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1、2022年西安交通大学少年班数学试题1.已知，则的值为_.2.已知点，为轴上的一动点，为切线，已知圆半径为1，则的最小值为_.3.，为该方程两根.则的值为_.4.已知矩形,.为上一动点沿翻折，当为直角三角形时，则的周长为_.5.点有一个无人机，一个人在点观测，离点45处点有一栋建筑物高，无人机水平向右以的速度飞行（1）无人机的高度为_（2）无人机离开视线的时间为_6.为等边三角形，分别为边的中点，为上任意一点，线段交于，线段交于，求的面积7.如图，内接于，为直径，与相交于点，过作，垂足为，延长交的延长线于点，连接（1）证明：与圆相切；（2）若，求的值；（3）在（2）的条件下，若圆的半径为4，求
2、的长.8.已知函数（1）证明：函数与轴恒有交点；（2）证明：无论为何值，函数必过一定点；（3）设函数图像和轴交点为，顶点为若，将函数沿方向平移，和一定点与原顶点所连线段有交点，求平移后顶点横坐标的范围9.某大学生创业，购进共300件，设的件数的单价比的单价多6元设，的总售价分别为函数与销售件数之间是一次函数的关系，如下表：与之间的函数关系如图所示：（1）直接写出与的函数关系；（2）设销售两种商品所获利总利润为元，求与之间的函数解析式；（3）大学生引进的300件商品全部售完，共获利350元，他计划每件商品捐给学校基金分别捐元，元, 捐款数恰好为总成本的，求的值10.对于大于1的奇数, 将其平方后
3、拆分成2个相邻的整数, 这三个数为勾股数如：；对于大于2的偶数，将其除以2再平方，将平方所得数分别加减1，这三个数为勾股数，如则以这种方法，12所得的勾股数中最大的数为_11.证明：对于任意实数，求证：12证明：2022年西安交通大学少年班数学试题参考答案1、72、3、364、或65、（1）米 （2）秒6、7、（1）弦切角；（2）；（3）8、（1）；（2）前系数为0的点9、（1）10、3711、（1）设当时，根据函数的性质，有同理，对于上式也成立.12、证明：此题可以利用等式，然后对的取值情况分类讨论证出，这里，我们通过构造辅助函数来处理.作辅助函数函数具有以下性质：对任意，均有这表明，是一个以为周期的函数，又注意到对任意，中表达式内任意一项都为0，故。对任意，均有，这就是要证的结论.
