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1、本文格式为Word版，下载可任意编辑高等代数 第一章 行列式 第一章 行列式 习题精解 1. 求以下9级排列的逆序数,从而抉择它们的奇偶性 1) 2) 3) 1 3 4 7 8 2 6 9 5; 2 1 7 9 8 6 3 5 4; 9 8 7 6 5 4 3 2 1; 解:1) 所求排列的逆序数为: ?134782695?0?1?1?3?3?0?1?1?10 所以此排列为偶排列. 2) 所求排列的逆序数为: ?1?0?4?5?4?3?0?1?18 ?217986354 所以此排列为偶排列. 3) 所求排列的逆序数为: ?987654321?8?7?6?5?4?3?2?1? 所以此排列为偶排列
2、. 2.选择i与k使 1) 1274i56k9成偶排列; 2) 1i25k4897成奇排列. 解: 1) 当i?8,k?3时, 所求排列的逆序数为: 9?9?1?36 2?1274i56k9?127485639?0?0?4?1?3?1?1?0?10 故当i?8,k?3时的排列为偶排列. 2)当i?3,k?6时, 所求排列的逆序数为: ?1i25k4897?132564897?0?1?0?1?1?0?1?1?5 故当i?3,k?6时的排列为奇排列. 3.写出把排列12345变成排列25341的那些对换. 1,2?2,5?3,4?21435?25431?25341解: 12345?. 4.抉择排列
3、n?n?1?21的逆序数,并议论它的奇偶性. (行列式第 1页 ) 解: 由于1与其它数构成n?1个逆序,2与其它数构成n?2个逆序, n?1与n构成1个逆序,所以排列n?n?1?21的逆序数为 ?n?n?1?21?n?1?n?2?2?1n?n?1? 2故当n?4k,4k?1时，排列为偶排列；?当n?4k?2,4k?3时排列为奇排列。 5.假设排列x1x2?xn?1xn的逆序数为k,排列xnxn?1?x2x1的逆序数是多 少? 解: 由于比xi大的数有n?xi个,所以在 xnxn?1?x2x1与x1x2?xn?1xn这两个排列中,由xi与比它的 各数构成的逆序数的和为n?xi.因而,由xi构成
4、的逆序总数 恰为 1?2?n?1?n?n?1? 2 而排列x1x2?xn?1xn的逆序数为k,故排列xnxn?1?x2x1的逆序数 为 n?n?1?k. 26.在6阶行列式中,a23a31a42a56a14a65, a32a43a14a51a66a25这两项应带有 什么符号? 解: 在6阶行列式中,项a23a31a42a56a14a65前面的符号为 (?1)?234516?312645?1?4?4?1 . 同理项a32a43a14a51a66a25前面的符号为 ?1?341562?234165?1?6?4?1 . 所以这两项都带有正号. 7写出4阶行列式中全体带有负号并且因子a23的项。 解：
5、 所求的各项应是 ?a11a23a32a44 ， ?a12a23a34a41 ， ?a14a23a31a42 . （行列式第2页） 8按定义计算行列式： 00?01000?200? 2）? 1）?0n?1?000n0?00n00 3）?010?200? . 10?02?00?. 00?n?100?0n?1?0000?00n 解：1）所给行列式的开展式中只含有一个非零项a1na2,n?1?an1， 它前面的符号应为 ?1?n(n?1)?21?n(n?1)2?1? . 所以原行列式=?1?n?n?1?2n! . 2）所给行列式的开展式中只含有一个非零项a12a23?an?1,nan1， 它前面的符
6、号应为 ?1?23?n1?1?n?1 . 所以原行列式=?1?n?1n！. 3）所给行列式的开展式中只含有一个非零项 a1,n?1a2,n?2?an?1,1ann， 它前面的符号应为 ?1?n?1?n?2?21n?1?n?1?n?2?2 . 所以原行列式=?1? 9由行列式定义证明： a1a2a3a4b1b2b3b4 c1c200d1d200e1e200?n?1?n?2?2n！. a5b50?0 . 00 （行列式第3页） 解：行列式开展的一般项可表示为a1j1a2j2a3j3a4j4a5j5，列标 j3j4j5只可以在1，2，3，4，5中取不同的值，故三个下标中至 少有一个要取3，4，5列中
7、之一数，从而任何一个开展式中至少 要包含一个0元素，故所给行列式开展式中每一项的乘积必为0， 因此原行列式值为0. 10 由行列式定义计算 2xx121x1?1 f?x? . 32x1111x 中x4与x3的系数，并说明理由。 解：含有x4的开展项只能是a11a22a33a44，所以x4的系数为2； 同理，含有x3的开展项只能是a12a21a33a44，所以x3的系 数为-1. 11.由 11 ?111?1?11?0 ?1 证明：奇偶排列各半. 证：由题设，所给行列式的开展式中的每一项的十足值等于1. 而行列式的值为0，这说明带正号与带负号的项的项数相 等.根据行列式的定义，其开展式中的每一项
8、的符号是由该 乘积中各因子下标排列的逆序数所抉择的，即当该乘积中各 因子的第一个下标排成自然依次，且其次个下标所成排列 为偶排列时， 该项前面所带的符号为正，否那么为负号. 所以，由带正号的项与带 负号的项数相等即说明奇偶 排列各半. 12设 11xa1a2?x2a1a2?an?1222?xn?1a1a2n?1n?1 P?x?1? ?n?11an?1?an?1 （行列式第4页） 其中a1,a2,?,an?1是互不一致的数. 1）由行列式定义，说明P?x?是一个n?1次多项式； 2）由行列式性质，求P?x?的根. 解：1）由于所给行列式的开展式中只有第一行含有x， 所以若该行列式的第一行开展时，
9、含有xn?1的对应项的 系数恰为?1?n?1乘一个范德蒙行列式 1a11a2 1a3?1an?1a12a22a3?2an?12?a1n?2?a2n?2 ?a3?n?2?an?1n?2于是，由a1,a2,?,an?1为互不一致的的数即知含有xn?1的 对应项的系数不为0，因而P?x?为一个n?1次的多项式. 3）若用a1,a2,?,an?1分代替x时，那么由行列式的性质知 所给行列式的值为0，即P?ai?0.故P?x?至少有n?1个 根a1,a2,?,an?1.又由于P?x?是一个n?1次的多项式，所 以a1,a2,?an?1必是P?x?的全部根. 13计算下面的行列式： 246427327xyx?yxx?yxy 1）1014543443 2）y?342721621x?y 31 3） 11131111311112 4）13342341341241 23 （行列式第5页） 6
