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1、第十章第十章 定积分应用定积分应用0 xya y=f (x)bx+dxx5/14/20221a 定积分概念的出现和发展都是由实际问题引起和定积分概念的出现和发展都是由实际问题引起和推动的。因此定积分的应用也非常广泛。本书主要介推动的。因此定积分的应用也非常广泛。本书主要介绍几何、物理上的应用问题，例如：平面图形面积，绍几何、物理上的应用问题，例如：平面图形面积，曲线弧长，曲线弧长，旋转体体积，水压力，抽水做功，引力等。旋转体体积，水压力，抽水做功，引力等。第一节第一节 定积分的元素法定积分的元素法一、问题的提出一、问题的提出 如何应用定积分解决实际问题如何应用定积分解决实际问题_微元法：微元法
2、：5/14/20222a回顾回顾 曲边梯形面积曲边梯形面积 A 的计算过程：的计算过程：把区间把区间a, b分成分成n个小区间个小区间, 有有总量总量A 对于对于a, b具有区间可加性具有区间可加性,计算计算 Ai的近似值的近似值得得A的的近似值近似值(1) 分割分割.(2) 近似近似.(3) 求和求和.(4) 求极限求极限.n个部分量个部分量Ai 的和的和.ab0 xyy = f (x)即即A可以分割成可以分割成5/14/20223a 把上述步骤把上述步骤略去下标略去下标，改写为：，改写为：(1) 分割分割.(2) 近似近似.(3) 求和求和.(4) 求极限求极限.计算计算 A的近似值的近似
3、值x x+dx这种方法通常称为这种方法通常称为微元法微元法或或元素法元素法面积微元面积微元用用 A表示表示x, x+dx上的小上的小曲边梯形的面积，曲边梯形的面积，取微元取微元 任取一个具有任取一个具有代表性代表性的小区间的小区间 x, x+dx (区间微元区间微元)，5/14/20224a1.若总量若总量U非均匀分布在变量非均匀分布在变量 x的某个区间的某个区间a, b上上;2.总量总量U有可加性有可加性. (1) 求微元求微元 局部近似得局部近似得 dU = f (x)dx(2) 求全量求全量 微元积分得微元积分得应用方向：应用方向：平面图形的面积；体积；平面曲线的弧长；平面图形的面积；体
4、积；平面曲线的弧长；功；水压力；引力和平均值等功；水压力；引力和平均值等可用微元法的条件可用微元法的条件步骤5/14/20225a(1) 整体问题转化为局部问题；整体问题转化为局部问题；(2) 在局部范围内，以常代变，以直代曲；在局部范围内，以常代变，以直代曲；微元法的实质微元法的实质(3) 取极限取极限 (定积分定积分) 由近似值变为精确值。由近似值变为精确值。5/14/20226a例例1.写出长为写出长为 l 的非均匀细直棒质量的积分表达式，的非均匀细直棒质量的积分表达式，任一点的线密度是长度的函数。任一点的线密度是长度的函数。解解:建立坐标如图建立坐标如图,oxlx x+dx设任意点设任
5、意点x的密度为的密度为step1.step2. 下面用微元法讨论定积分在几何，物理中的下面用微元法讨论定积分在几何，物理中的一些应用。一些应用。微元法微元法 (Element Method)5/14/20227a第二节 定积分在几何上的应用一、平面图形的面积一、平面图形的面积二、体积二、体积三、平面曲线的弧长三、平面曲线的弧长5/14/20228a平面图形的面积一、直角坐标系情形一、直角坐标系情形二、极坐标系情形二、极坐标系情形三、小结三、小结 思考题思考题5/14/20229a曲边梯形的面积曲边梯形的面积由由y=f1(x)和和y=f2(x)围成的面积围成的面积:一、直角坐标系情形5/14/2
6、02210a解解3) 面积元素面积元素2) 选选x为积分变量为积分变量,解方程组解方程组即这两个抛物线的交点为：即这两个抛物线的交点为：x x+dx1) 求出两抛物线的交点求出两抛物线的交点.5/14/202211a讨论：讨论：由左右两条曲线由左右两条曲线x 左左(y)与与x 右右(y)及上下两条直线及上下两条直线y d与与y c所围成的平面图形的面积所围成的平面图形的面积如何表示为定积分？如何表示为定积分？提示：提示： 面积为面积为面积元素面积元素dA= 右右(y) 左左(y)dy, ,选积分变量选积分变量,5/14/202212a5/14/202213a解解两曲线的交点两曲线的交点选选 为
7、积分变量为积分变量y+dyy5/14/202214a如果曲边梯形的曲边为参数方程如果曲边梯形的曲边为参数方程曲边梯形的面积曲边梯形的面积5/14/202215a解解椭圆的椭圆的参数方程参数方程由对称性知总面积等于由对称性知总面积等于4倍第一象限部分面积倍第一象限部分面积5/14/202216a ( ) +d .dA.r = ( )o.r d 二、极坐标系情形曲边扇形是由曲曲边扇形是由曲线线r ( )及射及射线线 , , 所所围围成的图形成的图形. .图形是曲边图形是曲边扇扇( (梯梯) )形形如何化不规则如何化不规则为规则为规则以圆扇形面积近以圆扇形面积近似小曲边扇形的似小曲边扇形的面积，得到
8、面积面积，得到面积元素：元素： 5/14/202217a ( ) +d .dA.r = ( )o.r d 面积元素面积元素以圆扇形面积近似小以圆扇形面积近似小曲边扇形面积，得到曲边扇形面积，得到面积元素：面积元素：曲边扇形的面积曲边扇形的面积 5/14/202218a例例4: 计算阿基米德螺线计算阿基米德螺线 r = a (a 0)上相应于上相应于 从从0 到到 2 的一段弧与极轴所围成的一段弧与极轴所围成的图形的面积的图形的面积.ox r = a 2 a解解: 取取极极角角 为为积积分分变变量量, 变变化化区区间间为为0, 2 , 取取小小区区间间 , + d ，则，则面积元素面积元素5/1
9、4/202219a5/14/202220a解解利用对称性知利用对称性知心形线也称圆外旋轮线心形线也称圆外旋轮线2a5/14/202221a5/14/202222a5/14/202223a求在直角坐标系下、参数方程形式求在直角坐标系下、参数方程形式下、极坐标系下平面图形的面积下、极坐标系下平面图形的面积.（注意恰当的（注意恰当的选择积分变量选择积分变量有助于简化积有助于简化积分运算）分运算）三、小结5/14/202224a立体体积一、旋转体体积一、旋转体体积二、已知截面面积的立体体积二、已知截面面积的立体体积三、小结三、小结 思考题思考题 5/14/202225a 旋转体旋转体就是由一个平面图形
10、绕这平面内一条直就是由一个平面图形绕这平面内一条直线旋转一周而成的立体这直线叫做线旋转一周而成的立体这直线叫做旋转轴旋转轴圆柱圆柱圆锥圆锥圆台圆台一、旋转体的体积5/14/202226a如何计算黄瓜的体积？如何计算黄瓜的体积？旋转体的体积为旋转体的体积为5/14/202227a解解直线直线 方程为方程为5/14/202228a直线直线 方程为方程为5/14/202229a解解星形线也称：圆内旋轮线星形线也称：圆内旋轮线5/14/202230axyoa a0 2 或或.P .一圆沿另一圆一圆沿另一圆内缘内缘无滑动地无滑动地滚动，动圆圆周上任一点滚动，动圆圆周上任一点所画出的曲线。所画出的曲线。.
11、星形线(圆内旋轮线圆内旋轮线)5/14/202231a5/14/202232a5/14/202233a5/14/202234a例例4 求椭圆求椭圆 ，分别绕，分别绕 X轴、轴、Y轴、直线轴、直线 y=-c 旋转一周所得旋转体的体积。旋转一周所得旋转体的体积。5/14/202235a解解5/14/202236a5/14/202237a5/14/202238a 如果一个立体不是旋转体，但却如果一个立体不是旋转体，但却知道该立体上垂直于一定轴的各个截知道该立体上垂直于一定轴的各个截面面积，那么，这个立体的体积也可面面积，那么，这个立体的体积也可用定积分来计算用定积分来计算.二、已知截面面积的立体的体
12、积5/14/202239axA(x)dV=A(x)dxx已知平行截面面积为已知平行截面面积为 A(x)的立体的立体.aV平行截面面积为已知的立体的体积b5/14/202240aoyRxxyRR. .y tan 问题：问题：问题：问题：还有别的方法吗？还有别的方法吗？还有别的方法吗？还有别的方法吗？(x, y),截面积截面积A(x).例例5：半径为：半径为R的正圆柱体被通过其底的直径并与底面的正圆柱体被通过其底的直径并与底面成成 角的角的平面所截，平面所截，得一圆柱楔。求其体积。得一圆柱楔。求其体积。.5/14/202241aoyRxRR方法方法方法方法2 2 2 2.半径为半径为R的正圆柱体被
13、通过其底的直径并与底面成的正圆柱体被通过其底的直径并与底面成 角的角的平面所截，平面所截，得一圆柱楔。求其体积。得一圆柱楔。求其体积。5/14/202242aoyRxRR 方法方法方法方法2 2 2 2ABCD BCDC.截面积截面积S(y) (x, y)= 2x= ytan .S(y).半径为半径为R的正圆柱体被通过其底的直径并与底面成的正圆柱体被通过其底的直径并与底面成 角的角的平面所截，平面所截，得一圆柱楔。求其体积。得一圆柱楔。求其体积。5/14/202243a hRxoxA(x)A(x)V =. . .Ry.例例6：求以半径为：求以半径为R的圆为底，平行且等于底圆的圆为底，平行且等于
14、底圆直径的线段为顶，高为直径的线段为顶，高为h的正劈锥体的体积。的正劈锥体的体积。y5/14/202244a旋转体的体积旋转体的体积平行截面面积为已知的立体的体积平行截面面积为已知的立体的体积绕绕 轴旋转一周轴旋转一周绕绕 轴旋转一周轴旋转一周绕非轴直线旋转一周绕非轴直线旋转一周三、小结5/14/202245a平面曲线的弧长一、平面曲线弧长的概念一、平面曲线弧长的概念二、直角坐标情形二、直角坐标情形三、参数方程情形三、参数方程情形四、极坐标情形四、极坐标情形五、小结五、小结5/14/202246a一、平面曲线弧长的概念5/14/202247a弧长元素弧长元素弧长弧长二、直角坐标情形5/14/2
15、02248a解解所求弧长为所求弧长为sl5/14/202249a解解所求弧长为所求弧长为5/14/202250a曲线弧为曲线弧为弧长弧长三、参数方程情形5/14/202251a解解 星形线的参数方程为星形线的参数方程为根据对称性根据对称性第一象限部分的弧长第一象限部分的弧长5/14/202252a曲线弧为曲线弧为弧长弧长四、极坐标情形5/14/202253a解解分部积分部积分法分法5/14/202254a解解5/14/202255a直角坐标系下直角坐标系下参数方程情形下参数方程情形下极坐标系下极坐标系下五、五、求弧长的公式求弧长的公式小结小结：5/14/202256a第三节 定积分的物理应用一
16、、变力、变距离作功一、变力、变距离作功二、水压力二、水压力三、引力三、引力四、小结四、小结5/14/202257a用元素法用元素法5/14/202258a建立坐标轴如上图所示建立坐标轴如上图所示,提提示示：根根据据物物理理学学, , 在在电电量量为为+q的的点点电电荷荷所所产产生生的的电电场场中中, , 距离点电荷距离点电荷r处的单位正电荷所受到的电场力的大小为：处的单位正电荷所受到的电场力的大小为： 5/14/202259a问题：问题：物体在变力物体在变力F(x)的作用下，从的作用下，从x轴上轴上a点移动到点移动到 b点，点，求变力所做的功。求变力所做的功。用元素法用元素法1）在）在a,b上考虑小区间上考虑小区间x, x+ x，在此小区间上，在此小区间上 W dW=F(x)dx 2）将）将dW从从a到到b求定积分，就得到所求的功求定积分，就得到所求的功F(x)F(x)5/14/202260aF 由由物物理理学学知知道道, , 一一定定量量的的气气体体在在等等温温条条件件下下, , 压压强强p与与体体积积V的乘积是常数的乘积是常数k , , 即即5/14/202261a解解建立坐标系如
