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1、2010年全国中学生物理竞赛复赛试卷（第二十七届）本卷共九题，满分160分.计算题的解答应写出必要的文字说明、方程式和重要的演算步骤.只写出最后结果的不能得分.有数字计算的题.答案中必须明确写出数值和单位.填空题把答案填在题中的横线上，只要给出结果，不需写出求解的过程.一、（15分）蛇形摆是一个于演示单摆周期与摆长关系的实仪器（见图）.若干个摆球位于一高度并等间距地排成一条直线，它们的悬挂点在不同的高度上，摆长依次减小.设重力加速度个包含十个单摆的蛇形摆（即求出每个摆的摆1.试设讨长），要求满足：（a）每个摆的摆长不小于0.450m,不大于1.00m;（b）初始时将所有摆球由平衡点沿x轴正方向
2、移动相同的一个小位移xo（xo0）的粒子作角速度为3、半径为R的匀速圆周运动.一长直细导线位于圆周所在的平面内，离圆心的距离为d（dR）,在导线上通有随时间变化的电流I,t=0时刻，粒子速度的方向与导线平行，离导线的距离为d+R.若粒子做圆周运动的向心力等于电流i,的磁场对粒子的作用力，试求出电流i随时间的变化规律.不考虑变化的磁场产生的感生电场及重力的影响.长直导线电流产生的磁感应强度表示式中的比例系数k已知.M分另UQ面球交点荷HN五、（20分）如图所示，两个固定的均匀带电面，所带电荷虽分别为+Q和-Q（Q0）,半径为R和R/2，小球面与大球面内切于C点，两球心O和。的连线MNB竖直方在M
3、曲两球面的B、0和C处各开有足够小的孔因小孔损失的电质点静电忽略不计，有一质H为m带电荷为q（q0的自MNB上离B点距离为R的A点竖直上抛。设力常虽为k,重力加度为g.1.要使质点从A点上抛后能够到达B点，所需的最小初动能为多少？2.要使质点从A点上抛后能够到达O点，在不同条件下所需的最小初动能各为多少？六、（20分）由单位长度电阻为r的导线组成如图所示的正方形网络系列.n=1时，正方形网络边长为L,n=2时，小正方形网络的边长为L/3;n=3时，最小正方形网络的边长为L/9.当n=1、2、3时，各网络上A、B两点间的电阻分别为多少？七、（15分）地球上的能虽从源头上说来自太阳辐射到达地面的太
4、阳辐射（假定不计大气对太阳辐射的吸收）一部分被地球表面反射到太空，其余部分被地球吸收.被吸收的部分最终转换成为地球热辐射（红外波段的电磁波）.热辐射在向外传播过程中，其中一部分会被温室气体反射回地面，地球以此方式保持了总能虽平衡。作为一个简单的理想模型，假定地球表面的温度处处相同，且太阳和地球的辐射都遵从斯忒蕃一玻尔兹曼定律：单位面积的辐射功率J与表面的热力学温度T的四次方成正比，即J=M,其中b是一个常虽.已知太阳表面温度Ts=5.78X103K，太阳半径Rs=6.69X105km,地球到太阳的平均距离d=1.50x108km.假设温室气体在大气层中集中形成一个均匀的薄层，并设它对热辐射能虽
5、的反射率为P=0.38.1. 如果地球表面对太阳辐射的平均反射率以=0.30，试问考虑了温室气体对热辐射的反射作用后，地球表面的温度是多少？如果地球表面一部分被冰雪覆盖，覆盖部分对太阳辐射的反射率为以1=0.85，其余部分的反射率处以2=0.25.间冰雪被盖面占总面积多少时地球表面温度为273K.八、（20分）正午时太阳的入射光与水平面的夹角。=450.有一座房子朝南的墙上有一个直径W=10cm的圆窗，窗口中心距地面的高度为H.试设计一套采光装置，使得正午时刻太阳光能进人窗口，并要求进入的光为充满窗口、垂直墙面、且光强是进人采光装置前2倍的平行光.可供选用的光学器件如下：一个平面镜，两个凸透镜
6、，两个凹透镜；平面镜的反射率为80%,透镜的透射率为70%,忽略透镜表面对光的反射.要求从这些器件中选用最少的器件组成采光装置.试画出你所设计的采光装置中所选器件的位置及该装置的光路图，并求出所选器件的最小尺寸和透镜焦距应满足的条件.九、（16分）已知粒子1和粒子2的静止质虽都是m0,粒子1静止，粒子2以速度vo与粒子1发生弹性碰撞.若碰撞是斜碰，考虑相对论效.试论证：碰后两粒子速度方向的夹角是锐角、直角还是钝角.若不考虑相对论效应结果乂如何？1. 若碰撞是正碰，考虑相对论效应，试求碰后两粒子的速度.解答一、参考解答：1.以L表示第i个单摆的摆长，由条件（b）可知每个摆的周期必须是40s的整数
7、分之一，即之出N0（整数）(1).（1）式以及下面的有关各式都是在采用题给单位条件下的数值关系由（1）可得，各单摆的摆长li400g22兀Ni(2)依题意，0.450mli1.000m,由此可得邻Ni屯(3)即20Ni29(4)因此，第i个摆的摆长为li2402(i1,2,L,10)(5)兀2(19i)2i12345678910li/m0.9930.9010.8210.7510.6900.6350.5880.5450.5070.4722.20s评分标准：本题15分.第1小问11分.（2）式4分，（4）式4分，10个摆长共3分.第2小问4分.、参考解答:设该恒星中心到恒星-行星系统质心的距离为d
8、,根据题意有d-2(1)将有关数据代入（1）式，得d5103AU.乂根据质心的定义有rdMdm(2)式中r为行星绕恒星做圆周运动的轨道半径，即行星与恒星之间的距离.根据万有引力定律有MmGrr2Md登T(3)由（2）、（3）两式得4d3GT2(4)关行星系统质心的距离，从而把（2）式写2为r妙，把（3）式写为G-rMd登，则同样可得到（4）式，这也mrdT若考生用r表示行星到恒星是正确的.利用（1）式，可得.327(5)（5）式就是行星质虽m所满足的方程.可以把（5）试改写成下面的形式332mML221mM2GMT(6)因地球绕太阳作圆周运动，根据万有引力定律可得(1AU)3GMS22(1y)
9、24兀2(7)注意到MMs,由（6）和（7）式并代入有关数据得mMs328.610101mMS(8)由（8）式可知由近似计算可得3m110Ms(9)由于m/M小于1/1000,可近似使用开普勒第三定律，即r3（1AU）3产（1y）2代入有关数据得r5AU评分标准：本题20分.（1）式2分，（2）式3分,式4分，（11）式4分.三、参考解答：解法一一倾角为的直角三角形薄图1所示）紧贴于半径为R的圆柱(10)（11）（3）式4分，（5）式3分，（9）图12、.55设在所考察的时刻，螺旋环绕其转轴的角速度为,则环上每一质虽为m的小质元绕转轴转动线速度的大小都相同，用u表小,R圆柱面的轴线与直角三角形
10、薄片的沿竖直方向的直角边平行，若把此三角形薄片卷绕在柱面上，则三角形薄片的斜边就相当于题中的螺线环.根据题意有(1)可得(2)(3)该小质元对转轴的角动基整个螺旋环对转轴的角动基LLimR2mR2(4)小球沿螺旋环的运动可视为在水平面内的圆周运动和沿竖直方向的直线运动的合成.在螺旋环的角速度为时，设小球相对螺旋环的速度为v,则小球在水平面内作圆周运动的速度为vPvcosR(5)沿竖直方向的速度vvsin(6)对由小球和螺旋环组成的系绕，外力对转轴的力矩为0,系统对转轴的角动虽守恒，故有0mvPRL(7)由（4）、（5）、（7）三式得vcosR=R(8)在小球沿螺旋环运动的过程中，系统的机械能守
11、恒，有由（3）、解（8）、mghIm(5)、(6)、2gh=vcos22vPv(9)2R12m,u2四式得222vsinR（10）二式，并利用（2）式得(9)(10)12gh3=R3(11)v=Yh(12)由（6）、（12）以及（2）式得v3gh(13)或有123gh(14)（14）式表明，小球在竖直方向的运动是匀加速直线运动，其加速1a3g若小球自静止开始运动到所考察时刻经历时间为t,则有h=1at22由（11）和（16）式得(15)(16)(17)3R（17）式表明，螺旋环的运动是匀加速转动，其角加速度(i9)由（4）、(18)式并注意到得tmg5一mg3sin3Ni(20)g3R小球对螺
12、旋环的作用力有：小球对螺旋正压力Ni,在图1所示的薄片平面内，方向垂薄片的斜边；螺旋环迫使小球在水平面内作运动的向心力N2的反作用力N2.向心力N2在面内，方向指向转轴C,如图2所示.Ni、N2两力中只有Ni对螺旋环的转轴有力矩，由角动虽定理有NisinRtL2N2N2m（2i）由以上有关各式得N22mg（22）3R小球对螺旋环的作用力N.Ni2N；3mg54h2R2(23)评分标准：本题22分.（i）、（2）式共3分，（7）分，（9）式i分，求得（ii）分，（20）式5分，（22）式4图i（23）式2分.解法二一倾角为的直角三角形薄片(如图1所示)紧贴于半径为R的圆柱面，圆柱面的轴线与直角三
13、角形薄片的沿竖直方向的直角边平行，若把此三角形薄片卷绕在柱面上，则三角形薄片的斜边就相当于题中的螺线环.根据题意有兀Rtan2R12(1)可得.52、5sin,cos(2)螺旋环绕其对称轴无摩擦地转动时，环上每点线速度的大小等于直角三角形薄片在光滑水平地面上向左移动的速度.小球沿螺旋环的运动可视为在竖直方向的直线运动和在水平面内的圆周运动的合成.在考察圆周运动的速率时可以把圆周运动看做沿水平方向的直线运动，结果小球的运动等价于小球沿直角三角形斜边的运动.小球自静止开始沿螺旋环运动到在竖直方向离初始位置的距离为h的位置时，设小球相对薄片斜边的速度为v,沿薄片斜边的加速度为a.薄片相对地面向左移动的速度为u,向左移动的加速度为a0.u就是螺旋环上每一质元绕转轴转动的线速度，若此时螺旋环转动的角速度为，则有uR(3)而a。就是螺旋环上每一质元绕转轴转动的切向加速度，若此时螺旋环转动的角加速度为，
