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1、本文格式为Word版，下载可任意编辑高等数学基础提高二讲义1 新东方在线 考研数学网络课堂电子教材系列 强化班高数 考研高等数学（中等题+理论）讲义 主讲：汪诚义 接待使用新东方在线电子教材 第一章 函数、极限、连续 1.1 函数 （甲） 内容要点 一、函数的概念 1. 定义 y?f(x)，x?I x 为自变量，y 为因变量或称为函数值 f:x?y 为对应关系 自变量在定义域里面取值的时候，全体的函数值的全体就称为值域。 口诀（1）：函数概念五要素；对应关系最核心。 2. 分段函数（考研中用得好多） ,x?1?x2f(x)?例1： ?,x?13x?1? ?x,x?0例2：x? ?x,x?0?
2、- 1 - 新东方在线 考研数学网络课堂电子教材系列 强化班高数 ?x2,x?0?例3：max(x,x2,x3)?x,0?x?1 ?3,x?1?x 口诀（2）：分段函数分段点；左右运算要先行。 3反函数 例：y?x2 的反函数 x? 由于不单值，所以要看作 x?y y 和x?2y，它们的图像与y?x一致。 假设变更符号，写成y?x和 y? x，那么它们的图像要变。 4隐函数 F(x,y)?0 确定y与x的函数关系 有些隐函数能化为显函数，例：x?y?1，y? 另外有些隐函数那么不能化为显函数。例：ex?y221?x和y?1?x22。 ?sin(3x?2y)?5?0 二、根本初等函数的概念、性质
3、和图像 （内容自己复习参考书，这里仅举例说明其重要性） 例1：考察 limx?(x?)(x?)arctanx y?arctaxn的图像 - 2 - 新东方在线 考研数学网络课堂电子教材系列 强化班高数 例2：考察limex?0?1x2 由于lim(?x?01x2)? 指数函数y?ex的图像 ?1x2 因此limex?0?0 三、复合函数与初等函数 1. 复合函数 （i）已知f(x)，g(x)，求fg(x) （ii）已知fg(x)，g(x)，求f(x) 2. 初等函数 由根本初等函数经过有限次四那么运算或复合运算用一个表达式表示的函数 原那么上来说，分段函数不是初等函数 四、考研数学中常展现的非
4、初等函数 1用极限表示的函数 （1）y?limfn?x? n? （2）y?limf?t,x? t?x 2用变上、下限积分表示的函数 - 3 - 新东方在线 考研数学网络课堂电子教材系列 强化班高数 （1）y?F(x)? （2）y?G(x)? 那么 dydx?xaf?t?dt 其中f?t?连续，那么 dydx?f?x? ?1?2?x?x?f?t?dt 其中?1?x?，?2?x?可导，f?t?连续， ?x?f?1?x?1?x? ?f?2?x?2 口诀（3）：变限积分是函数；展现之后先求导。 五、函数的几种性质 1有界性： （i）定义：设函数y?f?x?在X内有定义，若存在正数M，使x?X都有f?x
5、?M，那么称f?x?在X上是有界的。 （ii）例：f(x)? 2奇偶性： （i）定义：设区间X关于原点对称，若对x?X，都有f?x?f?x?，那么称f?x?在 X上是奇函数。 1x在（0，1）内无界，在（1/2，1）内有界 若对x?X，都有f?x?f?x?，那么称f?x?在X上是偶函数。 （ii）图像对称性：奇函数的图象关于原点对称；偶函数图象关于y轴对称。 常用公式：?a?a?0当f为奇函数?f(x)dx?a2f(x)dx当f为偶函数?0 口诀（4）：奇偶函数常遇到；对称性质不成忘。 3单调性： （i）定义：设f?x?在X上有定义，若对任意x1?X，x2?X，x1?x2都有若对任意f?x1?
6、f?x2?f?x1?f?x2?那么称f?x?在X上是单调增加的单调裁减的；x1?X，x2?X，x1?x2都有f?x1?f?x2?f?x1?f?x2?，那么称f?x?在X上是 单调不减单调不增 （留神：有些书上把这里单调增加称为严格单调增加；把这里单调不减称为单调增加。） （ii）判别方法：在（a，b）内，若f?(x)?0，那么f(x)单调增加；若f?(x)?0，那么单调裁减。 口诀（5）：单调增加与裁减；先算导数正与负。 4周期性： - 4 - 新东方在线 考研数学网络课堂电子教材系列 强化班高数 （i）定义：设f?x?在X上有定义，假设存在常数T?0，使得任意x?X，x?T?X，都有f?x?
7、T?f?x?，那么称f?x?是周期函数，称T为f?x?的周期。 由此可见，周期函数有无穷多个周期，一般我们把其中最小正周期称为周期。 （ii）例：f(x)?sin?x(?0)周期为T?2?；f(x)?sinx2?cosx3周期为12?是 4?和6?的最小公倍数；f(x)?sin?x?sin2x不是周期函数，由于2和?没有最小公倍数。 （乙）典型例题 一、定义域与值域 ?3?x3,x?2? 【1.1函数 （乙）典型例题（1）（前）】例2求y?f?x?5?x,?2?x?2的值 ?2?1?x?2?,x?2域，并求它的反函数。 解：x?2，y?3?8?11，x?33?y， ?2?x?2，3?y?5?x?7，x?5?y， x?2，y?1?x?2?1，x?2?1?y， 2 所以y?f?x?的值域为?,1?3,7?11,? ?2?1?y,y?1? 反函数x?5?y,3?y?7 ?3?.3?y,y?11 二、求复合函数有关表达式 例1设f?x?x1?x2，求f?f?f?x?fn?x? n重复合 解：f2?x?f?f?x?x1?kx2f?x?1?f2?x?x1?x21?x221?x?x1?2x2， 若fk?x?， - 5 - 7
