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1、本文格式为Word版，下载可任意编辑矩阵行列式与可逆矩阵 矩阵行列式与可逆矩阵 一、n阶矩阵行列式 下面介绍线性代数中另一个根本概念行列式，由于内容较多，我们主要介绍行列式的定义及其简朴的计算，行列式的性质等内容请大家自己学习教材. ?a11?a21定义2.9 对任一n阶矩阵 A =?an1a12a22?an2?a1na2n?anna1n?a2n? ?ann?用式 a11a21?an1a12a22?an2 表示一个与A相联系的数，称为A的行列式，记作A. 规定：当n = 1时，A?a11?a11； 当n = 2时，A?a11a21a12a22?a11a22?a12a21； n 当n 2时，A?
2、a11A11?a12A12?a1nA1n?aj?11jA1j， 其中A1j=(?1)1?jM1j，称M1j为A中元素a1j的余子式，它是A中划去第一行、第j列后剩下的元素按原来依次组成的n 1阶行列式；A1j为A中元素a1j的代数余子式. （由定义可知，一个n 阶矩阵行列式表示一个数，而这个数可以由第一行的元素与其相应的代数余子式的乘积之和求出. 理应指出的是，方阵是一个数表，不能求数值的；而与它相应的行列式那么表示一个数，是可以计算数值的.） 行列式的性质 性质1 行列式与它的转置行列式相等，即A?A. 性质2 互换行列式的两行（列），行列式的值变更符号. 性质3 n 阶行列式等于任意一行（
3、列）全体元素与其对应的代数余子式的乘积之和，即 nnik? A?ak?1Aik （A?ak?1kjAkj） 其中 i = 1, 2, ?, n ( j = 1, 2, ?, n) . 性质4 n 阶行列式中任意一行（列）的元素与另一行（列）的相应元素的代n数余子式的乘积之和等于零.即当i?k时，有 ?aj?1ijAkj?0. 性质5 行列式一行（列）的公因子可以提到行列式符号的外面.即 1 a11?a12?a1n?a11?a12?ai2?an2?a1n?ain ?ann ?ai1?an1?ai2?an2?ain?ai1?anna12?ai2?bi2?an2?an1? 性质6 若行列式的某一行（
4、列）元素都是两数之和： a11?a1n?ain?bin ?ann A?ai1?bi1?an1那么A等于以下两个行列式之和： a11?a12?ai2?an2?a1n?a11?a12?bi2?an2?a1n?bin ?ann A?ai1?an1ain?bi1?ann?an1 性质7 用常数?遍乘行列式的某一行（列）的各元素，然后再加到另一行（列）对应的元素上，那么行列式的值不变. （下面通过例题简朴介绍行列式的计算方法） ?1231?21?2130?113223213?2121132 例1 计算 A? 解 首先按性质5，从第一行提出公因子，再从第四行提出，即 ?121?2?110?1233?21
5、A?13?12?223 再利用性质7把第三列的元素尽可能多的化为零，即作“第三行加上第一行的1倍，第四行加上第一行的-2倍”的变换，得 ?121?2?110?1233?21?1210?51000331?513122231215 ?=?6 再利用性质3按第3列开展，即 2 ?1210?51000331?5 16?215=?1?(?1)1?3?1651210?531 ?5再作“第三列加上第一列的-1倍”的变换，并按其次行开展，即 162?1510?531=?5162?151610?510?1016=?1?(?1)2?1?56?1?51?10? =? 3110?5?(?10?5)? ?13132?4
6、?1?3 例2 计算 A?521 解 首先交换第一列与其次列，然后作“其次行加上第一行的-1倍，第四行加上第一行的5倍”的变换，得 13?521?13132?4?1?313?8216?141?22?6?1710?5000 A?= 首先交换其次行与第三行，然后作“第三行加上其次行的4倍，第四行加上其次行的-8倍”的变换，得 13?8216?141?22?6?175413200?118?102?1?1015 000= 000 再作“第四行加上第三行的倍”，化成三角形行列式，其值就是对角线上的元素乘积，即 13200?118?102?1?1015103200?11802?151?2?8?40 ?10
7、=25 000=002 （关于矩阵行列式，有一个重要结论请大家记住.） 定理2.1 对于任意两个方阵A，B，总有 AB?AB 即方阵乘积的行列式等于行列式的乘积. 3 （在上一讲中，我们介绍了矩阵的加法、减法和乘法运算，那么矩阵是否有除法运算呢？这就是这下面要介绍内容.） 二、逆矩阵定义 定义2.11 对于n阶矩阵A，假设有n阶矩阵B，得志 AB = BA = I （2-5-1） 那么称矩阵A可逆，称B为A的逆矩阵，记作A?1. （由定义可知：） 得志公式（2-5-1）的矩阵A , B确定是同阶矩阵. ?0 例3 设矩阵 A =?1?211?11?2?2，B =4?0?3?1?221?1 ?1
8、?验证A是否可逆？ 解 由于 ?0AB =?1?211?11?2?0?2?4?31?1?1?0?1?2?1?2211?11?1?1=0?1?0?1?1?2=0?0?00100100?0 ?1?0?0 ?1?2BA =?4?3?1?22即A , B得志 AB = BA = I.所以矩阵A可逆，其逆矩阵A?1=B. 可以验证：单位矩阵I是可逆矩阵；零矩阵是不成逆的. (1) 单位矩阵I是可逆矩阵. 证 由于单位矩阵I得志： II = I 所以I是可逆矩阵，且I?1?I. (2)零矩阵是不成逆的. 证 设O为n阶零矩阵，由于对任意n阶矩阵B，都有 OB = BO = O ?I 所以零矩阵不是可逆矩阵
9、. 可逆矩阵具有以下性质： (1) 若A可逆，那么A?1是唯一的. 证 设矩阵B1 , B2都是A的逆矩阵，那么B1 A = I，AB2 = I，且 B1 =B1 I = B1 (AB2 )= (B1 A )B2 = I B2 = B2 故A?1是唯一的. (2) 若A可逆，那么A?1也可逆，并且 (A?1)?1= A 若A可逆，那么A?1也可逆，并且 (A?1)?1= A. 证 由公式（2-5-1）可知，AA?1= A?1A = I，故A?1是A的逆矩阵，同时A 4 是A?1的逆矩阵，即(A?1)?1= A. (3) 若A可逆，数k?0，那么kA也可逆，且 (kA)?1= 若A可逆，数k?0
10、，那么kA也可逆，且 (kA)?1= 1kA1k?1A?1 证 由于 kA (k?1A?1) = (kk?1)(AA?1) = I (k?1A?1) kA = (k?1k)(A?1A) = I 所以，kA可逆，且 (kA)?1= k?1A?1 (4) 若n阶方阵A和B都可逆，那么AB也可逆，且 ?1?1?1(AB)?BA 证 由于 A和B都可逆，即A?1和B?1存在，且 (AB )(B?1A?1) = A( B B?1)A?1= AI A?1= AA?1= I (B?1A?1)(AB ) = B ( AA?1)B?1= B I B?1= BB?1= I 根据定义2.11，可知AB可逆，且(AB)?1?B?1A?1. 性质(4)可以推广到多个n阶可逆矩阵相乘的情形，即当n阶矩阵A1 , A2 , ? , Am都可逆时，乘积矩阵A1A2?Am也可逆，且 ?1?1?1( A1A2?Am)?1= Am?A2A1 更加地，当m = 3时，有 ( A1A2A3)?1= A3?1A2?1A1?1 问题：若n阶方阵A和B都可逆，那么A+B是否可逆？ 答
