本文格式为Word版，下载可任意编辑第2讲 手拉手模型（教师版） 第4讲 手拉手模型 一 “手拉手”数学模型： EBAOCFDHEFEOADOABCBC⑴ ⑵ ⑶ 例1 如图，等边三角形ABE与等边三角形AFC共点于A，连接BF、CE， 求证：BF=CE并求出?EOB的度数. 例1解：∵△ABE、△AFC是等边三角形 ∴AE=AB，AC=AF，?EAB??FAC?60? AE∴?EAB??BAC??FAC??BAC GO即?EAC??BAF B∴△AEC≌△ABF ∴BF=EC ?AEC??ABF 又∵?AGE??BGO ∴?BOE??EAB?60? ∴?EOB?60? 例2 如图，正方形BAFE与正方形ACGD共点于A，连接BD、CF，求证：BD=CF并求出 ?DOH的度数. D解：先证明△ABD≌△AFC ∴BD=FC，?BDA??FCA FO∵?DHO??CHA HE∴?DOH??CAD?90? A例3 如图，已知点C为线段AB上一点，△ACM、△BCN是等边 BC三角形． ⑴ 求证：AN?BM. ⑵ 将△ACM绕点C按逆时针方向旋转180°，使点A落在CB上，请你对照原题图在图中画出符合要求的图形； ⑶ 在⑵得到的图形中，结论“AN?BM”是否还成立，若成立，请证明；若不成立，请说明理由； ⑷ 在⑵所得的图形中，设MA的延长线交BN于D，试判断△ABD的外形，并证明你的结论． N N M BABCC FCGa) 这是一个固定后运动变化的探索题，且在确定的条件下，探究原结论的存在性（不 变性）； 需要画图分析、判断、揣摩、推理论证． 例3 ⑴ ∵△ACM、△BCN是等边三角形 ∴AC?CM，BC?CN ?ACM??BCN?60° ∴?ACN??MCB N在△ACN和△MCB中 ?AC?MC???ACN??MCB ?CN?CB?B∴△ACN≌△MCB（SAS） ∴AN?BM M⑵ 将△ACM绕点C旋转如图： N⑶ 在⑵的处境，结论AN?BM依旧成立． 证明：∵?BCM??NCA?60°，CA?CM，CN?CB． D∴△CAN≌△CMB（SAS），∴AN?MB． ⑷ 如图，延长MA交BN于D，那么△ABD为等边三角形． 证明：∵?CAM??BAD??ABD?60°． AC∴△ABD是等边三角形． 2旋转全等构图：“手拉手”全等模型探究 M【探究一】“手拉手”模型根本构图； 如图1，若?ABC与?ADE旋转全等，那么必有?ABD与?ACE为两个顶角相等的等腰三角形（即好像的等腰三角形）； 反之，如图2，若有两个顶角相等的等腰三角形?ABD与?ACE共顶角顶点，那么必有?ABCCAB与?ADE旋转全等；而图2正是“手拉手”模型的根本构图； AEAEBDC图1BDC图2 【探究二】将探究一中的普遍等腰三角形换成特殊的图形，例如等边三角形、等腰直角三角形、正方形，然后再探究结论如何变化； DDCCGDCFB图3AEBA图4EBA图5E 如图3、图4、图5，当两个等边三角形、等腰直角三角形、正方形共顶点时，?ABC与?ADE依旧旋转全等，并且有两个共同的结论； 结论1：?ABC≌?ADE；BC?DE； 结论2：BC与DE所夹锐角等于两个等腰三角形的顶角；（倒角方法如下图6、图7、图8的八字模型） DDCCGDCFB图6AEBA图7EBA图8E 【探究三】将探究二中的特殊图形旋转后结论是否依旧成立； 如下图9、图10、图11易得探究二中的两个结论依旧成立； DDCCEGCDFEB图9AEBA图11BA图10 【探究四】深化探究二中图3的结论； 如图12，可得 结论1：?ABC≌?ADE；BC?DE； 结论2：?BOD??COE??BAD??CAE?60?； 结论3：如图12、图13、图14，可得三对三角形全等（?ABC≌?ADE；?AHD≌?AGB；?AGC≌?AHE） DDDGB图12AOCHEBGA图13OCHEBGA图14OCHE 结论4：如图15，连接GH，可得?AGH为等边三角形；（由结论3可得AG?AH） DDGB图15AOCHEBMA图16OCNE 结论5：GH∥BE；（由结论4可得?AGH??BAD?60?） 结论6：连接AO，可得AO平分?BOE；（如图16，分别作AM?BC、AN?DE，AM与AN分别是全等三角形?ABC与?ADE对应边BC和DE上的高，故相等） D三 练习 A1 如图，DA⊥AB，EA⊥AC，AD=AB，AE=AC，那么以下正确 FSE的是（ ） M A. △ABD≌△ACE B. △ADF≌△AES BC. △BMF≌△CMS D. △ADC≌△ABE C1D 2 如图，正五边形ABDEF与正五边形ACMHG共点于A，连接BG、CF，那么线段BG、CF具有什么样的数量关系并求出?GNC的度数． H2先证△ABG≌△AFC GFENPMDA 可得BG=CF，?ACF??AGB ∵?NPG??APC ∴?GNC??GAC?108? EB3如图，等腰直角△ADB与等腰直角△AEC共点于A，连接BE、CCD，那么线段BE、CD具有什么样的数量关系和位置关系 D3先证明△ABE≌△ADC O∴BE=CD，再类似例1倒角即可得到BE⊥CD ACB C为线段AB上一点，CB为边在AB同侧作等边△ACD和等边△BCE，4如图，分别以AC、 AE交DC于G点，DB交CE于H点，求证：GH∥AB． E D HG ABC 4此题中，△ACD与△BCE是等边三角形，因此AC?CD，BC?CE， ?ACD??ECB?60°，由于A、C、B在同一条直线上，故?DCE?60°．这样可 以得到△ACE≌△DCB，?AEC??DBC，故可以得到△CEG≌△CBH，那么GC?HC，?CGH??CHG?60°，所以?ACG??CGH?60°，故GH∥AB． 4∵△ACD和△BCE是等边三角形（已知） ∴AC?CD，BC?CE（等边三角形的各边都相等） ?ACD??BCE?60°（等边三角形的每个角都等于60°） ∵?ACD??DCE??BCE?180° ∴?DCE?60°，?ACE??DCB?120°． ?AC?DC?在△ACE和△DCB中，??ACE??DCB ?CE?CB?∴△ACE≌△DCB（SAS） ∴?AEC??DBC（全等三角形的对应角相等） ??BCH??ECG?60°?在△BCH和△ECG中，?BC?CE ??CBH??CEG?∴△BCH≌△ECG（ASA） ∴CH?CG（全等三角形的对应边相等） ∴?CGH??CHG（等边对等角） ∵?GCH??GHC??CGH?180°（三角形内角和定理） ∴?GHC??CGH?60°． ∴?ACG??CGH?60°（等量代换） ∴GH∥AB（内错角相等，两直线平行） 5已知：在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D为射线BC上一动点，连结AD，以AD为 一边且在AD的右侧作正方形ADEF． （1）当点D段BC上时（与点B不重合），如图1，求证：CF＝BD （2）当点D运动到线段BC的延长线上时，如图2，第（1）问中的结论是否依旧成 立，并说明理由. 5证明：（1）∵正方形ADEF ∴AD＝AF，∠DAF＝90° ∴∠DAF－∠DAC＝∠BAC－∠DAC，即∠BAD＝∠CAF 在△ABD和△ACF中， ?AB?AC? ??BAD??CAF ?AD?AF? ∴△ABD≌△ACF（SAS） ∴BD＝CF （2）当点D运动到线段BC的延长线上时，仍有BD＝CF 此时∠DAF＋∠DAC＝∠BAC＋∠DAC，即∠BAD＝∠CAF 在△ABD和△ACF中， ?AB?AC? ??BAD??CAF ?AD?AF? ∴△ABD≌△ACF（SAS） ∴BD＝CF — 8 —。