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1、第二节导数与函数的单调性1总纲目录教材研读函数的导数与单调性的关系考点突破考点二利用导数求函数的单调区间考点二利用导数求函数的单调区间考点一利用导数判断或证明函数的单调性考点三已知函数的单调性求参数的范围考点三已知函数的单调性求参数的范围2函数的导数与单调性的关系函数的导数与单调性的关系函数y=f(x)在某个区间内可导,(1)若f(x)0在该区间内恒成立,则f(x)在这个区间内单调递增;(2)若f(x)0在该区间内恒成立,则f(x)在这个区间内单调递减;(3)若f(x)=0在该区间内恒成立,则f(x)在这个区间内是常数函数.教材研读教材研读31.函数f(x)=cosx-x在(0,)上的单调性是
2、()A.先增后减B.先减后增C.单调递增D.单调递减答案答案D在(0,)上,f(x)=-sinx-10的解集为()A.(-,0)(1,2)B.(1,2)C.(-,1)D.(-,1)(2,+)A7答案答案A不等式xf(x)0等价于当x0时,f(x)0,即x0时,函数f(x)递增,则1x2;或当x0时,f(x)0,即x0时,函数f(x)递减,则x0),解得0 x1,所以函数的单调递减区间为(0,1.95.已知f(x)=x3-ax在1,+)上是增函数,则a的最大值是3.答案答案3解析解析f(x)=3x2-a,由题意知在1,+)上,f(x)0,即a3x2,又x1,+)时,3x23,a3,即a的最大值是
3、3.10考点一利用导数判断或证明函数的单调性考点一利用导数判断或证明函数的单调性典例典例1已知函数f(x)=(x-2)ex+a(x-1)2.讨论f(x)的单调性.考点突破考点突破解析解析f(x)=(x-1)ex+2a(x-1)=(x-1)(ex+2a).(1)设a0,则当x(-,1)时,f(x)0.所以f(x)在(-,1)单调递减,在(1,+)单调递增.(2)设a-,则ln(-2a)0;当x(ln(-2a),1)时,f(x)0.所以f(x)在(-,ln(-2a),(1,+)单调递增,在(ln(-2a),1)单调递减.若a1,故当x(-,1)(ln(-2a),+)时,f(x)0;当x(1,ln(
4、-2a)时,f(x)0时为增函数;f(x)0时为减函数.提醒提醒研究含参数的函数的单调性时,需注意依据参数取值对不等式解集的影响进行分类讨论.131-1已知函数f(x)=ax3+x2(aR)在x=-处取得极值.(1)确定a的值;(2)若g(x)=f(x)ex,讨论g(x)的单调性.14解析解析(1)对f(x)求导得f(x)=3ax2+2x,因为f(x)在x=-处取得极值,所以f=0,即3a+2=-=0,解得a=.(2)由(1)得g(x)=ex,故g(x)=ex+ex=ex15=x(x+1)(x+4)ex.令g(x)=0,解得x=0或x=-1或x=-4.当x-4时,g(x)0,故g(x)为减函数
5、;当-4x0,故g(x)为增函数;当-1x0时,g(x)0时,g(x)0,故g(x)为增函数.综上知g(x)在(-,-4)和(-1,0)内为减函数,在(-4,-1)和(0,+)内为增函数.16典例典例2(2017北京顺义二模,18)已知函数f(x)=pe-x+x+1(pR).(1)当实数p=e时,求曲线y=f(x)在x=1处的切线方程;(2)求函数f(x)的单调区间;(3)当p=1时,若直线y=mx+1与曲线y=f(x)没有公共点,求实数m的取值范围.考点二利用导数求函数的单调区间考点二利用导数求函数的单调区间17解析解析(1)当p=e时,f(x)=e-x+1+x+1,f(x)=-e-x+1+
6、1,f(1)=3,f(1)=0.曲线y=f(x)在x=1处的切线方程为y=3.(2)f(x)=pe-x+x+1,f(x)=-pe-x+1.当p0时,f(x)0,函数f(x)的单调递增区间为(-,+);当p0时,令f(x)=0,得ex=p,解得x=lnp.当x变化时,f(x),f(x)的变化情况如下表:x(-,lnp)lnp(lnp,+)f(x)-0+f(x)2+lnp18所以当p0时,f(x)的单调递增区间为(lnp,+),单调递减区间为(-,lnp).(3)当p=1时,f(x)=e-x+x+1,直线y=mx+1与曲线y=f(x)没有公共点等价于关于x的方程mx+1=e-x+x+1在(-,+)
7、上没有实数解,即关于x的方程(m-1)x=e-x(*)在(-,+)上没有实数解.当m=1时,方程(*)化为e-x=0,显然在(-,+)上没有实数解.当m1时,方程(*)化为xex=,令g(x)=xex,则有g(x)=(1+x)ex.令g(x)=0,得x=-1,则当x变化时,g(x),g(x)的变化情况如下表:19x(-,-1)-1(-1,+)g(x)-0+g(x)-当x=-1时,g(x)min=-,当x趋近于+时,g(x)趋近于+,从而g(x)的值域为.所以当-,即1-em0,解集在定义域内的部分为单调递增区间;(4)解不等式f(x)0,解集在定义域内的部分为单调递减区间.提醒写单调区间时,同
8、增(减)区间不能用“”连接.方法二:(1)确定函数y=f(x)的定义域;(2)求导数y=f(x),令f(x)=0,解此方程,求出在定义域内的一切根;21(3)把函数f(x)的间断点(即f(x)的无定义点)和上面所求的各根按由小到大的顺序排列起来,然后用这些点把函数f(x)的定义域分成若干个小区间;(4)确定f(x)在各个区间内的符号,根据符号判定函数在每个区间内的单调性.222-1(2018北京朝阳高三期中,18)已知函数f(x)=(x2-ax+a)e-x,aR.(1)求函数f(x)的单调区间;(2)设g(x)=f(x),其中f(x)为函数f(x)的导函数,判断g(x)在定义域内是否是单调函数
9、,并说明理由.23解析解析(1)函数f(x)的定义域为x|xR.f(x)=-(x-2)(x-a)e-x.当a2时,令f(x)0,解得x2,此时f(x)为减函数;令f(x)0,解得ax2时,令f(x)0,解得xa,此时函数f(x)为减函数;令f(x)0,解得2xa,此时函数f(x)为增函数.综上,当a2时,f(x)的单调递减区间为(-,2),(a,+);单调递增区间为(2,a).24(2)g(x)在定义域内不是单调函数,理由如下:g(x)=f(x)=x2-(a+4)x+3a+2e-x.记h(x)=x2-(a+4)x+3a+2,则函数h(x)的图象为开口向上的抛物线.方程h(x)=0的判别式=a2
10、-4a+8=(a-2)2+40恒成立,所以h(x)有正有负,从而g(x)有正有负.故g(x)在定义域内不是单调函数.25考点三已知函数的单调性求参数的范围考点三已知函数的单调性求参数的范围典例典例3设函数f(x)=x3-x2+bx+c,曲线y=f(x)在点(0,f(0)处的切线方程为y=1.(1)求b,c的值;(2)若a0,求函数f(x)的单调区间;(3)设函数g(x)=f(x)+2x,且g(x)在区间(-2,-1)内存在单调递减区间,求实数a的取值范围.26解析解析(1)f(x)=x2-ax+b.由题意得即(2)由(1)得f(x)=x2-ax=x(x-a),结合a0知:当x(-,0)时,f(
11、x)0;当x(0,a)时,f(x)0.所以函数f(x)的单调递增区间为(-,0),(a,+),单调递减区间为(0,a).(3)g(x)=x2-ax+2,依题意,存在x(-2,-1),使不等式g(x)=x2-ax+20成立,27即x(-2,-1)时,a=-2,当且仅当x=,即x=-时等号成立.所以满足要求的a的取值范围是(-,-2).28方法技巧方法技巧利用函数的单调性求参数的取值范围的解题思路(1)由可导函数f(x)在区间a,b上单调递增(减)可知f(x)0(f(x)0)在区间a,b上恒成立,进而列出不等式.(2)利用分离参数法求解恒成立问题.(3)对等号是否成立进行单独检验,检验参数的取值能
12、否使f(x)在整个区间上(或该区间的子区间上)恒等于0,若f(x)恒等于0,则参数的这个值应舍去;若只有在个别点(有限点)处有f(x)=0,则参数可取这个值.293-1(2017北京朝阳期中改编)已知函数f(x)=ex(x2-a),aR.(1)当a=1时,求曲线y=f(x)在点(0,f(0)处的切线方程;(2)若函数f(x)在(-3,0)上单调递减,试求a的取值范围.30解析解析由题意可知f(x)=ex(x2+2x-a).(1)因为a=1,所以f(0)=-1,f(0)=-1,所以曲线y=f(x)在点(0,f(0)处的切线方程为y-(-1)=-(x-0),即x+y+1=0.(2)因为函数f(x)在(-3,0)上单调递减,所以当x(-3,0)时,f(x)=ex(x2+2x-a)0恒成立,即当x(-3,0)时,x2+2x-a0恒成立.设函数g(x)=x2+2x-a,显然,当x(-3,-1)时,函数g(x)=x2+2x-a单调递减,当x(-1,0)时,函数g(x)=x2+2x-a单调递增.所以“当x(-3,0)时,x2+2x-a0恒成立”等价于即所以a3.31
