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1、本文格式为Word版，下载可任意编辑高等传热学作业 第一章 1-4、试写出各向异性介质在球坐标系(r、?、?)中的非稳态导热方程，已知坐标为导热系数主轴。 解：球坐标微元操纵体如下图： 热流密度矢量和傅里叶定律通用表达式为： ?T?1?T?1?T?q?k?T?kri?k?j?k?k （1-1） ?rr?rsin?根据能量守恒：Ein?Eg?Eout?Est ?q?q?qr?T2?dr?d?d?qr2sin?drd?d?cprsin?drd?d? （1-2） ?r?t?导热速率可根据傅里叶定律计算： qr?kr?Trd?rsin?d? ?tk?Tq?dr?rsin?d? （1-3） r?q?Td
2、r?rd? rsin?k?将上述式子代入（1-4-3）可得到 k?T?k?T?T(kr?r2)dr?d?sin?d?(sin?)dr?d?rd?(?)dr?rd?d?r?r?r?rsin?T2?qr2sin?drd?d?cprsin?drd?d?(1?5)?t对于各向异性材料，化简整理后可得到： k?k?kr?2?T?T?2T?T （1-6） (r)?(sin?)?q?cp22222r?r?rrsin?rsin?t其次章 2-3、一长方柱体的上下外观(x=0，x=)的温度分别保持为t1和t2，两侧面(y?L)向温度为t1的周边介质散热，外观传热系数为h。试用分开变量法求解长方柱体中的稳态温度场
3、。 解：根据题意画出示意图： （1）设?t?tf,?1?t1?tf,?2?t2?tf，根据题意写出以下方程组 ?2?2?2?0?2?x?y?x?0?1?x?2?y?0?0?y?h?0?y?L?y?（2-1） 解上述方程可以把分解成两片面?I和?两片面分别求解，然后运用叠加原理?I?得出最终温度场，一下为分解的?I和?两片面： ?2?I?2?I?2?0?2?x?y?x?0?I?1? x?I?2?I?y?0?0?y?y?L?I?h?I?0?y?（2）首先求解温度场?I ?2?2?0?22?x?y?x?0? ?x?0?y?0?0?y?y?L?h?0?y?用分开变量法假设所求的温度分布?I(x,y)可
4、以表示成一个x的函数和一个y的函数的乘积，即 ?I(x,y)?X1(x)Y1(y) （2-2） d2X1d2Y1X1Y12将上式代入?I的导热微分方程中，得到，即，上式Y?X?0?1122dxdyX1Y1等号左边是x的函数，右边是y的函数，只有他们都等于一个常数时才可能成立，记这个常数为?。由此得到一个待定常数的两个常微分方程 2d2X12 ?X1?02dx解得 d2Y12?Y1?0 （2-3） 2dy X1(x)?Ach(?x)?Bsh(?x) （2-4） Y1(y)?Ccos(?y)?Dsin(?y) （2-5） 把边界条件y?0,?I?0代入（2-3-4）得到A=0，所以有 ?y X1(
5、x)?Bsh(?x) （2-6） 把边界条件y?L,?I?0代入（2-3-5）得到D=0，所以有 ?y Y1(y)?Ccos(?y) （2-7） 把边界条件y?L,?I?h?I?0联立（2-3-7）得到 ?y cot(?L)?LhL/? （2-8） 设?L?,hL/?Bi，那么有cot(?)?/Bi，这个方程有无穷多个解，即常数有无穷多个值，即?n(n?1,2,3?)，所以对应无穷多个?，即?n(n?1,2,3?)，所以有 Y1(y)?Cncos(?ny) （2-9） 联立（2-3-6）可得 ?I(x,y)?Kncos(?ny)sh(?nx) （2-10） n?1?把边界条件x?,?I?2代入
6、上式可得 解得 Kn?其中?n?nL ?L0?2cos(?ny)dy?Knsh(?n?)cos2(?ny)dy （2-11） 0L2?2sin(?n) （2-12） sh(?n?/L)sin(?n)cos(?n)?n?I(x,y)?2?2sin?(n)?cos(ny)sh(nx) （2-13） nn()cos?(n)?nLLn?1sh(?n?/L)si?（3）求解温度场? 与解?I一样用分开变量法，假设所求温度分布?(x,y)可以表示成一个x的函数和一个y的函数的乘积 ?(x,y)?X2(x)Y2(x) （2-14） d2X2d2Y2X2Y2将该式子代入?的导热微分方程中得到Y2?2X2?0，
7、即?2，由2dxdyX2Y2此可得到两个常微分方程 d2X2?X2?0 （2-15） dx2d2Y22 ?Y2?0 （2-16） 2dy解式（2-3-15）时根据x的边界条件可以把解的形式写为 X2(x)?Ach?(?x)?Bsh?(?x) （2-17） 把边界条件x?,?0代入上式，得到A=0，所以有 X2(x)?Bsh?(?x) （2-18） 其中?nL?n,cot(?n)?n/Bi ?I(x,y)?kncos(?ny)sh?n(?x) （2-19） n?1?把边界条件x?0,?1代入上式可得 ?L0?1cos(?ny)dy?Knsh?n(?x)cos2(?ny)dy （2-20） 0L
8、Kn?2?1sin(?n) （2-21） sh(?n?/L)sin(?n)cos(?n)?n ?(x,y)?2?1sin(?n)?cos(ny)shn(?x) （2-22） ?n)cos(?n)?nLLn?1sh(?n?/L)sin(（4）最终求得稳态温度场 ?(x,y)?I(x,y)?(x,y) ?2?2sin(?n)?cos(ny)sh(nx)?LLn?1sh(?n?/L)sin(?n)cos(?n)?n? 2?1sin(?n)?cos(ny)shn(?x)LLn?1sh(?n?/L)sin(?n)cos(?n)?n 2-5、地热换热器是管中滚动的流体与周边土地之间的换热，可应用于热能的储存、地源热泵等工程实际。一种布置方式是把管子埋设在垂直于地面的钻孔中。由于管子的长度远大于钻孔的直径，可把管子的散热简化为一个有限长度的线热源。当运行的时间足够长以后，系统可以达成根本稳定的状态。设土地是平匀的半无限大介质，线热源单位长度的发热量为ql，地外观的温度平匀，维持为t0。使用虚拟热源法求解土地中的稳态温度场。 解：根据题意画出示意图如下： 5
