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1、2005年研究生入学考试数学一模拟试题参考答案f(x-：x)-f(x)一x、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分.把答案填在题f(x-X)-f(x)(1)解limi.X吓X=limf(x*(%：f(x*x)f(x):xP-lx-:x=：f(x)：f(x)=(hT；)f(x)x,0x0)条件收敛.n=1由条件收敛级数的所有正项与所有负项所构成的级数发散.-选(C)(10解fy2=2,fy=2yCi(x)由fy(x,0)=x=C1(x)=x2fy=2yx=f(x,y)=yxyC2(x)f(x,0)E=C2(x)=1.选(B)2.f(x,y)=yxy1(11)先考虑:(12)(13)11IH
2、ana21a32IHa2nb2IH山IIIIHIH申am2IHamnbm；列对列即可知解A行对行、选(B)选(C)由题设(X,Y)的联合分布密度f(x,y)=b0,其它1-,0xb,0yb!(min(X,Y)：Hmin(X,Y)f(X,Y)dxdy=uxgdxdy-Ily_，yxbub2b.=dyxdx=b2003o。dxdy选(C).选(B)(14)解u0已知，拒绝域只能是(A),(B),又.是单侧检验,三、解答题(本题共9小题，满分94分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)(15)(本题满分12分)2x1-1Vx1解F/sintdt令-=yx1016limfq1-usinx比xduX
3、-0xE=limlx0x,2,.11-usinxudu=lim7x1o(1-u)sinxudu2(u-1)sinxuduxdx=311-cos2xsin2x2sinx=limxPxILxx科一cos2xsin2x-2sinx/=lim方+z=17lx2x1)(16)(本题满分11分)解等式两边从0到兰积分2JinTt02(t-x)f(t)dt)dx=02cos=o2f(u)du=：*1、.6二xdxZtI=02f(t)dt(0f(t-x)dx)令uJ-t1-：a=271f(x)在.p,；上的平均值A.-2o为被第二个抛物面所排开液体体积，则(17)(本题两分12分)2_2一一解设两旋转抛物面由
4、xoy平面上两抛物线y=Ax,y=Bx+a，绕y轴旋转而成，设V2Hy-a二(H-a)2Vi=a(七)dy=2设被挤上升的液体体积为V2,则hayhay_a=h二只的一川二dy三(ha)&%3.圣广2!3!4!n!H2h2(H-a)22|LAABB,小-：(H-a)2-：(ha)2由M=V2,得一=-2B2AH2h2(H-a)2A一BB=(h心土2h十a0.-h+a=Jh2+h2故液面上升高度h+aH=Jh2h2H(18)(本题满分11分)x解(1)由题设F(x)=fof(t)dt,又(xy)=ex=xy=exclimy=lx0xe-1=F(x)=xx2nJd,e-1、d八xxx、=f(x)=
5、()=(1.)oOn=2x(n-2)!nn-2tn-1n-2=xn=2n!O0n=1nx(n1)!QO(2)即n廿n4nx(n1)!4(ex-1)xxdxxdx2!3!n!n令x=1,得=1n以n1)!(19)(本题满分12分)解(1)忆=0仁四三四n2x8(y)+2虹(y)=2x(y)+2y22%y)C!)令x=0n甲(y)+中(y)=y2代入平(y)K(y)=Wy)代入得：(P(y)+CP(y)=y2特征方程21=0,，-_i中*(y)=；y2=(1D2)y2=y22D12故(y)=Gcosyc2sinyy-2令y=0,得-2=q_2=c1=0=-(y)=c2sinyy2-2(y)=cco
6、sy2y令y=0,(0)=c2=1=(y)=sinyy2-2(y)=(y)=cosy2y故(x)=sinxx2-2(x)=cosx2xV2JIA一广，）O(0,0)jixx（项Fdx2x2（一）2x-（_）一2，o一2I=Tl(2)2侦)（20）1ai1a21a31a42a2a22a32瓦3、a3a23a33a4J1aIAa2a32a23a21a42a33a33a41乙/团一弟由于a1,a2,a3,a4两两不相等，从而网#0,于是R(A)=4,而R(A)壬3,故方程组无解当a=ak,aa4=k(k#0)时，方程组为厂.2.3x1kx2k2x3=k3即12233x1-kx2kx3-kx+kx2+
7、kx3=kxkx2+k2x3=-k3x1+k%+k2x3=k3*-kx2+k2x3=-k3R(A)=R(A)=2,导出组的基础解系所含向量个数nR(A)=32=12、匕=耳-02=0,为导出组的基础解系，故原方程组的通解一-们1+kJJ一20,(k为任意常数).-2(21) (本题满分9分)解丁A为正定矩阵，.对任意的n维非零列向量x,有xTAx0,设三m个常数ki,kj|,km，使kiXik2X2山kmXm=0两边左乘以A,得k1Ax1-k2Ax2，山,kmAxm=0两边左乘以x=1,2j|m),由题设xAxj=0,(i=j)=旧以入=0由于xTAxa0,则ki=0(i=1,2,|l|m)故
8、x1,x2,|.|,xm线性无关。(本题满分9分)解-V123456110000036212000036362213000363636222140036363636222215036363636362222216363636363636(2)X与Y的边缘分布律为x1234561117511P36436361236y1234561157111P36123636436111751191EX=仆+2x+3乂+4乂+5乂一+6乂3643636123636222555D(X)-，X2-(EX)2=12961612555同理可得：|：丫=也，。丫=竺史361296(23)(本题满分9分)解由题设s可知区域D的面积S=2,于是(x,y)的联合分布密度为0.5,0壬x1,0壬y2f(x,y)=0,其它i-Z=；min(x,y)=0.5xdxdy110.5ydxdyDid2121x=(dx0.5xdy+；dx00.5ydy1xdx2_5_.P一12Z2=0.5x2dxdy-Ii0.5y2dxdyDid21221121=0.5xdxLdy+0.50dx0ydy=-DZ-Z2_EZ2=1-4121441=0.5x(2-x)dx0.5q21313=0.5Ix-一xx3611pf(t)dt(of(u)du)=j(of(u)du)242cos1-3=1(2f(u)du)2=3-
