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1、2019上半年辽宁教师资格高中数学学科知识与教学能力真题及答案一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分)1.下列选项中，运算结果一定是无理数的是（）A.有理数和无理数的和B.有理数与有理数的差C.无理数和无理数的和D.无理数与无理数的差参考答案：A参考解析：（1）有理数与有理数：和、差、积、商均为有理数（求商时分母不为零）。（2）有理数与无理数：一个有理数和一个无理数的和、差为无理数；一个非零有理数与一个无理数的积、商为无理数。（3）无理数与无理数：和、差、积、商可能是有理数，也可能是无理数。故本题选A。2.在空间直角坐标系中，由参数方程 （0t2）所确定的曲线的一般方程为（）参考
2、答案：B参考解析：由 可得x+y=acos2t+asin2t=a，z2=a2（2sintcost）2=4xy，所以将参数方程化为一般方程为 故选B。3.已知空间直角坐标与球坐标的变换公式为 ，则在球坐标系中，表示的图形是（）A.柱面B.圆面C.半平面D.半锥面参考答案：B参考解析： 4.设A为n阶矩阵，B是经A若干次初等行变换得到的矩阵，则下列结论正确的是（）A.|A|=|B|B.|A|B|C.若|A|=0，则一定有|B|=0D.若|A|0，则一定有|B|0参考答案：C参考解析：矩阵的初等行（列）变换有：交换矩阵的两行（列）；将一个非零数k乘到矩阵的某一行（列）；将矩阵的某一行（列）的k倍加到
3、另一行（列）上。若矩阵A经过上面三种初等变换得到矩阵B，则对应的行列式的关系依次是|A|=-|B|，|A|=k|B|，|A|=|B|。即|A|=a|B|，aR。所以|A|=0时必有|B|=0。故选C。5.已知 ，则f（1）=（）A.-1B.0C.1D.参考答案：B参考解析： 6.若矩阵有三个线性无关的特征向量，是A的二重特征根，则（）A.x=-2，y=2B.x=1，y=-1C.x=2，y=-2D.x=-1，y=1参考答案：B参考解析： 7.下列表述属于数学直观想象素养的是（）利用图形描述，分析数学问题；借助空间形式认识事物的位置关系，形态变化和运动规律；建立形与数的关系，构建数学问题直观模型，
4、探索解决问题的思路；在实际情境中从数学的视角发现问题，提出问题，分析问题建立模型。A.B.C.D.参考答案：A参考解析：直观想象是指借助几何直观和空间想象感知事物的形态与变化，利用空间形式特别是图形，理解和解决数学问题的素养。主要包括：借助空间形式认识事物的位置关系、形态变化与运动规律；利用图形描述、分析数学问题；建立形与数的联系，构建数学问题的直观模型，探索解决问题的思路。中的描述属于数学建模素养。故选A。8.下列描述为演绎推理的是（）A.从一般到特殊的推理B.从特殊到一般的推理C.通过实验验证结论的推理D.通过观察猜想得到结论的推理参考答案：A参考解析：演绎推理是从一般规律出发，运用逻辑证
5、明或数学运算，得出特殊事物应遵循的规律，即从一般到特殊的推理。归纳推理是由个别、特殊到一般的推理，通过实验结论和通过观察猜想得到结论的推理都是归纳推理。故选A。二、简答题(本大题共5小题，每题7分，共35分)9.一次实践活动中，某班甲、乙两个小组各20名同学在综合实践基地脱玉米、完成脱粒数量（千克）的数据如下：甲组：57，59，63，63，64，71，71，71，72，7575，78，79，82，83，83，85，86，86，89乙组：50，53，57，62，62，63，65，65，67，6869，73，76，77，78，85，85，88，94，96问题：（1）分别计算甲、乙两组同学脱粒数量（
6、千克）的中位数；（2分）（2）比照甲，乙两组数据，请你给出2种信息，并说明实际意义。（5分）参考解析：（1）根据中位数的定义知，甲组脱粒数量的中位数为 ，乙组脱粒数量的中位数为 。（2）甲组同学脱粒数量的平均值为（57+59+63+63+64+71+71+71+72+75+75+78+79+82+83+83+85+86+86+89）20=74.6，乙组同学脱粒数量的平均值为（50+53+57+62+62+63+65+65+67+6869+73+76+77+78+85+85+88+94+96）20=71.65。根据平均数的大小比较可知，甲组脱粒速度更快。根据两组数据的波动情况，能够看出甲组数据更
7、稳定，乙组数据波动很大。进而可知，甲组同学的脱粒能力差不多，而乙组同学脱粒能力存在很大的个体差异性。10.在空间直角坐标系下，试判定直线l1： 与直线l2： 的位置关系，并求这两条直线间的距离。(1)求f(x)和g(x)围成的平面区域的面积.(2)求0yf(x), 1x3,绕y轴旋转的体积.参考解析：11.在平面直角坐标系下，（1）三次多项式函数的图象过四个点P1（0，1），P1（1，3），P3（-1，3），P4（2，15），求该三次多项式函数的表达式；（4分）（2）设Pi（xi，yi）（i=1，2，n）是平面上满足条件x1x2xn的n个点，则由这n个点所唯一确定的多项式函数的最高次数是多少？
8、简要说明理由。（3分）/x2xn的n个点，则由这n个点所唯一确定的多项式函数的最高次数是多少？简要说明理由。（3分）参考解析：12.高中数学课程是培养公民素质的基础性课程，简述“基础性”的含义，并举例说明。参考解析：高中数学课程的基础性的具有以下几点含义。高中数学课程在课程内容上包含了数学中最基本的部分。在义务教育阶段之后，为满足需求给学生提供更高水平的数学基础，面向全体学生提供了学生现阶段学习及未来发展所需要的数学基础知识，为学生的未来发展奠定基础。高中数学课程为学生进一步学习提供了选修内容。例如，高中数学设有选修与必修课程，必修课程是为了满足所有学生的共同数学需求，选修系列课程是为了满足学
9、生的不同数学需求，它仍然是学生发展所需要的基础性数学课程。高中数学课程为学生适应未来社会生活，高等教育和职业发展等提供必需的数学基础。例如，大学阶段理工科类的学生需要更多的数学知识，而高中数学课程为大学数学的学习提供了必备的基础知识。高中数学课程也为学生学习其他学科的课程，如高中物理、化学技术等，提供了必要的知识准备。13.评价学生的数学学习应该采用多样化的方式，请列举四种不同类型的评价方式。参考解析：数学学习评价的形式多样，主要有口头测验、书面测验、开放式问题研究、活动报告、课堂观察、课后访谈、课内外作业、建立成长记录袋等。下面列举几种不同的评价方式进行阐述。口头测验，是指在教学过程中教师通
10、过与学生之间的言语互动，及时地了解学生的数学学习情况，找出问题并及时纠正。书面评语评价，教师对学生的作业或者其他活动报告所做的书面性的评价。评价形式不仅仅是分数或者等级，评语一般以鼓励为主，用以帮助学生认识与解决问题。课后访谈，是指教师通过课后与学生的沟通交流了解学生数学学习情况的-种评价方式。这种评价方式可以帮助老师更直接地了解到学生的数学学习情况建立成长记录袋，了解学生的成长经历，可以有效地帮助他们确立今后的学习目标与方向。三、解答题(本大题1题, 10分)14.设R2为二维欧式平面，F是R2到R2的映射，如果存在一个实数 ， ，使得对于任意的P，QR2，有d（F（P），F（Q） d（P，
11、Q），（其中d（P，Q）表示P，Q两点间的距离），则称F是压缩映射。设映射T：R2R2， （1）证明：映射T是压缩映射；（4分）（2）设P0=P0（x0，y0）为R2中任意一点，令Pn=T（Pn-1），n=1,2,3，证明：n时，平面点列Pn收敛，并求 。（6分）参考解析：四、论述题（本大题1小题，15分）15.函数是中学数学课程的主线，请结合实例谈谈如何用函数的观点来认识中学数学课程中的方程、不等式、数列等内容。参考解析：函数是中学数学课程的主线，同时也对应着重要的数学思想方法，就是函数与方程的思想方法。函数思想是指用函数的概念和性质去分析问题、转化问题和解决问题；方程思想是从问题的数量关系
12、入手，应用数学语言将问题中的条件转化为数学模型，包括方程、方程组和不等式、不等式组，然后通过解方程或不等式来解决问题。首先，函数与方程，中学数学课程中一元二次方程的求解问题，可以转化为对应函数的零点问题。方程是利用算术来从数量关系入手解决问题，函数是集合间的映射关系，当需要计算函数值时，可以利用方程的运算方法；在求解方程时也可以利用函数的性质和图象。例如当y=0时，函数x的值表示函数图象与x轴交点的横坐标，也就是方程的根，那么交点的数量就是方程的根的数量，也是方程的根的判别式的判别目的。其次，函数与不等式，用函数的观点来看，不等式的解集就是使函数图象y=f（x）在x轴上方或下方的x的区域。在解
13、不等式时可以借助函数的图象来理解和运算，也就是经典的线性规划问题。最后，函数与数列，等差数列的通项公式可以看作是关于首项和公差（公比）的一次函数的离散化，等差数列的前n项和公式是二次函数的离散化，等比数列的通项公式以及前n项和公式都是指数函数的离散化，因此可以将借助函数的性质来研究数列，可以通过函数图象和解析式来求得数列的某些值。五、案例分析题（本大题1小题，共20分）16.案例：下面提供的案例是教师A和教师B在方程的根与函数的零点教学中的“课堂提问”。教学环节教师A教师B概念的引入1.方程lnx+2x-6=0是否有实数根？2.在初中你是如何判断一个方程是否有实数根的？3.函数与方程之间有什么
14、关系？1.观察三组一元二次方程及其相应的二次函数，你能发现方程的根和函数图象与x轴交点之间有何关系吗？概念的学习4.怎样定义函数的零点？5，函数的零点是零吗？2.函数的零点如何定义？3.f（x）=-x2-2x+3的零点是什么？4.根据下列函数图象，判断函数有几个零点？概念的意义6.函数零点的几何意义是什么？5.函数零点的几何意义是什么？零点存在性定理的引入7.根据函数图象判断满足什么条件时函数有零点？6.观察f（x）=-x2-2x+3的图象，它在-4，-2上有零点，计算f（-4）和f（-2）的乘积，你能发现这个乘积有什么特点？在区间0，2上是否也具有这种特点？零点存在性定理的学习（教师板书：如
15、果函数y=f（x）在区间a，b上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f（a）f（b）0，那么函数y=f（x）在区间（a，b）内有零点，即存在c（a，b）使f（c）=0，这个c也就是方程f（c）=0的根）8.满足定理条件的函数零点是唯一的吗？9.满足什么条件零点唯一？依据是什么？（教师板书：如果函数y=f（x）在区间a，b上的图象是一条连续不断的一条曲线，并且f（a）f（b）0，那么函数y=f（x）在区间（a，b）内有零点，即存在c（a，b）使得f（c）=0，这个c也就是方程f（x）=0的根）7.为何要求函数的图象连续？8.能否由“函数f（x）在区间（a，b）内有零点”得到“f（a）f（b）0”？9.如果函数图象在a,b上连续，能否由“f（a）f（b）0”判断函数在区间（a，b）内零点只有一个？例题及练习、小结（略）（略）问题：（1）请对两位教师的课堂提问进行评价，并简述理由；（15分
