本文格式为Word版，下载可任意编辑九年级数学上册专题突破讲练特殊角的锐角三角函数值及其计算试题 特殊角的锐角三角函数值 特殊角的三角函数值 三角函数 角度α 30° 45° 60° sinα 1 22 23 2cosα 3 22 21 2tanα 3 31 3 方法归纳：（1）解有关等边三角形、等腰直角三角形及与30°、45°、60°角相联系的其他三角形问题时，往往要用特殊角的三角函数值 （2）务必纯熟掌管特殊角的三角函数值，既能由角求三角函数值，又能由三角函数值求角 （3）正弦、正切值随锐角度数的增大（或减小）而增大（或减小），余弦值随锐角度数的增大（或减小）而减小（或增大） 总结： 1. 特殊角三角函数在计算及应用题里广泛使用，应理解概念并纯熟应用 2. 能够解决含特殊角的三角函数问题，并能根据三角函数值求角的度数 例题1 如下图，已知直线y＝3x＋3，求这条直线与x轴的夹角（锐角） yBAOx 解析：直线与x轴、y轴相交围成一个直角三角形，然后根据直线与x轴、y轴交点坐标即可求解 答案：设y＝3x＋3与x轴、y轴交点为A、B两点，那么A（－1，0）、B（0，3），∴OA OB ＝1，OB＝3．∴tan∠BAO＝＝3，∴∠BAO＝60°。
OA 答：直线与x轴夹角（锐角）为60° 点拨：此题关键利用Rt△AOB来求出OA、OB，进而求出∠BAO的正切值，结果求出度数，是已知两边求度数的一种常用方法 例题2 已知：如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是AC上一点，∠ABD＝∠C，直线 AC EF过点D，与BA的延长线相交于F，且EF⊥BC，垂足为E探索：设＝t，若△ADF∽△EDB， AB试求t的值 1 FADBEC 解析：t的值就是△ABC两边的比值，所以我们可以考虑通过好像三角形和其它特殊图形求出AC与AB的数量关系，再求其比值或者能求出∠ABC或∠C的度数也可以，由于∠BAC＝90°，在直角三角形中利用三角函数求t值 答案：∵∠BAC＝90°，EF⊥BC，∠ADF＝∠CDE，∴∠F＝∠C ∵∠ABD＝∠C，∴∠F＝∠ABD ∵△ADF∽△EDB，∴∠F＝∠EBD，∴在Rt△ABC中，∠C＝∠ABD＝∠EBD，又∠C＋∠ABD＋∠EBD＝90°，∴∠C＝∠ABD＝∠EBD＝30°，∴∠ABC＝60° AC ∴＝tan∠ABC＝3，即t＝3。
AB 点拨：此题中t值是∠C的正切值，所以需要求出∠C的度数．要求一个角的度数，更加是在没有已知度数的角的处境下，应考虑利用三角形内角和或特殊的三角形、四边形来求利用三角形内角和时，这三个内角务必具有倍分关系，才能转化成一元一次方程求出角的度数，此题中是证明的三个角相等且和为90° 锐角三角函数是角的度数与线段的长度之间相互转化的重要工具，是解决三角形边角关系的常用数学方法在中考试题中对特殊角三角函数的测验有的直接测验，以填空题和选择题的形式展现，一般对比轻易；有的融入到其他学识或题型中间接测验，如三角形、四边形、圆等，常以解答题、操作说明题、阅读题等形式展现，综合性较强，难度较 总分值训练 阅读下面的材料，先完成阅读填空，再按要求答题： 1322 sin30°＝，cos30°＝，那么sin30°＋cos30°＝__________①； 22sin45°＝sin60°＝…… 查看上述等式，揣摩：对任意锐角A，都有sinA＋cosA＝__________④ （1）如图，在锐角三角形ABC中，利用三角函数的定义及勾股定理对∠A证明你的揣摩； 2 2 2222 ，cos45°＝，那么sin45°＋cos45°＝__________②； 223122 ，cos60°＝，那么sin60°＋cos60°＝__________③； 22 2 BAC 3 （2）已知：∠A为锐角（cosA＞0）且sinA＝，求cosA。
5 BDAD 解析：（1）证明：过点B作BD⊥AC于D，在Rt△ADB中，sinA＝，cosA＝，由勾 ABAB 22 BD2AD2BD+AD22222 股定理得，BD＋AD＝AB，∴（）＋（）＝＝1，∴sinA＋cosA＝1；（2）∵∠2 ABABAB34222 A为锐角（cosA＞0），sinA＝，sinA＋cosA＝1，∴cosA＝1－sinA＝ 55点拨：此题属于阅读理解题，读懂题意，弄清题目所给的定义和规律是解答这类问题的 sinA22 关键比此题中可总结出同角的三角函数关系，sinA＋cosA＝1，类似的还有tanA＝等 cosA （答题时间：30分钟） 一、选择题 1. 式子2cos30°－tan45°－（1－tan60°）的值是（ ） A. 23 B. 0 C. 23 D. 2 2. 如下图，矩形ABCD中，AB＝1，BC＝3，AC与BD相交于O，那么tan∠AOB等于（ ） 33 A. 3 B. C. 1 D. 32 AD2 O *3. 如下图是类似“羊头”的图案，它左右对称，由正方形、等腰直角三角形构成，假设标有数字“13”的正方形的边长是2，那么标有数学“2”的等腰直角三角形斜边的长是（ ） A. 2 B. 22 C. 2 3 D. 2 BC 3 65432178910111213 **4. 如图，在半径为1的⊙O中，∠AOB＝45°，那么sinC的值为（ ） A. 2 2 B. 2－2 2 C. 2＋2 2 D. 2 4 二、填空题 5. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝2BC，现给出以下结论：①sinA＝③tanA＝31；②cosB＝；22 3 ；④tanB＝3，其中正确的结论是__________（只需填上正确结论的序号）。
3 *6. △ABC中，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边已知a＝10，b＝3＋2，c＝3－2，那么bsinB＋csinC的值是__________ *7. 如图，Rt△ABC中，∠A＝90°，AD⊥BC于点D，若BD：CD＝3：2，那么tanB＝__________ **8. 如下图，已知l1∥l2∥l3，相邻两条平行直线间的距离相等，若等腰直角三角形ABC的三个顶点分别在这三条平行直线上，那么sinα的值是__________ CBαl1l2l3 A 三、解答题 4 9. 已知a是锐角，且sin（α＋15°）＝1?1 ＋））的值 3 30 ，计算8－4cosα－（π－3.14）＋tanα2 **10. 对于钝角α，定义它的三角函数值如下： sinα＝sin（180°－α），cosα＝－cos（180°－α） （1）求sin120°，cos120°，sin150°的值； （2）若一个三角形的三个内角的比是1：1：4，A、B是这个三角形的两个顶点，sinA、cosB是方程4x－mx－1＝0的两个不相等的实数根，求m的值及∠A和∠B的大小。
**11. 如图，风车的支杆OE垂直于桌面，风车中心O到桌面的距离OE为25cm，小小风车在风吹动下围着中心O不停地转动，转动过程中，叶片端点A、B、C、D在同一圆O上，已知⊙O的半径为10cm （1）风车在转动过程中，当∠AOE＝45°时，求点A到桌面的距离（结果留存根号） （2）在风车转动一周的过程中，求点A相对于桌面的高度不超过20cm所经过的路径长（结果留存π） 2 **12. 现场学习：我们知道，若锐角α的三角函数值为sinα＝m，那么可通过计算器得到角α的大小，这时我们用arc sin m来表示α，记作：α＝arc sin m；若cos α ＝m，那么记α＝arc cos m；若tan α＝m，那么记α＝arc tan m 解决问题：如图，已知正方形ABCD，点E是边AB上一动点，点F在AB边或其延长线上，点G在边AD上连接ED、FG，交点为H （1）如图1，若AE＝BF＝GD，请直接写出∠EHF＝__________°； 22 （2）如图2，若EF＝CD，GD＝AE，设∠EHF＝α请判断当点E在AB上运动时，∠EHF 55的大小是否发生变化？若发生变化，请说明理由；若不发生变化，苦求出α。
AEGHDAHGDBF图1CEBF图2C 5 3 1. B 解析：原式＝2×－1－（3－1）＝3－1－3＋1＝0．应选B 2 2. A 解析：由于ABCD是矩形，所以AO＝BO，那么∠OAB＝∠OBA∵AB＝1，BC＝3，∴tan∠CAB＝3，∴∠CAB＝60°，∴∠OBA＝∠OAB＝60°∴∠AOB＝180°－60°－60°＝60°，tan∠AOB＝tan60°＝3 3. B 解析：可利用勾股定理或三角函数从标有“13”的正方形开头倒序计算至标有“2”的等腰直角三角形的斜边长 4. B 解析：过点A作AD⊥OB于点D，∵在Rt△AOD中，∠AOB＝45°，∴OD＝AD＝ 22222 OA?cos45°＝×1＝，∴BD＝OB－OD＝1－，∴AB＝AD+BD＝2－2，∵AC是⊙O 222AB2＋2 的直径，∴∠ABC＝90°，AC＝2，∴sinC＝＝，应选B AC2 BC1 5. ②③④ 解析：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝2BC，∴sinA＝＝，故①错误；AB2 1 ∴∠A＝30°，∠B＝60°，∴cosB＝cos60°＝，故②正确；∵∠A＝30°，∴tanA＝tan30° 2＝ 3 ，故③正确；∵∠B＝60°，∴tanB＝tan60°＝3，故④正确。
3 2 2 2 6. 10 解析：不难验证，a＝b＋c，所以△ABC是直角三角形，其中a是斜边，bsinB bcc2＋b2a2 ＋csinC＝b·＋c·＝＝＝a＝10 aaaa6 解析：在Rt△ABC中，∵AD⊥BC于点D，∴∠ADB＝∠CDA，∵∠B＋∠BAD＝90°，3 BDAD ∠BAD＋DAC＝90°，∴∠B＝∠DAC，∴△ABD∽△ACD，∴＝，∵BD：CD＝3：2，设BD ADDC7. AD6x6 ＝3x，CD＝2x，∴AD＝3x·2x＝6x，那么tanB＝＝＝ BD3x3 10 解析：分别过点A、B作AE⊥l1，BF⊥l1，易得△AEC≌△CFB（AAS），设平行线10 d1 间距离为d。