数相频特性曲线角度值 第四十一页，共一百五十七页。图 5-18 二阶振荡环节的伯德图 第四十二页，共一百五十七页。7. 迟后环节迟后环节迟后环节的频率特性为 (5.33) 幅频特性和相频特性为 (5.34) 可见, 其奈氏图是一个以坐标原点为中心, 半径为1的圆。对数幅频特性和相频特性为 (5.35) 第四十三页，共一百五十七页。图 5-19 迟后环节的奈氏图 第四十四页，共一百五十七页。图 5-20 迟后环节的伯德图 第四十五页，共一百五十七页。3、 控制系统开环频率特性曲线的绘制控制系统开环频率特性曲线的绘制 1） 开环频率特性奈氏图的绘
16、制开环频率特性奈氏图的绘制 以后我们将会看到, 在绘制奈氏图时有时并不需要绘制得十分准确, 而只需要绘出奈氏图的大致形状和几个关键点的准确位置就可以了。因此, 由以上典型环节奈氏图的绘制, 大致可将奈氏图的一般作图方法归纳如下: (1) 写出A()和()的表达式; (2) 分别求出=0和=+时的G(j); 第四十六页，共一百五十七页。 (3) 求奈氏图与实轴的交点, 交点可利用G(j)的虚部ImG(j)=0 的关系式求出, 也可利用G(j) = n180(其中n为整数)求出; (4) 如果有必要, 可求奈氏图与虚轴的交点, 交点可利用G(j)的实部ReG(j)=0的关系式求出, 也可利用G(j) = n90(其中n为正整数)求出; (5) 必要时画出奈氏图中间几点; (6) 勾画出大致曲线。 第四十七页，共一百五十七页。例例 5-1 试绘制下列开环传递函数的奈氏图: 解解 该环节开环频率特性为 =0, A() = 10, ()=0, 即奈氏图的起点为(10, j0)；=+, A() = 0, ()=-180, 即奈氏图的终点为(0,j0)。 显然, 从0变化到+, A()单调递减, 而
