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1、本文格式为Word版，下载可任意编辑高等代数试题 第一章 多项式 1.1一元多项式的定义和运算 1设f(x),g(x)和h(x)是实数域上的多项式证明：若是 222f(x)?xg(x)?xh(x)(6) ， 那么f(x)?g(x)?h(x)?0. 2求一组得志（6）式的不全为零的复系数多项式f(x),g(x)和h(x). 3证明： 1?x?x(x?1)x(x?1).(x?n?1)?(?1)n2!n!(x?1).(x?n)?(?1)nn! 1.2 多项式的整除性 1求f(x)被g(x)除所得的商式和余式： 432f(x)?x?4x?1,g(x)?x?3x?1; ( i ) 5323(ii) f(
2、x)?x?x?3x?1,g(x)?x?3x?2; k2证明：x|f(x)必要且只要x|f(x). 3令f1(x),f2?x?,g1?x?,g2?x?都是数域F上的多项式，其中f1?x?0且 g1?x?g2?x?|f1?x?f2?x?,f1?x?|g1?x?.证明：g2?x?|f2?x?. 42m,p,qxx?mx?14实数得志什么条件时多项式能够整除多项式?px?q. nn5设F是一个数域，a?F.证明：x?a整除x?a. 6考虑有理数域上多项式 f?x?x?1?k?n?2x?x?1?k?n?1?2x?x?1?, kn这里k和n都是非负整数证明： xk?1|?x?1?f?x?x?1?nd7证明
3、：x?1整除x?1必要且只要d整除n. k?n?1. 1.3 多项式的最大公因式 1. 计算以下各组多项式的最大公因式： 43232( i ) f?x?x?3x?x?4x?3,g?x?3x?10x?2x?3; 4322(ii) f?x?x?(2?2i)x?(2?4i)x?(?1?2i)x?1?i,g?x?x?(1?2i)x?1?i. 2. 设f?x?d?x?f1?x?,g?x?d?x?g1?x?.证明：若(f?x?,g?x?)?d?x?,且f?x?和 g?x?不全为零，那么(f1?x?,g1?x?)?1;反之，若(f1?x?,g1?x?)?1,那么d?x?是f?x?与g?x?的一个最大公因式
4、3. 令f?x?与g?x?是Fx的多项式，而a,b,c,d是F中的数，并且 ad?bc?0 证明： (af?x?bg?x?,cf?x?dg?x?)?(f?x?,g?x?). 4 证明： （i）(f,g)h是fh和gh的最大公因式； （ii）(f1,g1)(f2,g2)?(f1f2,f1g2,g1f2,g1g2), 此处f,g,h等都是Fx的多项式。 4324325 设f?x?x?2x?x?4x?2,g?x?x?x?x?2x?2都是有理数域 Q上的多项式。求u?x?,v?x?Qx使得 f?x?u?x?g?x?v?x?(f?x?,g?x?). 6 设(f,g)?1,令n是任意正整数，证明：(f,g
5、n)?1由此进一步证明，对于任意正整数m,n，都有(fm,gn)?1. 7 设(f,g)?1证明： (f,f?g)?(g,f?g)?(fg,f?g)?1. 8 证明：对于任意正整数n都有(f,g)n?(fn,gn). 9 证明：若是f(x)与g(x)互素，并且f(x)与g(x)的次数都大于0，那么 v(x)定理2.3.3里的u(x)与v(x)可以如此选取，使得u(x)的次数低于g(x)的次数， 的次数低于f(x)的次数，并且这样的u(x)与v(x)是唯一的。 2210 抉择k，使x?(k?6)x?4k?2与x?(k?2)x?2k的最大公因式是一 次的。 11 证明：假设(f(x),g(x)?1
6、那么对于任意正整数m， ?f?x?,g?x?1 mm12 设f(x),g(x)是数域P上的多项式,f(x)与g(x)的最小公倍式指的是 Px中得志以下条件的一个多项式m(x)： ?a?f(x)|m(x)且g(x)|m(x)； ?b? 假设h(x)?Px且f(x)|h(x),g(x)|h(x)，那么m(x)|h(x). ?i? 证明：Px中任意两个多项式都有最小公倍式，并且除了可能的零次因式 的区别外，是唯一的。 ?ii? 设f(x),g(x)都是最高次项系数是 1的多项式，令?f(x),g(x)?表示f(x)和 g(x)的最高次项系数是1的那个最小公倍式,证明 f?x?g?x?f?x?,g?x
7、?f?x?,g?x? 13 设g(x)|f1(x)?fn(x)并且(g(x),fi(x)?1,i?1,2,?,n?1证明： g(x)|fn(x). 14 设f1(x),f2(x),?,fn(x)?Px证明： ?i?f1?x?,f2?x?,?fn?x?f1?x?,f2?x?,?fk?x?,?fk?1?x?,?,fn?x?,1?k?n?1. ?ii?f1(x),f2(x),?,fn(x)互素的充要条件是存在多项式 u1(x),u2(x),?,un(x)?Px 使得 f1?x?u1?x?f2?x?u2?x?fn?x?un?x?1 15 设f1(x),?,fn(x)?Px,令 I?f1?x?g1?x?
8、fn?x?gn?x?gi?x?Fx,1?i?n?. 比照定理1.4.2，证明：f1(x),?,fn(x)有最大公因式提示：假设f1(x),?,fn(x)不全为零，取d(x)是I中次数最低的一个多项式，那么d(x)就是f1(x),?,fn(x)的一个最大公因式 1.4 多项式的分解 1. 在有理数域上分解以下多项式为不成约多项式的乘积： ?i? 3x2?1; ?ii?x3?2x2?2x?1. 42. 分别在复数域，实数域，有理数域上分解多项式x?1为不成约因式的乘 积. 3. 证明： g2(x)|f2(x)当且仅当g(x)|f(x). 4. ?i? 求 f?x?x5?x4?2x3?2x2?x?1
9、在Qx内的典型分解式； ?ii? 求f?x?2x5?10x4?16x3?16x2?14x?6在Rx内的典型分解式 5.证明：数域P上一个次数大于零的多项式f(x)是Px中某一不成约多项式的幂的充分且必要条件是对于任意g(x)?Px,或者(f(x),g(x)?1,或者存在一个正整数m使得f(x)|gm(x). 6设p(x)是Px中一个次数大于零的多项式.假设对于任意 f(x),g(x)?Fx只要p(x)|f(x)g(x)就有p(x)|f(x)或p(x)|g(x)那么p(x)不成 约. 1.5 重因式 1. 证明以下关于多项式的导数的公式： ?i? ?f?x?g?x?f?x?g?x?; ?ii?
10、?f?x?g?x?f?x?g?x?f?x?g?x?. 2. 设p(x)是f(x)的导数f?(x)的k?1重因式.证明： ?i? p(x)未必是f(x)的k重因式； p(x)是f(x)的k重因式的充分且必要条件是p(x)|f(x). ?ii? 3. 证明有理系数多项式 x2xnf?x?1?x?2!n! 没有重因式. 4.a,b理应得志什么条件，以下的有理系数多项式才能有重因式？ ?i? x3?3ax?b; ?ii? x4?4ax?b. 5. 证明：数域P上的一个n次多项式f(x)能被它的导数整除的充分且必要 条件是 f?x?a?x?b?， n这里的a,b是P中的数 1.6 多项式函数 多项式的根
11、 5431设f(x)?2x?3x?5x?1,求 f(3),f(?2). 2数环R的一个数c说是f(x)?Rx的一个k重根,假设f(x)可以被(x?c)k整除,但不能被(x?c)k?1整除.判断5是不是多项式 f(x)?3x5?224x3?742x2?5x?50 的根.假设是的话,是几重根? 32323设2x?x?3x?5?a(x?2)?b(x?2)?c(x?2)?d 求a,b,c,d 提示:应用综合除法 4将以下多项式f(x)表成x?a的多项式. (i)f(x)?x5,a?1; (ii)f(x)?x4?2x2?3,a?2. 5求一个次数小于4的多项式f(x),使 f(2)?3,f(3)?1,f
12、(4)?0,f(5)?2 6求一个2次多项式,使它在x?0,?2,?处与函数sinx有一致的值. 27令f(x),g(x)是两个多项式,并且f(x3)?g(x3)可以被x?x?1整除. 证明 f(1)?g(1)?0. 8令c是一个复数,并且是Qx中一个非零多项式的根,令 J?f(x)?Qx|f(c)?0 证明:(i)在J中存在唯一的最高次项系数是1的多项式p(x),使得J中每一多项式 f(x)都可以写成p(x)q(x)的形式,这里q(x)?Qx. (ii)p(x)在Qx中不成约. 假设c?2?3,求上述的p(x) 提示:取p(x)是J中次数最低的、最高次项系数是1的多项式. n9设Cx中多项式
13、f(x)?0且f(x)|f(xn)f(x)|f(x),n是一个大于1的整 数. 证明:f(x)的根只能是零或单位根. nnn提示:假设c是f(x)的根,那么c,c,c,?都是f(x)的根. 231.7 复数和实数域上多项式 nn?11设n次多项式f(x)?a0x?a1x?an?1x?an的根是?1,?2,?,?n.求 (i)以ca1,ca2,?,can为根的多项式,这里c是一个数; 1(ii)以?1?2,1,?,1?n(假定?1,?2,?,?n都不等于零)为根的多项式. 2设f(x)是一个多项式,用f(x)表示把f(x)的系数分别换成它们的共轭数后所得多项式.证明: (i)若是g(x)|f(x),那么g(x)|f(x); (ii)若是d(x)是f(x)和f(x)的一个最大公因式,并且d(x)的最高次项系数是1,那 么d(x)是一个实系数多项式). 3给出实系数四次多项式在实数域上全体不同类型的典型分解式. n4在复数和实数域上,分解x?2为不成约因式的乘积. 5证明:数域F上任意
