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1、本文格式为Word版，下载可任意编辑高等数学 线性代数 习题答案第二章 其次章 习题2-1 1. 证明：若limxn=a,那么对任何自然数k，有limxn+k=a. n?n?证：由limxn?a，知?0，?N1，当n?N1时，有 n?xn?a? 取N?N1?k，有?0，?N，设n?N时（此时n?k?N1）有 xn?k?a? 由数列极限的定义得 limxn?k?a. x?2. 证明：若limxn=a,那么limxn=|a|.考察数列xn=(-1)n，说明上述结论反之不成立. n?n?证： ?limxn?ax?0,?N,使当n?N时，有xn?a?.而 xn?a?xn?a 于是?0，?N,使当n?N
2、时，有 xn?a?xn?a? 即 xn?a? 由数列极限的定义得 limxn?a n?n考察数列 xn?(?1)，知limxn不存在，而xn?1，limxn?1， n?n?所以前面所证结论反之不成立。 3. 证明：limxn =0的充要条件是limxn=0. n?n?证：必要性由2题已证，下面证明充分性。即证若limxn?0，那么limxn?0， n?n?由limxn?0知，?0，?N，设当n?N时，有 n?xn?0? 即xn? 即xn?0? 由数列极限的定义可得 limxn?0 n?4. 利用夹逼定理证明： 1 ?(1) lim?2?=0； (2) lim=0. 22?n?n?(2n)?n!
3、?n(n?1)证：（1）由于 ?111?21111n?1n?n?n2n2(n?1)2(2n2)n2n2 2n而且 lim12?0lim?0， ， n?n2n?n所以由夹逼定理，得 ?111?lim?2?0. 22?n?n(n?1)(2n)?42n222224?，而且lim?0， （2）由于0?n?nn!123n?1nn所以，由夹逼定理得 2nlim?0 n?n!5. 利用单调有界数列收敛准那么证明以下数列的极限存在. (1) x10,xn+1= 13(xn?)，n=1,2,； 2xn(2) x1=2,xn+12xn,n=1,2,； (3) 设xn单调递增，yn单调递减，且lim (xn-yn)
4、=0,证明xn和yn的极限均存在. n?证：（1）由x1?0及xn?13 (xn?)知，有xn?0（n?1,2,?）即数列?xn?有下界。 2xn又?xn?1?1313(xn?)?2xn?3 (n?1,2,?) 2xn2xn21313?xn?xn?1?xn?(?xn)?0 即xn?1?xn 2xn2xn所以?xn?为单调递减有下界的数列，故?xn?有极限。 （2）由于x1?2?2，不妨设xk?2，那么 xk?1?2xk?2?2?2 故有对于任意正整数n，有xn?2，即数列?xn?有上界， 2 又 xn?1?xn?xn(2?xn)，而xn?0,xn?2， 所以 xn?1?xn?0 即 xn?1?
5、xn， 即数列是单调递增数列。 综上所述，数列?xn?是单调递增有上界的数列，故其极限存在。 （3）由数列?xn?单调递增，?yn?单调递减得xn?x1，yn?y1。 又由lim(xn?yn)?0知数列?xn?yn?有界，于是存在M 0，使xn?yn?M, n?由xn?yn?M及yn?1得，xn?yn?M?y1?M， 由xn?yn?M及xn?x1得，yn?xn?M?x1?M， 于是，数列?xn?是单调递增有上界的数列，?yn?是单调递减有下界的数列，所以它们的极限均存在。 习题2-2 1. 证明：limf(x)=a的充要条件是f(x)在x0处的左、右极限均存在且都等于a. x?x0f(x)?l
6、imf(x)?a，那么limf(x)?a. 证：先证充分性：即证若lim?x?x0x?x0x?x0f(x)?a及limf(x)?a知： 由lim?x?x0x?x0 ?0,?1?0,当0?x0?x?1时，有f(x)?a?， ?2?0当0?x?x0?2时，有f(x)?a?。 取?min?1,?2?，那么当0?x0?x?或0?x?x0?时，有f(x)?a?， 而0?x0?x?或0?x?x0?就是0?x?x0?， 于是?0,?0，当0?x?x0?时，有f(x)?a?， 所以 limf(x)?a. x?x0f(x)?limf(x)?a, 再证必要性：即若limf(x)?a，那么lim?x?x0x?x0x
7、?x0由limf(x)?a知，?0,?0，当0?x?x0?时，有f(x)?a?， x?x0由0?x?x0?就是 0?x0?x?或0?x?x0?，于是?0,?0，当 3 0?x0?x?或0?x?x0?时，有f(x)?a?. f(x)?limf(x)?a 所以 lim?x?x0x?x0 综上所述，limf(x)=a的充要条件是f(x)在x0处的左、右极限均存在且都等于a. x?x02. 证明：若limf(x)=a,那么limf(x)=|a|.并举例说明该命题之逆命题不真. x?x0x?x0证： ? limf(x)=a x?x0 ?0,?0，当0?x?x0?时， (f?)x ， af(x)?a?，而
8、 f(x?)a?于是?0,?0，当0?x?x0?时，有 f(x)?a?f(x)?a? 由函数极限的定义知limf(x)?a。 x?x0例 f(x)?sinx，limsinx?1，而limsinx?1 x?32x?32故逆命题不真。 e； 3. (1) 利用极限的几何意义确定lim (x+a),和lim? x?0x?0 2 1x1?x(2) 设f(x)= ?e, x?0,，问常数a为何值时，limf(x)存在. x?02?x?a,x?0,?2解：（1）由于x无限接近于0时，x?a的值无限接近于a，故lim(x?a)?a. x?02e?0. 当x从小于0的方向无限接近于0时，e的值无限接近于0，故
9、lim?x?01x1xf(x)?lim?f(x)， （2）若limf(x)存在，那么lim?x?0x?0x?0f(x)?lim(x?a)?lim(x?a)?a， 由（1）知 lim?x?0x?0x?022f(x)?lime?0 lim?x?0x?01x所以，当a?0时，limf(x)存在。 x?04. 利用极限的几何意义说明limsinx不存在. x?解：由于当x?时，sinx的值在-1与1之间来回振摇摆，即sinx不无限接近某确定直线y?A，亦即y?f(x)不以直线y?A为渐近线，所以limsinx不存在。 x? 4 习题2-3 1. 举例说明：在某极限过程中，两个无穷小量之商、两个无穷大量
10、之商、无穷小量与无穷大量之积都不确定是无穷小量，也不确定是无穷大量. 解：例1：当x?0时，tanx,sinx都是无穷小量，但由 sinx?cosx（当x?0时，tanxcosx?1）不是无穷大量，也不是无穷小量。 例2：当x?时，2x与x都是无穷大量，但小量。 2x?2不是无穷大量，也不是无穷xcotx?1不 例3：当x?0时，tanx是无穷小量，而cotx是无穷大量，但tanx?是无穷大量，也不是无穷小量。 2. 判断以下命题是否正确： (1) 无穷小量与无穷小量的商确定是无穷小量； (2) 有界函数与无穷小量之积为无穷小量； (3) 有界函数与无穷大量之积为无穷大量； (4) 有限个无穷
11、小量之和为无穷小量； (5) 有限个无穷大量之和为无穷大量； (6) y=xsinx在(-，+)内无界，但limxsinx； x?(7) 无穷大量的倒数都是无穷小量； (8) 无穷小量的倒数都是无穷大量. 解：（1）错误，如第1题例1； （2）正确，见教材2.3定理3； cotx为无穷大量，sinx是有界函数，cotx?sinx?cosx （3）错误，例当x?0时， 不是无穷大量； （4）正确，见教材2.3定理2； （5）错误，例如当x?0时，与?是无穷大量； （6）正确，由于?M?0，?正整数k，使2k+1x111都是无穷大量，但它们之和?(?)?0不xxx?M，从而2f(2k+)?(2k+)sin(2k+)?2k+?M，即y?xsinx在(?,?)内无界， 2222又?M?0，无论X多么大，总存在正整数k，使kX，使f(2k)?ksin(k)?0?M，即x?时，xsinx不无限增大，即limxsinx?； x?（7）正确，见教材2.3定理5； （8）错误，只有非零的无穷小量的倒数才是无穷大量。零是无穷小量，但其倒数无意义。 3. 指出以下函数哪些是该极限过程中的无穷小量，哪些是该极限过程中的无穷大量. 5 7
