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1、本文格式为Word版，下载可任意编辑高二数学两条直线位置关系 11.3两条直线位置关系 上海市控江中学 王蕙萱 一、教学内容分析 本小节的内容大致可以分为两片面：一是两条直线的交点、位置关系；二是两条直线的夹角.预计需要三课时:第一课时, 两条直线的交点和位置关系; 其次课时, 两条直线的夹角; 第三课时,两直线的位置关系与夹角公式的应用. 在初中平面几何中研究过两条直线的关系.在本小节的教学中，我们用代数方法，在平面直角坐标系中，研究怎样用直线的方程来判断两条直线的位置关系，表达了解析几何用方程研究曲线的根本思想. 本小节的重点是由直线方程求两条直线的交点、两条直线位置关系的判断，以及根据直
2、线方程求两条直线夹角的方法.在熟悉直线与直线方程的对应关系的根基上，抓住“形与数”的对应，理解求两条直线的交点就是求它们的方程的公共解，将两条直线位置关系的问题转化为相应的二元一次方程组的解的个数问题，由此得出两条直线的三种位置关系：相交、平行、重合，对于相应的二元一次方程组就是：有唯一解、无解、多数多个解. 然后对两直线相交的处境作定量的研究，规定两条相交直线所交成的锐角或直角为两条相交直线的夹角，通过分析两条相交直线的图形的几何性质，联想两条直线的夹角与两条直线的方向向量的夹角的关系，推导出两条直线的夹角公式. 本小节的难点是启发学生把研究两直线的位置关系问题转化为测验它们的方程组成的方程
3、组的解的问题，以及两条直线的夹角公式的推导.突破难点的关键是：建立新旧学识的联系，探索新学识的生长点，利用数形结合使学生理解“形与数”之间的联系，以及利用数量关系处理几何关系的方法. 对直线方程的系数中含有未知数的两直线的位置关系的分类议论是本小节的一个重点问题，也是一个难点问题. 二、教学目标设计 理解两条直线的交点就是它们所对应的一次方程组的解，会求两条相交直线的交点；掌管根据方程组解的处境判断两条直线平行、相交或重合的方法；理解两条直线的位置关系在它们的方向向量及其法向量的关系上的反映，理解“形”与“数”之间的联系.通过对两直线位置关系的议论，运用已有学识解决新问题的才能，提高运用数形结
4、合、分类议论等思想方法的才能. 三、教学重点及难点 求两条直线的交点，掌管判断两条直线的位置关系的方法；两条直线的位置关系与相应的方程组的解的个数之间的对应. 四、教学用具打定 多媒体设备 五、教学流程设计 情境引入 两条直线的位置关系 （相交、平行、重合） 两条直线的交点坐标 问题引出如何用直线方程判断两直线的位置关系 两条直线的位置关系与方程组的解的关系 运用与深化(概念辨析、例题解析、稳定练习、问题拓展) 课堂小结并布置作业 六、教学过程设计 一、情境设置，导入新课 用大屏幕打出直角坐标系中的两条直线，移动两条直线，让学生查看这两条直线的位置关系. 斟酌并回复以下问题 1、平面上两条直线
5、有几种位置关系？各有什么几何特征？ 解答：两条直线有三种位置关系：相交、平行、重合. 从几何特征上看：相交?有唯一的公共点；平行?没有公共点；重合?至少有两个公共点，进而有多数个公共点. 说明 通过教具演示，巩固直观性，扶助学生急速切实地察觉两条直线的关系，由此引出新课,为进一步的研究作好铺垫.并指出，垂直是相交的一种特殊处境. 2、在直角坐标系中，这三种位置关系在直线方程上是怎样表达的呢？ 说明 通过对已有相关学识的回想，自然地提出此问题（暂不要学生回复），给出下面的引例，引导学生来到新学识的生成场景中.让学生带着问题学习，明确了本节课的学习目标，促进学生学习的主动性. 二、学习新课 关于两
6、直线的交点、位置关系 1、概念引入 引例：解以下方程组： ?2x?6y?3?0?2x?6y?0?3x?4y?2?0?（1）?；（2）?；（3）?11 11y?x?y?x?2x?y?2?0?3232?然后，请你回复：上述方程组所表示的两条直线的交点个数？假设两直线相交于一点，这一点与这两条直线的方程有何关系？ 解答：由直线方程的概念，我们知道 方程组（1）有唯一的解?x?2，两条直线有且只有一个公共点为(?2,2)； ?y?2方程组（2）有多数组解，两条直线有多数个公共点； 方程组（3）无解，两条直线无公共点. 说明 启发学生查看，并得出如下结论：方程组（1）（3）的解的个数与其表示的两条直线的
7、交点个数是一致的；方程组（1）的解就是两条直线的交点坐标.并根据上述实例，引导学生由特殊到一般，从概括到抽象归纳出两条直线的位置关系与方程组的解的关系.在探索概念阶段, 让学生体验从直观到抽象、从特殊到一般、从感性到理性的认知过程，使得学生对概念的熟悉不断深入. 2、概念形成 一般地，设两条直线的方程分别为 l1：a1x?b1y?c1?0（a1,b1不全为零）? l2：a2x?b2y?c2?0（a2,b2不全为零）? 两条相交直线的交点坐标 斟酌并回复：如何求直线l1、l2的交点？ 解答：由直线与直线方程的对应关系，若两条直线相交，由于交点同时在两条直线上，那么交点的坐标确定是两个方程的唯一公
8、共解，反之，若两个二元一次方程只有一个公共解，那么以这个解为坐标的点必是两条直线的交点.由此得出直线l1、l2交点的求法： 联立l1与l2的方程:?a1x?b1y?c?0?()，此方程组的解,即为直线l1、l2交点. ?a2x?b2y?c?0? 两条直线的位置关系与方程组的解的个数之间的关系 斟酌并回复：由方程如何判断直线l1、l2的位置关系？ 解答：由引例分析、归纳出：直线l1、l2的三种位置关系：相交、平行、重合，对于直线l1、l2的方程联立的方程组是：有唯一解、无解、多数多个解因此我们可以通过议论方程组的解的个数得出直线l1、l2的位置关系. ?a1x?b1y?c?0联立l1与l2的方程
9、，得方程组:?()，此方程组的解的个数与直线l1、 ax?by?c?02?2l2交点的个数一致.计算由方程的系数构成的行列式:D?Dy?a1a2?c1?c2a1a2a1a2b1b2，Dx?c1?c2b1b2， .那么 当D?x?b1?0时，方程组()有唯一的解为?b2?y?DxD，此时l、l相交于一点， 21DyD?DxDy?交点坐标是?D,D?. ?当D?a1a2b1b2?0且Dx,Dy中至少有一个不为零时，方程组()无解，此时l1、l2没 有公共点，即直线l1与l2平行. 当D?Dx?Dy?0时，方程组()有无穷多个解，此时l1、l2有多数多个公共点，即直线l1与l2重合. 说明这个问题是
10、本节课的中心议题，应引导全班学生积极思维，让多一点学生发表观法，形成“高潮”；指出：在平面几何中，我们研究两直线的位置关系时，不考虑两条直线重合的处境，而在解析几何中，由于两个不同的方程可以表示同一条直线，我们把重合也作为两直线的一种位置关系来研究. ? 回到引例 请学生用上述结论，判断引例中三组直线的位置关系. 说明 与引例前后响应.本环节的设计目的是使学生初步掌管判断直线位置关系的方法：通过计算由直线方程的系数构成的行列式D、Dx、Dy的值，判断两直线的平行、重合、相交. 通过引例（2）（3）指出，前提条件是直线方程为一般形式. 3、概念的辨析 ? 两条直线的位置关系与其方程的系数之间的关
11、系: l1与l2相交?方程组()有唯一解?D?0即a1b2?a2b1； l1与l2平行?方程组()无解?D?0且Dx,Dy中至少有一个不为零； l1与l2重合?方程组()有无穷多解?D?Dx?Dy?0. ? D?a1a2b1b2?0时，l1与l2平行或重合，即D?a1a2b1b2?0是l1与l2平行的必要 非充分条件.换言之，a2b1?a1b2 l1l2；若两条直线不重合，那么a1b2?a2b1?l1/l2 说明 引导学生得出：两条直线的位置关系，可以通过计算系数构成的行列式得到；对易出错的概念举行反思. 4、例题分析 例1已知直线l1：y?a1x?与l2：2x?(a?1)y?1?0，求实数a的值，使直线l1与l233平行.（补充例题） 解：先把直线l1的方程化为一般形式l1：ax?3y?1?0. ?l1/l2,由D?0,a(a?1)?6?0，解得a?3或a?2， 当a?3时两方程化为?3x?3y?1?0与2x?2y?1?0鲜明平行； 7
