数值分析（计算方法）课件

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1、 Numerical Analysis J. G. Liu School of Math. & Phys. North China Elec. P.U.数数 值值 分分 析析插值、拟合与数值微积分插值、拟合与数值微积分主讲：刘敬刚刘敬刚5/13/20221 Numerical Analysis J. G. Liu School of Math. & Phys. North China Elec. P.U. 数值分析数值分析(计算方法计算方法) 介绍介绍考虑如下线性方程组 或者：其中 ,由克莱姆法则可知 (1)有唯一的解，而且解为：(1)一、引例一、引例 5/13/20222 Numerical

2、 Analysis J. G. Liu School of Math. & Phys. North China Elec. P.U.若行列式用按行（列）展开的方法计算 ，用克莱姆法则求解（1）需做乘除法的次数: 当方程组阶数较高时，计算量很大，因此克莱姆法则通常仅有理论上的价值，计算线性方程组的解还要考虑: 首先看一个简单的例子：（若是更高阶的 方程组呢？）人类的计算能力计算能力是计算工具计算工具和计算方法计算方法效率的乘积，提高计算方法的效率与提高计算机硬件的效率同样重要。科学计算科学计算已用到科学技术和社会生活的各个领域中，成为继实验实验和理论研究理论研究之后的第三种研究方法。数值解法数值

3、解法 = 算法算法 + 计算机计算机。5/13/20223 Numerical Analysis J. G. Liu School of Math. & Phys. North China Elec. P.U.二、研究对象和主要内容二、研究对象和主要内容5/13/20224 Numerical Analysis J. G. Liu School of Math. & Phys. North China Elec. P.U.n数值计算方法，是一种研究如何求解数学问题数值近数值近似解似解的方法，是在计算机计算机上使用的解数学问题的方法，简称计算方法。包括直接方法直接方法和迭代方法迭代方法!n数值计

4、算方法的计算对象是线性代数，微积分，常微分方程中的数学问题。内容包括：求解线性方程组的数值方法求解线性方程组的数值方法; ;计算矩阵特征值和特征向量的数值方法计算矩阵特征值和特征向量的数值方法; ;非线性方程和非线性方程组的迭代解法非线性方程和非线性方程组的迭代解法; ;插值插值与与拟合拟合; ;数值微积分数值微积分; ;常微分方程数值解等问题。常微分方程数值解等问题。 5/13/20225 Numerical Analysis J. G. Liu School of Math. & Phys. North China Elec. P.U.三、特点三、特点5/13/20226 Numerica

5、l Analysis J. G. Liu School of Math. & Phys. North China Elec. P.U.数值计算方法既有数学类课程中理论上的抽象性和严谨性，又有实用性和实验性等技术特征，它是一门理论性理论性和实践性实践性都很强的课程。在20世纪70年代，大多数学校仅在数学系的计算数学专业计算数学专业和计算机系计算机系开设计算方法这门课程。随着计算机技术的迅速发展和普及，现在计算方法课程几乎已成为所有理工科大学生的一门必修课程理工科大学生的一门必修课程。n学习过程中应该注意以下几个方面：认清算法的计算对象；掌握基本的计算方法及其原理；用C+语言编制程序，在计算机上对

6、算法进行验证；对于算法要勤思考多比较！5/13/20227 Numerical Analysis J. G. Liu School of Math. & Phys. North China Elec. P.U.参考书目：参考书目：1 钟尔杰.数值分析.高等教育出版社,2004.2 颜庆津.数值分析.修订版.北京航空航天大学出版社,2000.3 李庆扬. 数值分析.清华大学出版社,2001.4 白峰杉.数值计算引论.高等教育出版社,2004.5 王能超.计算方法.北京: 高等教育出版社, 2005.5/13/20228 Numerical Analysis J. G. Liu School of

7、 Math. & Phys. North China Elec. P.U.1、算法设计技术2、误差3、数值计算中需要注意的一些问题4、算法的稳定性5、病态问题内容内容: :数值分析的基本概念5/13/20229 Numerical Analysis J. G. Liu School of Math. & Phys. North China Elec. P.U. 1.1 算法设计技术算法设计技术 古希腊哲学家Zeno(芝诺)在两千多年前提出过一个骇人听闻的命题：一个人不管跑得多快，也追不上爬在他前面的一只乌龟。这就是著名的Zeno悖论。Zeno在论证这个命题时采取了如下形式的逻辑推理：设人与龟同

8、时同向起跑，如果龟不动，那么人经过某段时间便能追上它；但实际上在这段时间内龟又爬了一段路程，从而人又得重新追赶，如下图所示，这样每追赶一次所归结的是同样类型的追赶问题，因而这种追赶过程“永远”不会终结。 引例引例5/13/202210 Numerical Analysis J. G. Liu School of Math. & Phys. North China Elec. P.U.耐人寻味的是，尽管Zeno悖论的论断极其荒谬，但从算法设计思想的角度来看它却是极为精辟的。Zeno悖论将人龟追赶问题表达为一连串追赶步的逐步逼近过程。设人与龟的速度分别为与，记表示逼近过程的第步人与龟的间距，另以表

9、示相应的时间，相邻两步的时间差。Zeno悖论将人龟追赶问题分解为一追一赶两个过程：追的过程：追的过程：先令龟不动，计算人追上龟所费的时间赶的过程：赶的过程：再令人不动，计算龟在这段时间内爬行的路程tkSk-1SkVvtk-1vV 图示: 人龟追赶过程5/13/202211 Numerical Analysis J. G. Liu School of Math. & Phys. North China Elec. P.U.若以人和龟之间的距离 定义问题的规模规模大小，则上述过程将问题规模压缩了 倍：由于龟的速度远远小于人的速度，故 很小，因此按上述步骤很快问题的规模 就可以忽略不计，从而得到人追

10、上龟所花时间 ，Zeno的解释可用如下过程表示：Zeno算法可见，Zeno算法的设计思想是，将人龟追赶计算化归为简单的行程计算的重复，它的设计方法是逐步压缩计算模型的规模，这种“化大为小”的设计策略称为规模缩减技术规模缩减技术，简称缩减技术缩减技术。 算法的设计精髓：“简单简单”的重复生成复杂！的重复生成复杂！5/13/202212 Numerical Analysis J. G. Liu School of Math. & Phys. North China Elec. P.U.则计算结果即为所求的和值： （3）数列求和问题： （1）1 直接法的缩减技术直接法的缩减技术若用bk表示前k项的部

11、分和，则有 （2）5/13/202213 Numerical Analysis J. G. Liu School of Math. & Phys. North China Elec. P.U.这样，如果定义和式的项数为数列求和问题的规规模模，则所求和值为（1）的退化情形。因之，只要令和式的规模逐次减1，最终当规模为1时即可直接得出所求的和值，而这样设计出来的算法就是累加求和算法（2）。可见，上述累加求和算法的设计思想是将多项求和（1）化归为两项求和（2）的重复，最终加工成一项和式（3）（(1)的退化情形）,从而得出和值。5/13/202214 Numerical Analysis J. G.

12、Liu School of Math. & Phys. North China Elec. P.U.考虑利用缩减技术可得如下算法：算法流程图考虑问题15/13/202215 Numerical Analysis J. G. Liu School of Math. & Phys. North China Elec. P.U.2 迭代法的校正技术迭代法的校正技术易得人追上龟所花的时间是有些问题的“大事化小”过程似乎无法了结。Zeno悖论强调人“永远”赶不上龟正是为了突出这层含义。这是一类无限逼近的过程，适于用所谓预报校正技术预报校正技术来处理。 设人龟起初相距 ，两者的速度分别为 和 ，则有方程（

13、1）5/13/202216 Numerical Analysis J. G. Liu School of Math. & Phys. North China Elec. P.U.注意到 v是个小量，设t也是个小量，则可从上式中略去vt ，即令校正量t满足如下方程(近似近似)设解t*有某个预报值预报值t0，希望提供校正量t，使校正值校正值t1= = t0+ t 能更好的满足所给方程（1），即使得求解上述方程即可定出校正值 5/13/202217 Numerical Analysis J. G. Liu School of Math. & Phys. North China Elec. P.U.进

14、一步视 t1为新的预报值，重复实施上述手续，求出新的校正值 t2，再由 t2定 t3 ，如此反复可生成一系列近似值 t1,t2,t3,这就规定了一个迭代过程， (2)Zeno悖论所描述的逼近过程正是这种迭代过程，当k时，tk t* （ 考虑问题2 ）。大家知道，任何形式的重复都可看成是“时间”的量度。Zeno在刻画人龟追赶问题中设置了两个“时钟”：一个是日常的钟，另外Zeno又将迭代次数视为另一种时钟，不妨称之为Zeno钟钟。Zeno公式（2）表明，当Zeno钟趋于时人才能追上龟，Zeno正是据此断言人永远追不上龟。 5/13/202218 Numerical Analysis J. G. L

15、iu School of Math. & Phys. North China Elec. P.U.给定 ，求开方值 的问题就是要求解方程 设给定某个预报值 ，希望借助于某种简单方法确定校正量 ，使校正值能够比较准确地满足方程（1），即使 成立，设校正量 是个小量，舍去上式中的高阶小量 ，令 ，从中定出 ，继而可得校正值：（1）利用校正技术，设计求解 （ ）的算法。近似近似5/13/202219 Numerical Analysis J. G. Liu School of Math. & Phys. North China Elec. P.U.反复实施这种预报校正手续，即可导出开方公式开方公式

16、：从某个初值 出发，利用上式反复迭代，即可获得满足精度要求的开方值 。 校正技术的基本思想：删繁就简删繁就简，逐步求精逐步求精 ！考虑问题35/13/202220 Numerical Analysis J. G. Liu School of Math. & Phys. North China Elec. P.U.其中 ，3 算法优化的松弛技术算法优化的松弛技术对于给定的预报值 ，校正值为据此有 ，两端同除以 ，有由于 为人龟追赶问题的精确解，再考察Zeno算法：可见，精确解等于任给预报值同它的校正值的加权平均加权平均：5/13/202221 Numerical Analysis J. G. Liu School of Math. & Phys. North China Elec. P.U.即通过适当选取权系数 来调整校正量 ，以加工得到更高精度的 ，这种基于校正量的调整与松动的方法通常称为松弛技术松弛技术。 可以看到，这里任意一对迭代值经过上述手续松弛即可得到问题的精确解。这种加工效果是奇妙的。在实际计算中常常可以获得目标值 F * 的两个相伴的近似值 F0 与 F1 ，将它们加工成更