高等数学教学大纲

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1、本文格式为Word版，下载可任意编辑高等数学教学大纲 高等数学教学大纲 高等数学A物理计算机类专业 一、说明 （一）课程性质 高等数学A是非数学理工科本科各专业学生的一门必修的重要根基理论课，它是为培养我国社会主义现代化创办所需要的高质量特意人才服务的。它内容丰富，学时较多，既要为理工类专业后继课程供给根本的数学工具，为学生进一步学好其它数学奠定根基；又具有培养学生应用数学学识解决本专业实际问题的意识与才能的任务，因此可以说高等数学是根基中的根基。 本大纲适应物理类、计算机类专业2022级学生，在大学一年级开设 开课单位：数理与信息科学学院数学系 （二）教学目的及要求 通过本课程的学习，要使学

2、生获得：函数、极限、连续、一元函数微积分学及其应用，常微分方程，向量代数与空间解极几何，多元函数微积分学及其应用，无穷级数等方面的根本概念、根本理论和根本运算技能。 通过各个教学环节逐步培养学生以下几方面的才能：对比纯熟的根本运算才能、综合运用所学学识分析和解决实际问题的才能、数学建模及使用计算机求解数学模型的才能、初步抽象概括问题的才能、自主学习的才能以及确定的规律推理才能。使学生在掌管数学学识的同时，尽量多地理解数学思想、明晰数学方法、建立数学思维。为学习后继课程和进一步获取数学学识奠定必要的数学根基。 （三）教学内容 1.函数与极限；2.一元函数微积分学；3.向量代数和空间解析几何；4.

3、多元函数微积分学；5.无穷级数(包括傅立叶级数)；6.常微分方程等方面的根本概念、根本理论和根本运算技能。 （四）教学时数及学分 总学时:180学时，分两学期授课，每学期各90学时；总学分:25学分=10学分 （五）教学方式 （1）用“案例教学法”引入数学概念 在微积分的教学过程中,对于极限、导数、微分、不定积分、定积分、微分方程、向量、偏导数、全微分、重积分、级数、极值与最值等重要数学概念都通过不同的实例引入，以增加学生的学习兴趣和学习动力，为学生利用所学学识解决类似的实际问题奠定根基。 （2）用“议论法”开展习题课的教学 在高等数学习题课的教学过程中，提出问题，并引导大家议论问题，不但可以

4、达成释难解疑的目的，而且还能培养磨练学生的表达才能，激发学生学习热心。 （3）用“比较法”引入新的数学概念与运算 在高等数学课程的教学过程中，根据教学内容的需要，适时采用比较法引入新的数学概念与运算。这样，有利于学生消化吸收新的数学概念与运算，达成事半功倍的教学效果。 （4）适时地利用直观性教学原那么处理抽象的数学概念 在高等数学课程的教学过程中，适时地利用直观性教学原那么处理抽象的数学概念是分外重要的. 直观性教学法不但可以扶助学生理解抽象的数学概念,而且还可以扶助学生记忆,培养学生形象思维才能。 （5）高等数学教学内容的系统性和严谨性是必要的，但在教学上不能过分形式化。在讲授传统内容时，应

5、留神运用现代数学的观点、概念、方法以及术语等符号，加强与其它不同分支之间的相互渗透，不同内容之间的相互联系。淡化运算技巧训练。 二、本文 高等数学A (一) 一 函数、极限、连续（16学时） 教学要点： 集合的概念，函数的概念与运算性质、函数作图，几类特殊函数；函数的几何特性；极限的概念及其性质、计算；无穷小的对比；函数的连续与休止；初等函数的连续性，闭区间上连续函数的性质及其应用。 教学内容： 1）函数的概念及函数的奇偶性、单调性、周期性和有界性。 2）复合函数和反函数的概念。 3）根本初等函数的性质及其图形。 4）建立简朴实际问题中的函数关系式。 5）极限的概念(对极限的?-N、?-?定义

6、可在学习过程中逐步加深理解，对于给出?求N或?不作过高的要求。)，极限 四那么运算法那么及换元法那么。 6）极限存在的夹逼准那么，了解单调有界准那么，会用两个重要极限求极限。 7）无穷小、无穷大以及无穷小的阶的概念。等价无穷小求极限。 8）函数在一点连续和在一个区间上连续的概念，休止点的概念，判别休止点的类型。 9）初等函数的连续性和闭区间上连续函数的性质(介值定理和最大、最小值定理)。 二 一元函数微分学（28学时） 教学要点： 导数和微分的概念，导数的四那么运算及其复合运算，初等函数的导数计算，一阶微分形式不变性；五个微分中值定理；洛必达(LHospital)法那么，用导数判断函数的单调性

7、、极值与最值、凹凸性与拐点、曲率；函数作图。 教学内容： 1）导数和微分的概念，导数的几何意义及函数的可导性与连续性之间的关系。用导数描述一些物理量。 2）导数的四那么运算法那么和复合函数的求导法，掌管根本初等函数、双曲函数的导数公式。了解微分的四那么运算法那么和一 阶微分形式不变性。 3）高阶导数的概念与计算。 4）初等函数一阶、二阶导数的求法。 5）隐函数和参数式所确定的函数的一阶、二阶导数；反函数的导数。 6）罗尔(Rolle)定理和拉格朗日(Lagrange)定理，柯西(Cauchy)定理和泰勒(Taylor)定理。 7）洛必达(LHospital)法那么求不定式的极限。 8）函数的极

8、值概念，用导数判断函数的单调性和求极值的方法。较简朴的最大值和最小值的应用问题。 9）用导数判断函数图形的凹凸性，拐点，函数的图形(包括水平和铅直渐进线)。 10）有向弧与弧微分的概念。曲率和曲率半径的概念并会计算曲率和曲率半径。 11）求方程近似解的二分法和切线法。 三 一元函数积分学（30学时） 教学要点： 原函数与不定积分的概念及性质，不定积分的根本公式、换元法和分部积分法。定积分的概念及性质，可积条件，牛顿 (Newton)-莱布尼兹(Leibniz)公式与定积分的计算。定积分的物理应用与几何应用。 教学内容： 1）原函数与不定积分的概念及性质。 不定积分的根本公式、换元法和分部积分法

9、。 2) 定积分的概念及性质，可积条件。有理函数的积分。 3) 变上限的积分作为其上限的函数及其求导定理，牛顿(Newton)-莱布尼兹(Leibniz)公式。 4) 定积分的换元法和分部积分法。 5) 广义积分的概念以及广义积分的换元法和分部积分法。 6) 定积分的近似计算法(矩形法、梯形法和抛物线法)。 7) 用定积分表达一些几何量与物理量(如面积、体积、弧长、功、引力等)的方法。 四 向量代数与空间解析几何(16学时) 教学要点： 向量的概念及其表，向量的运算；平面的方程和直线的方程及其求法，曲面方程。 教学内容： 1）空间直角坐标系。 2）向量的概念及其表示，向量的运算(线性运算、数量

10、积、向量积、混合积)，两个向量垂直、平行的条件。 3）单位向量、方向余弦、向量的坐标表达式以及用坐标表达式举行向量运算的方法。 4）平面的方程和直线的方程及其求法，利用平面、直线的相互关系解决有关问题。 5）曲面方程的概念， 常用二次曲面的方程及其图形， 以坐标轴为旋转轴的旋转曲面及母线平行于坐标轴的柱面方程。 6) 空间曲线的参数方程和一般方程。 7) 曲面的交线在坐标平面上的投影。 高等数学A (二) 五 多元函数微分学(18学时) 教学要点： 多元函数的概念，极限与连续性的概念；偏导数和全微分的概念及其与连续的关系，计算；链式法那么；高阶导数；隐函数的导数，微分法的几何应用；多云函数极值

11、的概念及其计算。 教学内容： 1）多元函数的概念。 2）二元函数的极限与连续性的概念，以及有界闭区域上连续函数的性质。 3）偏导数和全微分的概念，了解全微分存在的必要条件和充分条件，了解一阶全微分形式的不变性。 4）方向导数与梯度的概念及其计算方法。 5）复合函数一阶偏导数的求法， 复合函数的二阶偏导数。 6）隐函数(包括由两个方程组成的方程组确定的隐函数)的偏导数。 7）曲线的切线和法平面及曲面的切平面与法线 方程的求法。 8）多元函数极值和条件极值的概念， 二元函数的极值。 条件极值的拉格朗日乘数法， 一些较简朴的最大值和最小值 的应用问题。 六 多元函数积分学（32学时） 教学要点： 二

12、重积分、三重积分的概念及其性质；二重积分、三重积分的计算；曲线积分与曲面积分的概念、性质与计算；格林(Green)公式、高斯(Guass)、斯托克斯(Stokes)公式。各类积分的几何应用与物理应用。 教学内容： 1）二重积分、三重积分的概念， 重积分的性质。 2）二重积分的计算方法(直角坐标、极坐标)， 三重积分的计算方法(直角坐标、柱面坐标、球面坐标)。 3）两类曲线积分的概念，了解两类曲线积分的性质及两类曲线积分的关系。 4）会计算两类曲线积分。 5）格林(Green)公式，平面曲线积分与路径无关的条件。 6）两类曲面积分的概念及高斯(Guass)、斯托克斯(Stokes)公式并会计算两

13、类曲面积分。 7）散度、旋度的计算公式。 8）重积分、曲线积分及曲面积分求一些几何量与物理量(如体积、曲面面积、弧长、质量、重心、转动惯量、引力、功等)。 七 无穷级数（22学时） 教学要点： 无穷级数收敛、发散以及和的概念，无穷级数根本性质；正项级数的审敛法；条件收敛与十足收敛的概念及其判别；幂级数的概念与性质、和函数的性质；初等函数的幂级数开展；近似计算；付利叶级数的概念、性质，函数的三角级数开展。 教学内容： 1）无穷级数收敛、发散以及和的概念，无穷级数根本性质及收敛的必要条件。 2）几何级数和p-级数的收敛性。 3）正项级数的对比审敛法，正项级数的比值审敛法。 4）交织级数的莱布尼兹定

14、理，交织级数的截断误差的估计。 5）无穷级数十足收敛与条件收敛的概念以及十足收敛与收敛的关系。 6）函数项级数的收敛域及和函数的概念。 7）对比简朴的幂级数收敛区间的求法(区间端点的收敛性可不作要求)。 8）幂级数在其收敛区间内的一些根本性质。 9）函数开展为泰勒级数的充分必要条件。 10）e，sinx，cosx，ln(1?x)和(1?x)的马克劳林(Maclaurin)开展式，一些简朴函数的幂级数开展。 11）幂级数在近似计算上的简朴应用。 12）函数开展为傅里叶(Fourier)级数的狄利克雷(Dirichlet)条件，定义在(?，?)和(?l，l)上函数的傅里叶级开展，定义 x?在(0，l)上函数开展为正弦或余弦级数。 八 常微分方程（18学时） 教学要点： 微分方程、解、阶、通解、初始条件和特解等概念，一阶微分方程的求解；二阶线性微分方程解的布局，二阶常系数齐次线性微分方程的通解与特解的求解。应用。 教学内容： 1）微分方程、解、阶、通解、初始条件和特解等概念。 2）变量可分开的方程及一阶线性方程的解法。齐次方程和伯努利(Ber