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1、第第3 3章章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解第三章第三章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解13.1 静电场分析静电场分析3.2 导电媒质中的恒定电场分析导电媒质中的恒定电场分析3.3 恒定磁场的分析恒定磁场的分析3.4 静态场的边值问题及解的惟一性定理静态场的边值问题及解的惟一性定理3.5 镜像法镜像法3.6 分离变量法分离变量法 静态电磁场：静态电磁场：场量不随时间变化，包括：场量不随时间变化，包括： 静电场、恒定电场和恒定磁场静电场、恒定电场和恒定磁场 时变情况下，电场和磁场相互关联，构成统一的
2、电磁场时变情况下，电场和磁场相互关联，构成统一的电磁场 静态情况下，电场和磁场由各自的源激发，且相互独立静态情况下，电场和磁场由各自的源激发，且相互独立 第第3 3章章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解23.1 静电场分析静电场分析 学习内容学习内容 3.1.1 静电场的基本方程和边界条件静电场的基本方程和边界条件 3.1.2 电位函数电位函数 3.1.3 导体系统的电容与部分电容导体系统的电容与部分电容 3.1.4 静电场的能量静电场的能量 3.1.5 静电力静电力第第3 3章章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其
3、边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解32. 边界条件边界条件微分形式：微分形式：本构关系：本构关系：1. 基本方程基本方程积分形式：积分形式：或或若分界面上不存在面电荷，即若分界面上不存在面电荷，即S S0 0，则，则或或3.1.1 静电场的基本方程和边界条件静电场的基本方程和边界条件第第3 3章章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解4介质介质2 2介质介质1 1 在静电平衡的情况下，导体内部的电场为在静电平衡的情况下，导体内部的电场为0，则导体表面的，则导体表面的边界条件为边界条件为 或或 场矢
4、量的折射关系场矢量的折射关系 导体表面的边界条件导体表面的边界条件第第3 3章章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解5由由即即静电场可以用一个标量函数的梯度来表示，静电场可以用一个标量函数的梯度来表示，标量函数标量函数 称为静称为静电场的标量电位或简称电位。电场的标量电位或简称电位。1. 电位函数的定义电位函数的定义3.1.2 电位函数电位函数第第3 3章章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解62. 电位的表达式电位的表达式对于连续的体分布电荷，由对于连续
5、的体分布电荷，由面电荷的电位：面电荷的电位： 故得故得点电荷的电位：点电荷的电位：线电荷的电位：线电荷的电位：第第3 3章章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解7u3. 电位差电位差两端点乘两端点乘 ，则有，则有将将上式两边从点上式两边从点P到点到点Q沿任意路径进行积分，得沿任意路径进行积分，得关于电位差的说明关于电位差的说明 P、Q 两点间的电位差等于电场力将单位正电荷从两点间的电位差等于电场力将单位正电荷从P点移至点移至Q 点点 所做的功，电场力使单位正电荷由高电位处移到低电位处；所做的功，电场力使单位正电荷由高电位处移
6、到低电位处； 电位差也称为电压，可用电位差也称为电压，可用U 表示；表示； 电位差有确定值，只与首尾两点位置有关，与积分路径无关。电位差有确定值，只与首尾两点位置有关，与积分路径无关。P、Q 两点间的电位差两点间的电位差电场力做电场力做的功的功第第3 3章章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解8 静电位不惟一，可以相差一个常数，即静电位不惟一，可以相差一个常数，即选参考点选参考点令参考点电位为零令参考点电位为零电位确定值电位确定值( (电位差电位差) )两点间电位差有定值两点间电位差有定值 选择电位参考点的原则选择电位参考点
7、的原则 应使电位表达式有意义；应使电位表达式有意义； 应使电位表达式最简单。若电荷分布在有限区域，通常取无应使电位表达式最简单。若电荷分布在有限区域，通常取无 限远作电位参考点；限远作电位参考点； 同一个问题只能有一个参考点。同一个问题只能有一个参考点。4. 电位参考点电位参考点 为为使使空空间间各各点点电电位位具具有有确确定定值值，可可以以选选定定空空间间某某一一点点作作为为参参考考点点，且且令令参参考考点点的的电电位位为为零零，由由于于空空间间各各点点与与参参考考点点的的电电位位差差为为确确定值，所以该点的电位也就具有确定值，即定值，所以该点的电位也就具有确定值，即第第3 3章章 静态电磁
8、场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解9 例例 3.1.1 求电偶极子的电位求电偶极子的电位. . 解解 在球坐标系中在球坐标系中用二项式展开，由于，得用二项式展开，由于，得代入上式，得代入上式，得 表示电偶极矩，方向由负电荷指向正电荷。表示电偶极矩，方向由负电荷指向正电荷。+q电偶极子电偶极子zodq第第3 3章章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解10将将 和和 代入上式，代入上式，解得解得E线方程为线方程为 由球坐标系中的梯度公式，可得到电偶极子的远区电场强度由
9、球坐标系中的梯度公式，可得到电偶极子的远区电场强度等位线等位线电场线电场线电偶极子的场图电偶极子的场图电场线微分方程电场线微分方程：等位线方程等位线方程：第第3 3章章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解11 解解 选定均匀电场空间中的一点选定均匀电场空间中的一点o为坐标原点，而任意点为坐标原点，而任意点P 的的位置矢量为位置矢量为r，则，则若若选择选择点点o为电为电位参考点，即位参考点，即 ，则则 在球坐在球坐标标系中，取极系中，取极轴轴与与 的方向一的方向一致，即致，即 ，则则有有 在在圆圆柱面坐柱面坐标标系中，取系中，
10、取 与与x轴轴方向一致，即方向一致，即 ，而，而 ，故，故 例例3.1.2 求均匀电场的电位分布。求均匀电场的电位分布。第第3 3章章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解12xyzL-L 解解 采用采用圆圆柱面坐柱面坐标标系，令系，令线电线电荷与荷与 z 轴相重合，中点位轴相重合，中点位于坐标原点。由于轴对称性，电位与于坐标原点。由于轴对称性，电位与 无关。无关。在带电线上位于在带电线上位于 处的线元处的线元 ，它，它到点到点 的距离的距离 ，则则 例例3.1.3 求长度为求长度为2L、电荷线密度为、电荷线密度为 的均匀带电
11、线的电位。的均匀带电线的电位。第第3 3章章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解13 在上式中若令在上式中若令 ，则则可得到无限可得到无限长长直直线电线电荷的荷的电电位。当位。当 时时，上式可写，上式可写为为 当当 时时，上式，上式变为变为无无穷穷大，大，这这是因是因为电为电荷不是分布在有限区荷不是分布在有限区域内，而将域内，而将电电位参考点位参考点选选在无在无穷远穷远点之故。点之故。这时这时可在上式中加上可在上式中加上一个任意常数，一个任意常数，则则有有并选择有限远处为电位参考点。例如，选择并选择有限远处为电位参考点。例如
12、，选择= a 的点为电位参的点为电位参考点，则有考点，则有第第3 3章章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解14在均匀介质中，有在均匀介质中，有5. 电位的微分方程电位的微分方程在无源区域，在无源区域，标量泊松方程标量泊松方程拉普拉斯方程拉普拉斯方程第第3 3章章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解15u6. 静电位的边界条件静电位的边界条件 设设P1和和P2是是介介质质分分界界面面两两侧侧紧紧贴贴界界面面的的相相邻邻两两点点，其其电电位位分分别为别为 1
13、和和 2。当两点间距离当两点间距离l0时时 若介质分界面上无自由电荷，即若介质分界面上无自由电荷，即导体表面上电位的边界条件：导体表面上电位的边界条件：由由 和和媒质媒质2媒质媒质1 常数，常数，第第3 3章章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解16 例例3.1.4 两块无限大接地导体平板分别置于两块无限大接地导体平板分别置于x = 0和和 x = a 处，处，在两板之间的在两板之间的 x = b 处有一面密度为处有一面密度为 的均匀电荷分布，如图所的均匀电荷分布，如图所示。求两导体平板之间的电位和电场。示。求两导体平板之间
14、的电位和电场。 解解 在两块无限大接地导体平板之间，除在两块无限大接地导体平板之间，除 x = b 处有均匀面电处有均匀面电荷分布外，其余空间均无电荷分布，故电位函数满足一维拉普拉荷分布外，其余空间均无电荷分布，故电位函数满足一维拉普拉斯方程斯方程方程的解为方程的解为obaxy两两块块无限大平行板无限大平行板第第3 3章章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解17利用边界条件，有利用边界条件，有 处，处，最后得最后得 处，处， 处，处，所以所以由此解得由此解得第第3 3章章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解
15、静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解18电容器广泛应用于电子设备的电路中：电容器广泛应用于电子设备的电路中： 在电子电路中，利用电容器来实现滤波、移相、隔直、旁在电子电路中，利用电容器来实现滤波、移相、隔直、旁 路、选频等作用；路、选频等作用； 通过电容、电感、电阻的排布，可组合成各种功能的复杂通过电容、电感、电阻的排布，可组合成各种功能的复杂 电路；电路； 在电力系统中，可利用电容器来改善系统的功率因数，以在电力系统中，可利用电容器来改善系统的功率因数，以 减少电能的损失和提高电气设备的利用率；减少电能的损失和提高电气设备的利用率； 3.1.3 导体系统的电容与部分电容导体系
16、统的电容与部分电容第第3 3章章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解19 电容是导体系统的一种基本属性，是描述导体系统电容是导体系统的一种基本属性，是描述导体系统 储存电荷能储存电荷能力的物理量。力的物理量。 孤立导体的电容定义为所带电量孤立导体的电容定义为所带电量q与其电位与其电位 的比值，即的比值，即1. 电容电容 孤立导体的电容孤立导体的电容 两个带等量异号电荷（两个带等量异号电荷（ q）的导的导 体组成的电容器，其电容为体组成的电容器，其电容为 电容的大小只与导体系统的几何尺寸、形状和及周围电介质电容的大小只与导体系统的几何尺寸、形状和及周围电介质 的特性参数有关，而与导体的带电量和电位无关。的特性参数有关，而与导体的带电量和电位无关。第第3 3章章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解20 (1) 假定两导体上分别带电荷假定两导体上分别带电荷+q 和和 -q ； (2) 计算两导体间的电场强度计算两导体间的电场强度E； 计算电容的步骤：计算
