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1、本文格式为Word版，下载可任意编辑高二期末复习 高二期末复习学识纲要 导数与定积分 一、导数的概念与运算 （一）导数的概念 1函数y?f(x)在x?x0处的导数 一般地，函数y?f(x)在x?x0处的瞬时变化率是limf(x0?x)?f(x0)?y，我们称它为函数?lim?x?0?x?x?0?xf(x0?x)?f(x0)?y ?lim?x?0?x?x?0?xy?f(x)在x?x0处的导数，记作f?(x0)或y?|x?x0，即f?(x0)?lim2函数y?f(x)的导数 b)内每一点都可导，就说f(x)在开区间(a，b)内可导，这时对于区间假设函数f(x)在开区间(a，(a，b)内每一个确定的
2、值x0，都对应着一个导数f?(x0)，这样就在开区间(a，b)内构成一哥新的函数，我b)内的导函数，记作f?(x)或y?，即 们把这一新函数叫做f(x)在开区间(a， f?(x)?y?lim?yf(x?x)?f(x) ?lim?x?0?x?x?0?x（二）导数的几何意义 函数y?f(x)在点x0处的导数f?(x0)，是曲线y?f(x)在点(x0，f(x0)处切线的斜率，其切线方程为y?y0?f?(x0)(x?x0) （三）导数的运算 1根本初等函数的导数公式 （1）若f(x)?c，那么f?(x)?0； （2）若f(x)?x?(?Q)，那么f?(x)?x?1； （3）若f(x)?sinx，那么f
3、?(x)?cosx； （4）若f(x)?cosx，那么f?(x)?sinx； （5）若f(x)?ax，那么f?(x)?axlna(a?0)； （6）若f(x)?ex，那么f?(x)?ex； 11（7）若f(x)?logax，那么f?(x)?logae?(a?0，且a?1)； xxlna（8）若f(x)?lnx，那么f?(x)?（9）若f(x)?1 x11，那么f?(x)?2 xx高二期末复习学识纲要 第1页 （10）若f(x)?x，那么f?(x)?2导数运算法那么 12x （1）f(x)?g(x)?f?(x)?g?(x)； （2）f(x)?g(x)?f?(x)g(x)?f(x)g?(x)； ?
4、f(x)?f?(x)g(x)?f(x)g?(x)（3）?(g(x)?0) ?2g(x)?g(x)?（4）c?f(x)?c?f?(x)(c为常数） v?g(x)，那么有 上述公式也可记忆为：设u?f(x)，?u?u?v?u?v?u?v?u?vu?v?u?v?u?v；? (v?0)；c?u?c?u?(c为常数）2v?v?（四）符合函数的导数 1复合函数的概念 一般地，对于两个函数y?f(u)和u?g(x)，假设通过变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y?f(u)和u?g(x)的复合函数，记作y?f(g(x) 2复合函数的求导法那么 ?一般地，设函数u?g(x)在点x处有导数u?x?g
5、(x)，函数y?f(u)在点x的对应点u处有导数?f?(u)，那么复合函数y?f(g(x)在点x处也有导数，且y?yux?yu?ux，或写作f(g(x)?f(u)?g(x) 二、导数的应用 （一）函数的单调性与导数 1函数单调性与导函数的关系 b)内可导 设函数y?f(x)在区间(a，（1）假设f?(x)?0，那么函数y?f(x)在这个区间内单调递增； （2）假设f?(x)?0，那么函数y?f(x)在这个区间内单调递减； （3）假设恒有f?(x)?0，那么函数y?f(x)为常数函数； b)上递增（或递减）（4）假设函数y?f(x)在区间(a，那么在该区间内f?(x)0（或f?(x)0） 2求可
6、导函数单调区间的一般步骤和方法 （1）确定f(x)的定义域 （2）求导数f?(x) （3）在函数定义域内解不等式f?(x)?0（或f?(x)?0） （4）当f?(x)?0时，f(x)在相应区间上是增函数；当f?(x)?0时，f(x)在相应区间上是减函数 高二期末复习学识纲要 第2页 （二）函数的奇偶性与导数 1假设f(x)是可导的奇函数，那么f?(x)为偶函数 证明：设f(x)为可导的奇函数，即f(?x)?f(x)两边同时对x求导，得f?(?x)?(?x)?f?(x)， 即?f?(?x)?f?(x)，所以f?(?x)?f?(x)故f?(x)为偶函数 2假设f(x)是可导的偶函数，那么f?(x)
7、为奇函数 证明：设f(x)为可导的偶函数，即f(?x)?f(x)两边同时对x求导，得f?(x)?(?x)?f?(x)， 即?f?(?x)?f?(x)，所以f?(?x)?f?(x)故f?(x)为奇函数 （三）函数的极值 1函数的极值定义 设可导函数y?f(x)在点x?a的函数值f(a)比它在点x?a邻近其他点的函数值都小，f?(a)?0；而 且在点x?a邻近的左侧f?(x)?0，右侧f?(x)?0类似地，函数y?f(x)在点x?b的函数值f(b)比它在点x?b邻近其他点的函数值都大，f?(b)?0；而且在点x?b邻近的左侧f?(x)?0，右侧f?(x)?0 我们把点a叫做函数y?f(x)的微小值
8、点，f(a)叫做函数y?f(x)的微小值；点b叫做函数y?f(x)的 极大值点，f(b)叫做函数y?f(x)的极大值微小值点、极大值点统称为极值点，极大值和微小值统称为极值 2求可导函数y?f(x)的极值的方法 一般处境下，我们可以通过如下步骤求出函数y?f(x)的极值点： （1）求出导数f?(x)； （2）解方程f?(x)?0； （3）对于方程f?(x)?0的每一个解x0，分析f?(x)在x0左、右两侧的符号（即f(x)的单调性），确定 极值 若f?(x)在x0两侧的符号“左正右负”，那么x0为极大值点； 若f?(x)在x0两侧的符号“左负右正”，那么x0为微小值点； 若f?(x)在x0两侧
9、的符号一致，那么x0为不是极值点 （四）函数的最值 1函数的最值 假设在函数的定义域I内存在x0，使得对任意的x?I，总有f(x)f(x0)，那么称f(x0)为函数定义域内的最大值假设在函数定义域I内存在x0，使得对任意的x?I，总有f(x)f(x0)，那么称f(x0)为函数b上的图象是一条连续不断的曲线，那么该函数在a，b上一在定义域内的最小值函数f(x)在闭区间a，高二期末复习学识纲要 第3页 定能够取得最大值与最小值，函数的最值确定在极值点或区间端点处取得 2求函数的最大值与最小值的步骤 b上连续，在(a，b)上可导，求f(x)在a，b上最大值与最小值的步骤如下： 设函数f(x)在a，b
10、)上的极值； （1）求f(x)在(a，（2）将f(x)的各极值与f(a)，f(b)对比，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值 二、定积分的概念与微积分根本定理 （一）定积分的概念 1曲边梯形的面积 （1）曲边梯形：我们把由直线x?a，x?b(a?b)，y?0和曲线y?f(x)所围成的图形称为曲边梯形 （2）求曲边梯形面积的步骤：分割近似代替求和取极限 2定积分的定义 b上连续，用分点 假设函数f(x)在区间a， a?x0?x1?x2?xi?1?xi?xn?b b等分成n个小区间，在每个小区间xi?1，xi上任取一点?i(i?1，2，?，n)，作和式 将区间a， ?f(?)?x?ii?1n
11、b?af(?i)， ni?1nb上的定积分，记作当n?时，上述和式无限接近于某个常数，这个常数叫做函数f(x)在区间a，? baf(x)dx，即 ?baf(x)dx?lim?b?af(?i)， n?ni?1nb叫做积分区间，函数f(x)叫做被积函数，x叫做这里，a与b分别叫做积分下限与积分上限，区间a，积分变量，f(x)dx叫做被积式 3定积分的几何意义 b上函数f(x)连续且恒有f(x)0，那么定积分?f(x)dx表示由直线从几何上看，假设在区间a，ababx?a，x?b(a?b)，y?0和曲线y?f(x)所围成的曲边梯形的面积这就是定积分?f(x)dx的几何意义 4定积分的性质 高二期末复
12、习学识纲要 第4页 （1）?kf(x)dx?k?f(x)dx（k为常数） aabb（2）?f1(x)?f2(x)dx?f1(x)dx?f2(x)dx aaabbb（3）?f(x)dx?f(x)dx?f(x)dx（其中a?c?b) aacbcb（二）微积分根本定理 b上的连续函数，并且F?(x)?f(x)，那么 一般地，假设f(x)是区间a， ?baf(x)dx?F(b)?F(a) 这个结论叫做微积分根本定理，又叫做牛顿莱布尼兹公式 为了便当，我们往往把F(b)?F(a)记成F(x)|ba，即 ?baf(x)dx?F(x)|ba?F(b)?F(a) 计数原理 （一）根本计数原理 1分类加法计数原
13、理 完成一件事有n类不同方案，在第一类方案中有m1种不同的方法，在其次类方案中有m2种不同的方 法，?，在第n类方案中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N?m1?m2?mn种不同的方法 2分步乘法计数原理 完成一件事需要分成n个步骤，做第一步有m1中不同的方法，做其次步有m2中不同的方法，?，做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N?m1?m2?mn种不同的方法 （二）排列 1排列 从n个不同的元素中，任取m(mn)个元素，按照确定的依次排成一列，叫做从n个不同元素中取出 m个元素的一个排列 2排列数 从n个不同元素中取出的m(mn)个元素的全体不同排列的个数，叫做从n个不同元素中取出的mm个元素的排列数，用符号An表示 3排列数公式 （1）依据分步乘法计数原理，利用插空法可得排列数公式： mAn?n(n?1)(n?2)(n?3)?(n?m?1) 高二期末复习学识纲要 第5页 9
