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1、本文格式为Word版，下载可任意编辑高等数学 A 自测自检题解答提示 第 10 章 重积分 高等数学A 自测自检题解答提示 第10章 第10章 重积分 第一片面：必做题 一、填空、选择题 1设I?Df(x,y)dxdy,D?(x,y)|a2?x2?y2?b2,0?a?b，将其化为极坐标系下的累次积分为 b? 2?0d?f(?cos?,?sin?)?d? a2若积分区域D:x2?y2?1, 那么 ?(x?siny?3)d? 3 D 提示：由于积分区域D关于x轴和y轴对称，因此 ?xd?0，?sinyd?0，所以 DD?(x?siny?3)d?3d?3?d?3? DDD 3若积分区域D:x2?y2
2、?1,y?0， 那么 xxye?D2?y2d? 0 xxye?D2 提示：积分区域D关于y轴对称，而被积函数关于变量x是奇函数，因此 ?y2d?0 4旋转抛物面z?x2?y2被平面z?1所截片面曲面的面积等于 提示：所截片面曲面在xoy坐标平面上的投影区域为 ?5?65?1 ?Dxy?(x,y)|x2?y2?1?(?,?)|0?2?,0?1?， 因此所求的面积为 Dxy?1?2x?2y?dxdy?d?1?4?2?d?=00222?1?6?55?1 ?5. 设平面区域D由x?0,y?0,x?y?3133,x?y?1围成，记I1?x?y?dxdy，I2?ln(x?y)?dxdy， 4DDI3?si
3、n(x?y)?dxdy，那么I1,I2,I3的大小依次为 B DA I1?I2?I 3 B I2?I3?I1 C I1?I3?I2 D I3?I1?I2 提示：由于 6设 1?x?y?1，因此ln(x?y)?0，而sin(x?y)?0，故I2?0,I1?0,I3?0，选B 4?xyzdxdydz，其中?：0?x?2,1?y?2,0?z?1，那么其积分值为 A ?2A 1 B 2 C 提示： 11 D 26?xyzdxdydz 2?20xdx?ydy?z2dz?1 1021第 1 页 共 5 页 高等数学A 自测自检题解答提示 第10章 二、计算题 1计算 D提示：积分区域D关于y轴对称，所以
4、?(2x?y)dxdy，D:由y?1,x?y?2?0与x?y?2?0所围区域 ?(2x?y)dxdy?2xdxdy?ydxdy?0?ydxdy?ydxdy?dy?DDDDD122?yy?2ydx?2 32求 ?Dy?x2dxdy, D：x?1,x?1,y?1及x轴所围区域 提示：积分区域D分为两个片面D=D1+D2，其中 ?1?x?1?1?x?1D1:?2， D2:? 2?x?y?1?0?y?x因此 ?Dy?x2dxdy?y?x2?dxdy?x2?y?dxdy D1D22 113计算 sinxd?，D：y?x，x?1及x轴所围区域 ?xD1xsinx1sinxx1sinx1sinxd?dxdy
5、?dxdy?xdx?sinxdx?1?cos1 ?000000xxxxD提示：这个积分只能化为先y后x的二次积分，即 假设将?Dsinxd?化为先x后y的二次积分，那么无法积分 x ?x4计算?eD2?y2d?，D：1?x2?y2?4,y?0 提示：化为极坐标形式： ?2? D:?1?2?eD?x2?y2d?d?e?d?e?1?e?2? 22?2?1 5计算 ?Dy222，D：x?y?2x所围的区域 dxdy2x提示：化为极坐标形式： ?D:?2 2?0?2cos?2cos?y222dxdy?d?tan?d? ?2?0?x2D第 2 页 共 5 页 高等数学A 自测自检题解答提示 第10章 1
6、206变更二次积分 ?dy?1?yyf(x,y)dx的积分次序 11?10?y?0?x?x?1D:D:提示：积分区域为D:?，（作图），转换为，其中， D?D?D221?2?212?y?x?1?y?0?y?x?0?y?1?x因此 7用极坐标求 ?1120dy?1?yyf(x,y)dx?dx?f(x,y)dy?1dx?02120x11?x0f(x,y)dy ?dx?0x0x2?y2dy ?0?x?1?0?提示：积分区域为D:?，（作图），转换为极坐标形式D:?，因此 40?y?x?0?sec?8求 10dx?x?0x?ydy?4dx?022sec?0?2d?16?22?ln?2?1 ?Dx2?y
7、2?yd?，D:x2?y2?4,?x?1?y2?1所围区域 ?提示：积分区域关于x轴对称，设D表示D位于x轴上方的片面，那么 ?Dx2?y2?yd?x2?y2d?yd?2?x2?y2d? + 02?x2?y2d? D?DD0D0把D表示为极坐标形式DD1+D2，其中 ?0?D1:? ， D2:?2 2?2cos?2?0?2因此 ?Dx2?y2?yd?2?x2?y2d?2?x2?y2d? D1D2?2 ?20d?d?2?d?2d? 3?2cos?0222?232 9三、计算题（三重积分） 1. 求 ?xydv，?:x?y?z?1及坐标平面所围区域. ?0?x?1(x,y)?D:?xy?提示：积分
8、区域?表示为?:?0?y?1?x ?0?z?1?x?y?第 3 页 共 5 页 高等数学A 自测自检题解答提示 第10章 因此 ?11?x1?x?y1?x?y1?xdxydydz? ?xydxdydzxydv?0?0?0?0?24?Dxy?2求 22?,:x?y?1及z?0,z?1所围区域 zdv?提示：被积函数实际上是一个一元函数，考虑化为先（对xy的）二重积分后定积分而?被平面z?z所截的 1?(x,y)?Dz1截面是圆盘Dz:x?y?1，因此?:?，所以?zdv?zdz?dxdy? 02?0?z?1Dz?22 3求 222?，:x?y?z?1,z?0. (x?2)dxdydz?提示：由于
9、积分区域?关于yoz坐标平面对称，因此 ?(x?2)dxdydz?xdxdydz?2dxdydz0?14432?1? 2dxdydz2dxdydz?233? 4求z?x2?y2和z?x2?y2所围立体体积 提示：设所围成的立体为?，那么可用柱坐标表示为 ?0?2?:?0?1 ?2?z?因此所围立体体积为 2?1?dv?d?d?2dz?00?6? 其次片面：选做题 1. 化以下和的极限为二重积分: lim?n?i?1nn 22n?in?j?j?1?n提示：把所给的极限式作恒等变形，得到 nnn11lim?lim? ?2222n?n?i?1j?1?n?i?n?j?i?1j?1?i?j?n1?1?n
10、?n?nn只要找到某个函数f(x,y)，使它在某个平面区域D上的二重积分恰好等于上述极限即可为此考虑函 数f(x,y)?1，(x,y)?D?0,1?0,1?（留神比较这个函数式与上述极限式中的分式的 (1?x)(1?y2)关系）这个f(x,y)在D上可积因此 ?f(?f(x,y)d?lim?D?0k?1mk,?k)?k 第 4 页 共 5 页 高等数学A 自测自检题解答提示 第10章 取直线网 x?2ij,y?,i,j?1,2,?,n?1 nn111?ij?,?作为?k,?k?，那么?k?2，因此 nnn?nn?nnnn11?ij?1f?,?2?lim? 22n?nnnn?i?1j?1?i?j
11、?1?1?n?n?（这时m?n）并且依次取小正方形的顶点?f(?f(x,y)d?lim?D?0k?1nnmk,?k)?klim?n?i?1j?1所以lim n1d?，D?0,1?0,1? ?2?22n?(1?x)(1?y)n?in?j?i?1j?1?D2. 若平面z?a,z?b将球x2?y2?z2?4体积三等分求a,b 提示：鲜明b?a，设球体位于平面z?a之上的片面为?，体积为V，那么V?222?(x,y)?Dz?(x,y)|x?y?4?z?:? ?a?z?232?将?表示为 9那么 22321?16?V?dv?dz?dxdy?4?z2?dz?4a?a3?，因此3a3?36a?16?0 aa93?3?Dz3. 求?zdv，?:x2?y2?z2?2,z2?x2?y2,z2?3x2?3y2,z?0 ?提示：积分区域可用球坐标表示为 ?0?2?:? 3?4?0?r?2 所以 23d?d?rcos?rsin?dr zdv?
