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1、高等机构学高等机构学YSU燕山大学机械工程学院燕山大学机械工程学院n螺旋理论基础螺旋理论基础n基于螺旋理论的自由度分析原理基于螺旋理论的自由度分析原理n空间机构的位置分析空间机构的位置分析n运动影响系数原理运动影响系数原理n空间机构动力学空间机构动力学n基于约束螺旋理论的并联机构型综合基于约束螺旋理论的并联机构型综合n空间机构的奇异分析空间机构的奇异分析本门课程的主要本门课程的主要学习内容学习内容空间直线的螺旋表示空间直线的螺旋表示螺旋表示运动和作用力螺旋表示运动和作用力螺旋的相关性螺旋的相关性螺旋的相逆性螺旋的相逆性螺旋理论基础螺旋理论基础直线的矢量方程直线的矢量方程两个点：两个点：两点之间
2、的距离或直线段的长度为两点之间的距离或直线段的长度为假设：假设：L、M、N是有向线段是有向线段S的方向数，而的方向数，而l、m、n是是S的方向余弦的方向余弦，且满足且满足则直线方程可写为：则直线方程可写为：或或S0 称为矢量称为矢量 S 对原点的线矩对原点的线矩直线的矢量方程直线的矢量方程可写为行列式的形式可写为行列式的形式展开，有展开，有其中其中P、Q、R为为直线的矢量方程直线的矢量方程若若S是单位矢量是单位矢量, ，则线矩则线矩S0的模表示直线的模表示直线到原点的距离到原点的距离；若若矢量矢量S过原点，其线矩为零过原点，其线矩为零：当当S及及S0给定后，直线在空间的方向及位置都被确给定后，
3、直线在空间的方向及位置都被确定，而且它们是一一对应的定，而且它们是一一对应的；矢量矢量S与其对原点之线矩与其对原点之线矩S0是互为正交的是互为正交的：直线的矢量方程直线的矢量方程可知：可知： 决定直线的矢量方程中的两个参数决定直线的矢量方程中的两个参数S及及S0是齐次坐标是齐次坐标，标量标量 构成的构成的 S 及及 S0 依然满足直线方程依然满足直线方程表示是同一条直线。表示是同一条直线。 这种满足正交条件的齐次坐标这种满足正交条件的齐次坐标( (S ; S0) ) 表示了直线在表示了直线在空间的位置及方向，空间的位置及方向，( (S ; S0) )称为称为直线的直线的 Plcker 坐标坐标
4、。直线的直线的Plcker坐标坐标 直线的直线的 Plcker坐标坐标( (S ; S0) )中的两个矢量中的两个矢量S 和和S0 都可以都可以用直角坐标系的三个分量表示，这样用直角坐标系的三个分量表示，这样Plcker坐标的标量形式坐标的标量形式即为即为 (L, M, N ; P, Q, R )，L、M、N是有向线段是有向线段S的方向数，的方向数，P、Q、R是该线段是该线段S对原点的线矩在对原点的线矩在X、Y、Z 三轴的分量三轴的分量。 这六个量这六个量L、M、N、P、Q、R 之间存在关系式之间存在关系式 所以六个分量中只有五个是独立的所以六个分量中只有五个是独立的，在三维空间中就有在三维空
5、间中就有5 条不同方向、位置和长度的有向线段条不同方向、位置和长度的有向线段。直线的直线的Plcker坐标坐标n两两个矢量个矢量S和和S0决定了一条直线在决定了一条直线在空间的方向和空间的方向和位置位置（对偶矢量）（对偶矢量）n空间空间的一条的一条直线直线与与一一组对偶组对偶矢量矢量( (S ; S0) )有着一一对应的关系有着一一对应的关系 为过原点的直线，方向为为一条不过原点平行X 轴的空间直线且这是一条不过原点，方向为的直线直线的直线的Plcker坐标坐标直线的直线的Plcker坐标坐标直线到原点的直线到原点的距离距离 若有过原点的矢量若有过原点的矢量P垂直相交于直线垂直相交于直线( (
6、S ; S0) )，则矢量则矢量OP的的模模|P|是从原点是从原点O到直线的距离，由于矢量到直线的距离，由于矢量P的端点在直线上，的端点在直线上，即有即有将此等式两边左面叉乘将此等式两边左面叉乘S展开左边矢量的三重叉积展开左边矢量的三重叉积，有，有即即直线到原点的直线到原点的距离距离解出解出P这里这里e是单位矢量，其方向由是单位矢量，其方向由 决定，决定，这样直线这样直线S到原点的距离为到原点的距离为因为直线因为直线S与线矩相互垂直，上式可写为与线矩相互垂直，上式可写为直线到原点的直线到原点的距离距离n当当S0=0，则，则 ，直线到原点的距离为零，即，直线到原点的距离为零，即直线过原点，直线过
7、原点，此时直线的此时直线的 Plcker 坐标可写为坐标可写为可知：可知：或或n反之，若反之，若S =0，而，而 为有限值，则为有限值，则 ，此时，此时直线位于距原点无穷远的平面上，写成直线位于距原点无穷远的平面上，写成Plcker 坐坐标为标为( (0 ; S0) )。n此时对于任何选择的原点，无穷远处的一个无穷此时对于任何选择的原点，无穷远处的一个无穷小的矢量，它对原点的线矩皆为小的矢量，它对原点的线矩皆为 S0。S0与原点位与原点位置选择无关，这说明置选择无关，这说明( (0 ; S0) )为为自由矢量自由矢量。两直线的互矩两直线的互矩设空间有相错的两条直线，它们设空间有相错的两条直线，
8、它们不平行也不相交不平行也不相交若它们的公垂线矢量为若它们的公垂线矢量为 ，其中，其中 为单位矢量，为单位矢量，而其系数而其系数 是两线间的垂直距离是两线间的垂直距离，两线之间的扭向角记为两线之间的扭向角记为A、B两点是两直线间公垂线的两个垂足两点是两直线间公垂线的两个垂足 两直线的互矩两直线的互矩直线直线S2对对S1线上垂足线上垂足A 点的线矩点的线矩 与与直线直线S1的点积，称为直线的点积，称为直线S2关于关于S1的矩的矩同样，直线同样，直线S1对直线对直线S2上垂足上垂足B点的点的线矩线矩与与直线直线S2的点积，称为直线的点积，称为直线S1关于关于S2的矩的矩显然此两点积是相等的显然此两
9、点积是相等的两直线的互矩两直线的互矩两直线的互矩两直线的互矩(mutual moment)，记以，记以Mm可以看可以看出：出：两直线的互矩是由两直线两直线的互矩是由两直线Plcker 坐标的两个矢坐标的两个矢量和两线矩交换下标后的点积之和量和两线矩交换下标后的点积之和展开此式并考虑到展开此式并考虑到得到互矩的一般表达式为得到互矩的一般表达式为两直线的互矩两直线的互矩当当S1和和S2都是单位矢量时都是单位矢量时其中其中S1与与S2间的扭向角间的扭向角 的值是以的值是以 为正向，按右手螺旋方为正向，按右手螺旋方向度量向度量互矩互矩Mm还可写为还可写为则则两直线的互矩两直线的互矩若两直线的若两直线的
10、S及及S0均以标量表示均以标量表示互矩还可以写成互矩还可以写成代数式代数式互矩互矩的几种表达形式的几种表达形式两直线的互矩两直线的互矩n互矩只与两直线间的互矩只与两直线间的距离距离及及扭向角扭向角有关，与原点位置的选有关，与原点位置的选择无关，即互距与坐标系的选择无关。择无关，即互距与坐标系的选择无关。n如果如果两直线平行两直线平行，或者说两直线相交于无穷远处，或者说两直线相交于无穷远处， 则它们的互矩为零。则它们的互矩为零。n如果如果两直线相交两直线相交，其垂直距离，其垂直距离 就等于零就等于零，它们的互矩，它们的互矩也为零也为零n所以空间两直线相交于有限远处、无限远处，或说所以空间两直线相
11、交于有限远处、无限远处，或说两直线两直线共面共面，则则两直线的互矩为零两直线的互矩为零。由由互矩互矩表达式表达式 可以看出：可以看出：线矢量和螺旋线矢量和螺旋线矢量：线矢量：如果空间一个单位矢量被如果空间一个单位矢量被约束在一条方向、位置固定的直线约束在一条方向、位置固定的直线上，这个被直线约束的矢量定义为上，这个被直线约束的矢量定义为线矢量，简称线矢，也记以线矢量，简称线矢，也记以 ( (S ; S0) ) 。在前面建立的空间直线矢量方程的基础上，进一步引申在前面建立的空间直线矢量方程的基础上，进一步引申n在表示线矢量的对偶矢量在表示线矢量的对偶矢量( (S ; S0) )中中 S 是单位矢
12、量，而是单位矢量，而 S0一一般不是单位矢量般不是单位矢量n这个线矢量在空间的位置和方向，可由矢量这个线矢量在空间的位置和方向，可由矢量 S 和其上一点和其上一点矢径矢径 r 来决定。这里矢径来决定。这里矢径 r 反映在反映在“线矩线矩” S0中，即中，即 ，显然显然 S 与与 S0为正交，为正交，线矢量和螺旋线矢量和螺旋n线矢量在几何上反映了一直线在空间的方向和位置线矢量在几何上反映了一直线在空间的方向和位置。n矢量矢量 S 表示直线的方向，它与原点的位置无关；而线矩表示直线的方向，它与原点的位置无关；而线矩S0 则与原点的位置有关。若原点的位置改变，由则与原点的位置有关。若原点的位置改变，
13、由B点移点移至至A点点，而矢量而矢量 S 对点对点 A之线矩之线矩 SA则转变为则转变为线矢量和螺旋线矢量和螺旋螺旋：螺旋：原部矢量和对偶部矢量点积不为零的对偶矢量原部矢量和对偶部矢量点积不为零的对偶矢量 在在数学上定义为螺旋，数学上定义为螺旋，（也称也称旋量旋量）。记为。记为 $当当对偶矢量对偶矢量( (S ; S0) )中的两个矢量不满足矢量的正交条件，中的两个矢量不满足矢量的正交条件，则可以得到更一般的情况则可以得到更一般的情况n在表示在表示螺旋螺旋的对偶矢量的对偶矢量( (S ; S0) )中中 S 是单位矢量，而是单位矢量，而 S0一般一般不是单位矢量不是单位矢量n这样，线矢量就可看
14、成是螺旋的特殊情况，当组成螺旋的这样，线矢量就可看成是螺旋的特殊情况，当组成螺旋的两对偶矢量的点积为零时，螺旋退化为线矢量。两对偶矢量的点积为零时，螺旋退化为线矢量。n为了能够清楚地区分线矢量和螺旋，将为了能够清楚地区分线矢量和螺旋，将 的螺旋的的螺旋的对偶部矢量以对偶部矢量以 S0 标记，以表示与线矢量的区别标记，以表示与线矢量的区别线矢量和螺旋线矢量和螺旋n在螺旋的两矢量中，在螺旋的两矢量中，S与原点的选择无关，而矢量与原点的选择无关，而矢量S0 却却是与原点的位置有关。是与原点的位置有关。n当当将将原点由原点由 B 移至移至 A 时，时，螺旋螺旋 变为变为 ，依然满足依然满足将上式两边点
15、乘将上式两边点乘 S，得到，得到n虽然虽然 S0 与原点位置有关，但与原点位置有关，但 与原点的位置无关，与原点的位置无关，是原点不变量。是原点不变量。线矢量和螺旋线矢量和螺旋n螺旋的节距螺旋的节距pitch（原点不变量）（原点不变量）n如果某旋量的原级矢量如果某旋量的原级矢量S为单位矢量，为单位矢量， ，这是单，这是单位旋量位旋量，此时，此时 线矢量和螺旋线矢量和螺旋n线矢量在空间对应一条确定的直线；同样，一个旋量，线矢量在空间对应一条确定的直线；同样，一个旋量， 在空间也对应有一条确定的轴线在空间也对应有一条确定的轴线n将将S0 分解为垂直和平行于分解为垂直和平行于 S 的两个的两个分量，
16、分量， hS 和和 S0 -hS线矢量和螺旋线矢量和螺旋n其中其中 S0 hS 是垂直于是垂直于S的，这是因为的，这是因为n因此螺旋的轴线方程即是因此螺旋的轴线方程即是n由此由此线矢量和螺旋线矢量和螺旋n影响螺旋的四个因素：影响螺旋的四个因素：（1）螺旋轴线螺旋轴线的位置的位置（2）螺旋的节距）螺旋的节距（3）螺旋的方向）螺旋的方向（4）螺旋的大小）螺旋的大小n如果是单位螺旋，则只包含前三个因素如果是单位螺旋，则只包含前三个因素n螺旋可以写为螺旋可以写为线矢量和螺旋线矢量和螺旋n对于螺旋对于螺旋 ，当节距，当节距 h 变化时变化时 螺旋线矢量偶量零螺旋 若若 h=0 ，螺旋变为，螺旋变为 若若 h=， 线矢量和螺旋线矢量和螺旋n例：例： 表示什么样表示什么样的螺旋？的螺旋？ 螺旋大小螺旋大小 螺旋方向螺旋方向 螺旋节距螺旋节距 螺旋轴线螺旋轴线 表示节距为表示节距为 a，轴线过原点的，轴线过原点的螺旋螺旋线矢量和螺旋线矢量和螺旋n例：例： 表示什么样的螺旋？表示什么样的螺旋？ 螺旋大小螺旋大小 螺旋方向螺旋方向 螺旋节距螺旋节距 螺旋轴线螺旋轴线 表示节距为表示节距为1，轴线过原点的，
