本文格式为Word版，下载可任意编辑第5章 两自由度系统的振动 第5章 两自由度系统的振动 应用单自由度系统的振动理论，可以解决机械振动中的一些问题但是，工程中有好多实际问题务必简化成两个或两个以上自由度，即多自由度的系统，才能描述其机械振动的主要特征多自由度系统的振动特性与单自由度系统的振动特性有较大的区别，例如，有多个固有频率、主振型、 主振动和多个共振频率等本章主要介绍研究两自由度系统机械振动的根本方法 如图5-1所示平板代表车身，它的位置可以由质心C偏离其平衡位置的铅直位移z及平板的转角? 来确定这样，车辆在铅直面内的振动问题就被简化为一个两自由度的系统 图5-1车辆模型 5.1 双质量弹簧系统的自由振动 5.1.1 运动微分方程 图5-2(a)表示两自由度的弹簧质量系统略去摩擦力及其它阻尼，以它们各自的静平衡位置为坐标x1、x2的原点，物体离开其平衡位置的位移用x1、x2表示两物体在水平方向的受力图如图5-2(b)所示，由牛顿其次定律得 ?1?(k1?k2)x1?k2x2?0?m1?x??2?k2x1?k2x2?0m2?x?图5-2两自由度的弹簧质量系统 (5-1) 这就是两自由度系统的自由振动微分方程。
习惯上写成以下形式 ??1?ax1?bx2?0?x? (5-2) ??2?cx1?dx2?0?x鲜明此时 a?k1?k2,m1b?k2,m1c?d?k2 m2但对不同的系统， 式(5-2)中各系数的意义并不一致 1 5.1.2 固有频率和主振型 根据微分方程的理论，设方程(5-2)的解，即两自由度无阻尼自由振动系统的解为 或写成以下的矩阵形式 ?x1??A1??????????sin(pt??) ??x2????A2??x1?A1sin(pt??)??? x2?A2sin(pt??)??(5-3) (5-4) 将式(5-4)代入式(5-2)，可得代数齐次方程组 ?a?p2???c?b??A1??0????? 2??d?p??A2??0?(5-5) 保证式(5-5)具有非零解的充分必要条件是式(5-5)的系数行列式等于零，即 开展后为 ?(p)?2a?p2?c?bd?p2?0 p4?(a?d)p2?ad?bc?0 (5-6) 式(5-6)唯一确定了频率p得志的条件，通常称为频率分程或特征方程。
它是p2的二次代数方程，它的两个特征根为 2p1,2a?d?a?d??????(ad?bc) 22??a?d?a?d??????bc 2?2?22 (5-7) 由于式(5-7)确定的p2的两个正实根仅取决于系统本身的物理性质，与运动的初始条件无关，因此p称为系统的固有频率较小的一个称为第一阶固有频率，较大的一个称为其次阶固有频率 5.2.2 主振型 将固有频率p1和p2分别代入式(5-5)的任一式，可得到对应于它们的振幅比 2 (1)A2a?p12c??1?(1)???bA1d?p12?? (2)2Aa?p2c??2?2??2?bA1(2)d?p2?(5-8) 以上二式说明，虽然振幅的大小与振动的初始条件有关，但当系统以任一阶固有频率作同步谐振动 时，振幅比却和固有频率一样只抉择于系统本身的物理性质同时联系到式(5-3)不难看出两个质量块任意瞬时位移的比值 x2x1也同样是确定的，并且等于振幅比，即： (1)x2??1,x1(1)(2)x2??2 (5-9) x1(2)其它各点的位移那么都可以由x1和x2所抉择。
这样在振动过程中，系统各点位移的相比较值都可由振幅比确定也就是说，振幅比抉择了整个系统的振动形态，因之称为主振型与p1对应的振幅比?1称为第一阶主振型，与p2对应的振幅比?2称为其次阶主振型 将式(5-7)中的p1、p2之值带入式(5-8)，得 1?a?d?1???b?2?1?a?d?2???b?2?2??a?d????bc??0??2??????? 2???a?d????bc??0???2????(5-10) 这说明，系统以频率p1振动时，质量m1与m2按同一方向运动；以频率p2振动时，总是按相反的方向运动 系统以某一阶固有频率按其相应的主振型运动，称为系统的主振动第一阶主振动为 (1)x1?A1(1)sin(p1t??1)(1)x2?(1)A2sin(p1t??1)??(1)1A1sin(p1t??1) (5-11) 其次阶主振动为 (2)x1?A1(2)sin(p2t??2)(2)x2?(2)A2sin(p2t??2)??(2)2A1sin(p2t??2) (5-12) 可见系统作主振动时，各点同时经过平衡位置和最大偏离位置，以确定的频率和振型作简谐振动。
但务必指出，并非任何处境下系统都可能作主振动 根据微分方程理论，两自由度系统的自由振动微分方程(5-1)的通解，是它的两个主振动的线性组合，即 (1)(2)x1(t)?x1?x1?A1(1)sin(p1t??1)?A1(2)sin(p2t??2)x2(t)?(1)x2?(2)x2??? (1)(2)??1A1sin(p1t??1)??2A1sin(p2t??2)??(5-13) 上式可以写成如下的矩阵形式，即 3 ?A1(2)??x1??A1(1)?sin(p1t??1)??sin(p2t??2) ????(1)?(2)?x?2???1A1???2A1?(5-14) (1)(2)式中A1,A1,?1,?2由运动的初始条件确定所以一般处境下，系统的自由振动是两个不同频率 的主振动的叠加，其结果不确定是简谐振动 例5-1 试求图5-3(a)所示两个自由度系统振动的固有频率和主振型已知各弹簧的弹簧常量k1＝k2＝k3＝k，物体的质量m1＝m，m2＝2m 解：（1）建立运动微分方程式 分别以两物体的平衡位置为坐标原点，取两物体离开其平衡位置的距离x1、x2为广义坐标，两物体沿x方向的受力图如图5-3(b)所示，它们的运动微分方程分别为 m?x?1?2kx1?kx2?02m?x? 图5-3两自由度系统 2?kx1?2kx2?0若写成(5-2)的标准形式，那么 a?2km,b?km,c?k2m,d?km 所以 2 p2?a?d31,22???a?d??2???bc?k2m?(k2m)2?k23k3k2m2?2m?2m 解出，p2k2k1?0.634m,p2?2.366m。
因此，系统的第一阶和其次阶固有频率为 p0.634k2.366k.k1?m?0.796km,p2?m?1.538m （3）求主振型 图5-4振型图 将p221、p2分别代入式(5-26)，得 4 ?1??2?(1)A2A1(1)(2)A2a?p121??b0.732A1(2)???? 2a?p21????b2.732?? 主振型为 A(1)(1)?A2??1???(1)????,0.732A??1??A(2)(2)?A2??1???(2)???? ?2.732A??1??系统的振型图如图5-4所示图(a)说明在第一主振型中二物体的振动方向是一致的；图(b)说明在其次主振型中二者的振动方向是反相的，并且弹簧上的A点是不动的，这样的点称为节点 例5-2 在图示5-3所示系统中，已知m1?m2?m,k1?k3?k,k2?4k，求该系统对以下两组?10?x?20?0；（2）t?0,x10?1cm, 初始条件的响应：（1）t＝0，x10＝1cm，x20?x?10?x?20?0 x20??1cm,x解：系统的的运动微分方程分别为 ?1?5kx1?4kx2?0m?x ?2?4kx1?5kx2?0m?x若写成(5-2)的标准形式，那么 a?d?所以 5k,m b?c?4k, mp12,2a?d5k4k?a?d? ??????bc?2mm?2?22解出，p1?k,m2p2?9k。
m?a?p12?1?(1)??1?bA1?? (2)2Aa?p2??2?2???1?(2)bA1?(1)A2对应的两个主振型为 将初始条件（1）代入式(5-10)，解得 x10x20?10x?20x ?A1(1)sin?1?A1(2)sin?2?1??1A1(1)sin?1??2A1(2)sin?2?0 ?A1(1)p1cos?1?A1(2)p2cos?2?0?A1(1)?1p1cos?1?A1(2)?2p2cos?2?05 — 8 —。