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1、本文格式为Word版，下载可任意编辑教师招聘圆锥曲线经典总结 第 13 页 圆锥曲线必背口诀(红字为口诀)-椭圆 一、椭圆定义 定点为焦点，定值为长轴.（定值=2a ） 椭圆.定点为焦点，定直线为准线，定值为离心率.（定值=e ） 定点为短轴顶点，定值为负值. （定值2k e 1=-） 二、椭圆的性质定理 长轴短轴与焦距，形似勾股弦定理 准线方程准焦距，a 方、b 方除以c 通径等于 2 e p ，切线方程用代替 焦三角形计面积，半角正切连乘b 注 解： 1长轴2a =，短轴2b =，焦距2c =，那么：222a b c = + 2准线 方程：2 a x c = （a 方除以c ） 3椭圆的通
2、径d ：过焦点垂直于长轴的直线与椭圆的两交点之间的距 第 13 页 离称为椭圆的通径.（通径22 c b 2b 2a c a d 2ep =?=） 过椭圆上00x y (,)点的切线方程，用00x y (,)等效代替椭圆方程得到. 等效代替后的是切线方程是：0022x x y y 1a b += 4、焦三角形计面积，半角正切连乘b 焦三角形：以椭圆的两个焦点12F F ,为顶点，另一个顶点P 在椭圆上的三角形称为焦三角形.半角是指12F PF =的一半. 那么焦三角形的面积为：2 S b 2 tan = 证明：设1PF m =，2PF n =，那么m n 2a +=由余弦定理： 222m n
3、2mn 4c cos +-?= 22224a 4b m n 4b ()=-=+- 即：2 2mn 2mn 4b cos -?=-，即：22b 1mn (cos )=+. 即：2 122b mn PF PF 1|cos =+ 故：12 F PF 1S m n 2sin =?2 2 12b b 211sin sin cos cos =? ?=?+ 又：22221222 sin cos sin tan cos cos = =+ 所以：椭圆的焦点三角形的面积为122 F PF S b 2tan ?=. 三、椭圆的相关公式 切线平分焦周角，称为弦切角定理 1F 2F O x y P m n 第 13 页
4、 切点连线求方程，极线定理须牢记 弦与中线斜率积，准线去除准焦距 细看中点弦方程，恰似弦中点轨迹 注解： 1 弦切角定理：切线平分椭圆焦周角的外角，平分双曲线的焦周角. 焦周角是焦点三角形中，焦距所对应 的角. 弦切角是指椭圆的弦与其切线相交 于椭圆上时它们的夹角，当弦为焦点弦 时（过焦点的弦），那么切线是两个焦 点弦的角平分线. 2若000P x y (,)在椭圆22 22x y 1a b +=外，那么过0P 作椭圆的两条切线，切点为12P P ,，那么点0P 和切点弦12P P ,分别称为椭圆的极点和极线. 切点弦12P P 的直线方程即极线方程是 0022x x y y 1a b +=（
5、称为极线定理） 3 弦指椭圆内的一弦AB .中线指弦AB 的中点M 与原点O 的连线，即 OAB ?得中线.这两条直线的斜率的乘积，等于准线距离2 c a x c =-去除准焦距2b p c =，其结果是：2AB OM 2c p b k k x a ?=- 4 第 13 页 中点弦AB 的方程：在椭圆中，若弦AB 的中点为00M x y (,)，弦AB 称 为中点弦，那么中点弦的方程就是22 00002222x x y y x y a b a b +=+，是直线方程. 弦中点M 的轨迹方程：在椭圆中，过椭圆内点000P x y (,)的弦AB ，其 中点M 的方程就是22 002222x x
6、y y x y a b a b +=+，仍为椭圆. 这两个方程有些好像，要擦亮眼睛，千万不要搞混了. 圆锥曲线必背口诀(红字为口诀)-双曲线 一、双曲线定义 第 13 页 二、双曲线的性质定理 根本同椭圆，有所识别： 实轴虚轴与焦距，形似勾股弦定理 准线方程准焦距，a 方、b 方除以c 通径等于 2 e p ，切线方程用代替 焦三角形计面积，半角余切连乘b 注解： 1实轴2a =，虚轴2b =，焦距2c =，那么：222 a b c += 2 第 13 页 准线方程2 a x c = （a 方除以c ） 准焦距p ：焦点到准线的距离：2 b p c = （b 方除以c ） 3通径等于2 e p
7、 ，切线方程用代替 双曲线的通径 d ：过焦点垂直于长轴的直线与双曲线的两交点之间 的距离称为双曲线的通径.（通径22 c b 2b 2a c a d 2ep =?=） 过双曲线上000P x y (,)点的切线方程，用000P x y (,)等效代替双曲线方程 得到，等效代替后的是切线方程是：0022x x y y 1a b -= 4焦三角形计面积，半角余切连乘b 焦三角形：以双曲线的两个焦点12F F ,为顶点，另一个顶点P 在椭圆上的三角形称为焦三角形.半角是指12F PF =的一半. 双曲线22 22x y 1a b -=的左右焦点分别为12F F ,，点P 为双曲线上异于顶 点任意一
8、点12F PF =，那么双曲线的焦点三角形得志：2 122b PF PF 1cos =- 其面积为；122 F PF S b co 2t ?=. 证明：设21PF m PF n ,=，那么m n 2a -= 在12F PF ?中，由余弦定理得： 2 2 2 121212PF PF 2PF PF F F cos +-=， 即：222m n 2mn 4c cos +-?=2222 4a 4b m n 4b ()=+=-+ 即：2222 m n 2mn m n 4b cos ()+-?=-+ 即：2 2mn 2mn 4b cos -?=，即：22b mn 1(cos )=- 第 13 页 即：22b
9、 mn 1cos =-，即：2122b PF PF 1cos =- 那么，焦点三角形的面积为： 12F PF 1S mn 2sin ?=?212b 21sin cos =?- 2222b 22b 122sin cos sin cos sin =?-2b 2cot = 故：122F PF S b 2cot ?= 同时：12F PF 12P P 1S F F y c y 2?=?=?，故：2p b y c 2 cot =? 双曲线的焦点三角形的面积为：122F PF S b co 2t ?=. 三、双曲线的相关公式 切线平分焦周角，称为弦切角定理 切点连线求方程，极线定理须牢记 弦与中线斜率积，准
10、线去除准焦距 细看中点弦方程，恰似弦中点轨迹 注解： 1 弦切角定理：切线平分椭圆焦周角的外角，平 分双曲线的焦周角. 焦周角是焦点三角形中，焦距所对应的角. 弦切角是指双曲线的弦与其切线相交于双曲 线上时它们的夹角，当 弦为焦点弦时（过焦点的弦），那么切线是两 第 13 页 个焦点弦的角平分线. 如图，12F PF ?是焦点三角形，12F PF 为焦周角，PT 为双曲线的切线. 那么PT 平分12F PF . 2 若000P x y (,)在双曲线 22 2 2x y 1a b -=外，以包含焦点的区域为内，不包含焦点的区域为外，那么过0P 作双曲选的两条切线，切点为1P 、2P ，那么点0
11、P 和切点弦12P P 分别称为双曲线的极点和极线，切点弦 12P P 的直线方程即极线方程是 0022x x y y 1a b -=（称为极线定理） 3弦指双曲线内的一弦AB .中线指弦AB 的中点M 与原点O 的连线，即OAB ?得中线.这两条直线的斜率的乘积，等于准线距离 2c a x c =去除准焦距2b p c =，其结果是： 2 AB OM 2c p b k k x a ?= 4中点弦AB 的方程：在双曲线中，若弦AB 的中点为00M x y (,)，称弦AB 为中点弦，那么中点弦的方程就是： 220000 2 2 22x x y y x y a b a b - =-，它是直线方程
12、. 弦中点M 的轨迹方程：在双曲线中 ，过双曲线外一点000P x y (,)的弦 第 13 页 AB ，其AB 中点M 的方程就是22 002222x x y y x y a b a b -=-，仍为双曲线. 这两个方程有些好像，要擦亮眼睛，千万不要搞混了. 圆锥曲线必背口诀(红字为口诀)-抛物线 一、抛物线定义 抛物线，有定义，定点定线等距离 1 2 二、抛物线性质 焦点准线极点线，两臂点乘积不变 焦弦切线成直角，切点就是两端点 端点投影在准线，连结焦点垂直线 焦弦垂直极焦线，切线是角平分线 直角梯形对角线，交点就是本原点 焦弦三角计面积，半个p 方除正弦 注解： 1 抛物线的焦点和准线是
13、一对极点和极线. 抛物线方程：2y 2px =，焦点(,)p F 02，准线p p x 2=- (抛物线的顶点(,)O 00到定点(,)p F 02和定直线p p x 2=-距离相等) 焦弦：过焦点的直线与抛物线相交于两点A 和B ，那么AB 称为焦弦. 第 13 页 弦中点(,)M M M x y ，A B M x x x 2+=，A B M y y y 2+= 焦弦方程：()p y k x 2=-，k 为斜率. 2 焦点三角形两边OA 和OB 的点乘积为定值，且夹角是钝角. 证明：焦弦AB 得志的条件 ()2y 2px p y k x 2 ?=?=-? ()22p k x 2px 2-=?
