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1、第二节排列与组合1总纲目录教材研读1.排列与排列数考点突破2.组合与组合数3.排列数、组合数的公式及性质考点二组合问题考点二组合问题考点一排列问题考点三排列与组合的综合应用考点三排列与组合的综合应用2教材研读教材研读1.排列与排列数(1)排列:从n个不同元素中取出m(mn)个元素,按照一定的顺序排按照一定的顺序排成一列成一列,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列.(2)排列数:从n个不同元素中取出m(mn)个元素的所有不同排列所有不同排列的个数的个数,叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数,记作.32.组合与组合数(1)组合:从n个不同元素中取出m(mn)个元素合成一组,叫做从n个不同
2、元素中取出m个元素的一个组合组合.(2)组合数:从n个不同元素中取出m(mn)个元素的所有不同组合的个数,叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数组合数,记作.43.排列数、组合数的公式及性质5答案答案C从6名男医生中选出2名有种选法,从5名女医生中选出1名有种选法,由分步乘法计数原理得不同的选法共有=75种.故选C.1.有6名男医生、5名女医生,从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组.则不同的选法共有()A.60种B.70种C.75种D.150种CB62.将4个颜色互不相同的球全部放入编号为1和2的两个盒子里,且放入每个盒子里的球的个数不小于该盒子的编号,则不同的放球方法有( )A.
3、10种B.20种C.36种D.52种答案答案A分情况讨论:1号盒子里放1个球,其余3个放入2号盒子,有=4种方法;1号盒子里放2个球,其余2个放入2号盒子,有=6种方法.则不同的放球方法有10种,故选A.AB73.(2017北京房山一模,4)某中学语文老师从红楼梦平凡的世界红岩老人与海4本名著中选出3本,分给3个同学去读,其中红楼梦必选,则不同的分配方法共有()A.6种B.12种C.18种D.24种答案答案C先选取,红楼梦必选,有=3种方法;再分配,有=6种方法,故共有36=18种方法,故选C.CB84.(2017北京石景山一模,13)将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班,每个班至少分到一
4、名学生,则不同的分法有种.(用数字作答)答案答案36解析解析由题意可知,分组方案为两名学生,一名学生,一名学生,故不同的分法总数是=36种.36B9答案答案225.已知-=,则m=.解析解析由已知得m的取值范围为m|0m5,mZ,-=,整理可得m2-23m+42=0,解得m=21(舍去)或m=2.B106.若甲、乙两人从6门课程中各选修3门,则甲、乙所选的课程中恰有2门相同的选法有种(用数字作答).答案答案180解析解析先从6门中选2门,再从剩下的4门中选2门分给甲、乙,则甲、乙所选的课程中恰有2门相同,故有=180(种)情况.180B11考点一排列问题典例典例1(1)社区主任要为小红等4名志
5、愿者和他们帮助的2位老人拍照,要求排成一排,小红必须与2位老人都相邻,且两位老人不排在两端,则不同的排法种数是;(用数字作答)(2)(2014北京,13,5分)把5件不同产品摆成一排.若产品A与产品B相邻,且产品A与产品C不相邻,则不同的摆法有种;(3)(2017北京海淀零模,13)小明、小刚、小红等5个人排成一排照相合影,若小明与小刚相邻,且小明与小红不相邻,则不同的排法有种.考点突破考点突破12答案答案(1)24(2)36(3)36解析解析(1)首先将除小红外的3名志愿者排列,有种排法,然后将小红和两位老人看作一个整体插空,有种排法,最后将两位老人排列,有种排法,由分步乘法计数原理得共有=
6、24种排法.(2)记其余两件产品为D、E,A、B相邻视为一个元素,先与D、E排列,有种方法;再将C插入,仅有3个空位可选,共有=263=36种不同的摆法.(3)根据题意,分两种情况讨论:小刚与小红不相邻,将除小明、小刚、小红之外的2人全排列,有种排法,排好后有3个空位,将小明与小刚看成一个整体,考虑其顺序,有种情况,在3个空位中,任选2个,安排这个整体与小红,有种排法,13故有=24种排法;小刚与小红相邻,则三人中小刚在中间,小明、小红在两边,有种排法,将三人看成一个整体,将这个整体与其余2人进行全排列,有种排法,故有=12种排法.所以共有24+12=36种排法.14方法技巧方法技巧1.求解有
7、限制条件排列问题的主要方法选定一个适当的分类标准,将要完成的事件分成几个类型,分别计算每个类型中的排列数,再由分类加法计数原理得出总数选定一个适当的标准,将事件分成几个步骤来完成,分别计算出各步骤的排列数,再由分步乘法计数原理得出总数捆绑法相邻问题捆绑处理,即可以把相邻元素看作一个整体与其他元素进行排列,同时注意捆绑元素的内部排列插空法不相邻问题插空处理,即先考虑不受限制的元素的排列,再将不相邻的元素插在前面元素排列后的空中除法对于定序问题,可先不考虑顺序限制,排列后,再除以已定元素的全排列间接法对于分类过多的问题,利用正难则反,等价转化的方法152.解决有限制条件排列问题的策略(1)根据特殊
8、元素(位置)优先安排进行分步,即先安排特殊元素或特殊位置.(2)根据特殊元素当选数量或特殊位置由谁来占进行分类.161-1(2018北京东城期中,13)将A、B、C、D、E、F六个字母排成一排,且A、B均在C的同侧,则不同的排法共有种(用数字作答).答案答案480480解析解析按C的位置分类,当C在左边第1个位置时,有=120种排法,当C在左边第2个位置时,A和B有C右边的4个位置可选,有=72种排法,当C在左边第3个位置时,有+=48种排法,共有120+72+48=240种排法,故不同的排法共有2402=480种.B17典例典例2某课外活动小组共13人,其中男生8人,女生5人,并且男、女生各
9、有一名队长.现从中选5人主持某种活动,依下列条件各有多少种选法?(1)只有一名女生当选;(2)两队长当选;(3)至少有一名队长当选;(4)至多有两名女生当选.考点二组合问题18解析解析(1)只有一名女生当选等价于有一名女生和四名男生当选.故共有=350种.(2)两队长当选,共有=165种.(3)至少有一名队长当选含有两类:只有一名队长当选,有两名队长当选.故共有+=825种.(或采用排除法:-=825(种)(4)至多有两名女生当选含有三类:有两名女生当选,只有一名女生当选,没有女生当选.故选法共有+=966种.19方法技巧方法技巧组合问题的常见类型及处理方法(1)“含有”或“不含有”某些元素的
10、组合题型:“含有”,则先将这些元素取出,再由其他元素补足;“不含有”,则先将这些元素剔除,再从剩下的元素中选取.(2)“至少”或“最多”含有几个元素的组合题型:解这类题必须十分重视“至少”与“最多”这两个关键词的含义,谨防重复与漏解.用直接法和间接法都可以求解,用直接法分类复杂时,常考虑用间接法处理.202-1(2017北京海淀一模,7)甲、乙、丙、丁、戊五人排成一排,甲和乙都排在丙的同一侧,排法种数为()A.12B.40C.60D.80D答案答案D解法一:五人任意排成一排有=120种方法.甲和乙都排在丙的同一侧的方法占其中的,从而有80种排法.解法二:先排丁、戊,有种排法;再确定甲、乙在丙的
11、哪一侧,有种排法;最后排甲、乙、丙,有种排法,共有=80种排法.故选D.B21考点三排列与组合的综合应用典例3(1)将标号为1,2,3,4的四个篮球分给三位小朋友,每位小朋友至少分到一个篮球,且标号1,2的两个篮球不能分给同一个小朋友,则不同的分法种数为()A.15B.20C.30D.42(2)从0,1,2,3,4,5这六个数字中任取两个奇数和两个偶数,组成没有重复数字的四位数的个数为()A.300B.216C.180D.16222答案答案(1)C(2)C解析解析(1)四个篮球中两个分到一组有种分法,三个篮球进行全排列有种分法,标号1,2的两个篮球分给同一个小朋友,有种分法,不同的分法种数为-
12、=30.故选C.(2)分两类:第1类,不取0,即从1,2,3,4,5中任取两个奇数和两个偶数,组成没有重复数字的四位数,根据分步乘法计数原理可知,共有=72个没有重复数字的四位数;第2类,取0,此时2和4只能取一个,再取两个奇数,组成没有重复数字的四位数,根据分步乘法计数原理可知,共有(-)=108个没有重复数字的四位数.根据分类加法计数原理可知,满足题意的四位数共有72+108=180(个).23方法技巧方法技巧(1)解排列、组合综合题目,一般是将符合要求的元素取出(组合)或进行分组,再对取出的元素或分好的组进行排列.(2)解决不同元素的分配问题,往往是先分组再分配.在分组时,通常有三种类型:不均匀分组;均匀分组;部分均匀分组.注意无序均匀(或部分均匀)分组要除以均匀组数的阶乘数,有序分组要在无序分组的基础上乘分组数的阶乘数.243-1甲、乙、丙、丁四名同学和一名老师站成一排合影留念.要求老师必须站在正中间,甲同学不与老师相邻,则不同站法的种数为.答案答案1212解析解析老师必须站在正中间,则老师的位置是指定的;甲同学不与老师相邻,则甲同学可以站两端,故不同站法的种数为=12.B25
