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1、第四节导数的综合应用1总纲目录教材研读1.利用导数证明不等式的基本步骤考点突破2.一元三次方程根的个数问题考点二利用导数研究恒成立，存在性问题考点二利用导数研究恒成立，存在性问题考点一利用导数研究函数的零点或方程的根考点三用导数证明不等式考点三用导数证明不等式2教材研读教材研读1.利用导数证明不等式的基本步骤利用导数证明不等式的基本步骤(1)作差或变形.(2)构造新的函数h(x).(3)对h(x)求导.(4)利用h(x)判断h(x)的单调性或最值.(5)下结论.32.一元三次方程根的个数问题一元三次方程根的个数问题令f(x)=ax3+bx2+cx+d(a0),则f(x)=3ax2+2bx+c.
2、方程f(x)=0的判别式=(2b)2-12ac,(1)当0,即b23ac时,f(x)0恒成立,f(x)在R上为增函数,又易知存在x、xR,使f(x)f(x)0,即b23ac时,方程f(x)=0有两个实根,设为x1,x2(x1m).a.当m0时,方程f(x)=0有一个实根;b.当m=0时,方程f(x)=0有两个实根;c.当m0时,方程f(x)=0有三个实根;4d.当M=0时,方程f(x)=0有两个实根;e.当M0是f(x)有三个不同零点的必要而不充分条件.6解析解析(1)由f(x)=x3+ax2+bx+c,得f(x)=3x2+2ax+b.因为f(0)=c,f(0)=b,所以曲线y=f(x)在点(
3、0,f(0)处的切线方程为y=bx+c.(2)当a=b=4时,f(x)=x3+4x2+4x+c,所以f(x)=3x2+8x+4.令f(x)=0,得3x2+8x+4=0,解得x=-2或x=-.7x(-,-2)-2-f(x)+0-0+f(x)cc-f(x)与f(x)在区间(-,+)上的情况如下表:所以,当c0且c-0时,存在x1(-4,-2),x2,x3,使得f(x1)=f(x2)=f(x3)=0.由f(x)的单调性知,当且仅当c时,函数f(x)=x3+4x2+4x+c有三个不同零点.8(3)证明:当=4a2-12b0,x(-,+),此时函数f(x)在区间(-,+)上单调递增,所以f(x)不可能有
4、三个不同零点.当=4a2-12b=0时,f(x)=3x2+2ax+b只有一个零点,记作x0.当x(-,x0)时,f(x)0,f(x)在区间(-,x0)上单调递增;当x(x0,+)时,f(x)0,f(x)在区间(x0,+)上单调递增.所以f(x)不可能有三个不同零点.9综上所述,若函数f(x)有三个不同零点,则必有=4a2-12b0.故a2-3b0是f(x)有三个不同零点的必要条件.当a=b=4,c=0时,a2-3b0,f(x)=x3+4x2+4x=x(x+2)2只有两个不同零点,所以a2-3b0不是f(x)有三个不同零点的充分条件.因此a2-3b0是f(x)有三个不同零点的必要而不充分条件.1
5、0方法技巧方法技巧利用导数研究方程根的方法(1)研究方程根的情况,可以通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等.(2)根据题目要求,画出函数图象的走势规律,标明函数极(最)值的位置.(3)可以通过数形结合的思想去分析问题,使问题的求解有一个清晰、直观的整体展现.111-1(2018北京海淀高三期末,19)已知函数f(x)=2ex-ax2-2x-2.(1)求曲线y=f(x)在点(0,f(0)处的切线方程;(2)当a0时,求证:函数f(x)有且只有一个零点;(3)当a0时,写出函数f(x)的零点的个数.(只需写出结论)12解析解析(1)因为函数f(x)=2ex-ax2-2x-2,所以f
6、(x)=2ex-2ax-2,故f(0)=0,f(0)=0,曲线y=f(x)在x=0处的切线方程为y=0.(2)证明:当a0时,令g(x)=f(x)=2ex-2ax-2,则g(x)=2ex-2a0,故g(x)是R上的增函数.又g(0)=0,故当x0时,g(x)0时,g(x)0.即当x0时,f(x)0时,f(x)0.故f(x)在(-,0)单调递减,在(0,+)单调递增,函数f(x)的最小值为f(0).又f(0)=0,故f(x)有且仅有一个零点.(3)当0a1时,f(x)有两个零点.13考点二利用导数研究恒成立考点二利用导数研究恒成立,存在性问题存在性问题命题方向一不等式恒成立问题命题方向一不等式恒
7、成立问题典例典例2设函数f(x)=aex-x-1,aR.(1)当a=1时,求f(x)的单调区间;(2)当x(0,+)时,f(x)0恒成立,求a的取值范围;(3)求证:当x(0,+)时,ln.14解析解析(1)当a=1时,f(x)=ex-x-1,则f(x)=ex-1.令f(x)=0,得x=0.当x变化时,f(x),f(x)的变化情况如下表:x(-,0)0(0,+)f(x)-0+f(x)极小值所以当x0时,f(x)0时,f(x)0,f(x)在(0,+)上单调递增.15(2)因为ex0,所以f(x)=aex-x-10恒成立等价于a恒成立.设g(x)=,x0,+),则g(x)=,当x0,+)时,g(x
8、)0,所以g(x)在0,+)上单调递减,所以x(0,+)时,g(x)恒成立,所以a1,+).16(3)证明:当x(0,+)时,ln等价于ex-x-10.设h(x)=ex-x-1,x(0,+),则h(x)=ex-=.由(1)易知,x(0,+)时,ex-x-10恒成立,所以x(0,+)时,(0,+),有-10,所以h(x)0.所以h(x)在(0,+)上单调递增,当x(0,+)时,h(x)h(0)=0.因此当x(0,+)时,ln.17典例典例3已知函数f(x)=x-alnx,g(x)=-(a0).(1)若a=1,求函数f(x)的极值;(2)设函数h(x)=f(x)-g(x),求函数h(x)的单调区间
9、;(3)若存在x01,e,使得f(x0)g(x0)成立,求a的取值范围.命题方向二存在性问题命题方向二存在性问题18解析解析(1)f(x)=x-alnx的定义域为(0,+).当a=1时,f(x)=.令f(x)=0,解得x=1.当0 x1时,f(x)1时,f(x)0,f(x)单调递增,所以f(x)无极大值,且当x=1时,函数f(x)取得极小值,极小值为f(1)=1-ln1=1.(2)h(x)=f(x)-g(x)=x-alnx+,其定义域为(0,+),则h(x)=.由a0可得1+a0,当x(0,1+a)时,h(x)0,19所以h(x)的单调递减区间为(0,1+a);单调递增区间为(1+a,+).(
10、3)由(2)可知,“在1,e上存在x0,使得f(x0)g(x0)成立”等价于“在1,e上存在x0,使得h(x0)0成立”,即h(x)在1,e上的最小值小于零.当1+ae,即ae-1时,易知h(x)在1,e上单调递减,故h(x)在1,e上的最小值为h(e).由h(e)=e+-a,因为e-1,所以a.当11+ae,即0ae-1时,易知h(x)在(1,1+a)上单调递减,在(1+a,e)上单调递增,故h(x)在1,e上的最小值为h(1+a)=2+a-aln(1+a).20因为0ln(1+a)1,所以0aln(1+a)2,即h(1+a)2,不满足题意.综上所述,a的取值范围为.21方法技巧方法技巧“恒
11、成立”与“存在性”问题可看作一类问题,一般都可通过求相关函数的最值来解决,如:当f(x)在xD上存在最大值和最小值时,若f(x)g(a)对于xD恒成立,应求f(x)在xD上的最小值,将原条件转化为g(a)f(x)min,若f(x)g(a)对于xD恒成立,应求f(x)在xD上的最大值,将原条件转化为g(a)f(x)max;若存在xD,使得f(x)g(a)成立,应求f(x)在xD上的最大值,将原条件转化为g(a)f(x)max,若存在xD,使得f(x)g(a)成立,应求f(x)在xD上的最小值,将原条件转化为g(a)f(x)min.222-1(2017北京东城二模,18)设函数f(x)=(x2+a
12、x-a)e-x(aR).(1)当a=0时,求曲线y=f(x)在点(-1,f(-1)处的切线方程;(2)设g(x)=x2-x-1,若对任意的t0,2,存在s0,2使得f(s)g(t)成立,求实数a的取值范围.23解析解析(1)当a=0时,f(x)=x2e-x,此时f(x)=(-x2+2x)e-x,所以f(-1)=-3e,又因为f(-1)=e,所以曲线y=f(x)在点(-1,f(-1)处的切线方程为3ex+y+2e=0.(2)“对任意的t0,2,存在s0,2使得f(s)g(t)成立”等价于“在区间0,2上,f(x)的最大值大于或等于g(x)的最大值”.因为g(x)=x2-x-1=-,所以g(x)在
13、0,2上的最大值为g(2)=1.f(x)=(2x+a)e-x-(x2+ax-a)e-x=-e-x(x-2)(x+a),令f(x)=0,得x=2或x=-a.24当-a0,即a0时,f(x)0在0,2上恒成立,此时f(x)在0,2上为单调递增函数,f(x)的最大值为f(2)=(4+a),由(4+a)1,得ae2-4.当0-a2,即-2a0时,当x(0,-a)时,f(x)0,此时f(x)为单调递增函数.所以f(x)的最大值为f(0)=-a或f(2)=(4+a),25由-a1,得a-1;由(4+a)1,得ae2-4.又因为-2a0,所以-20,lnx-等价于xlnx-.设函数g(x)=xlnx.令g(
14、x)=1+lnx=0,解得x=.列表如下:xg(x)-0+g(x)-28因此,函数g(x)的最小值为g=-,故xlnx-,即lnx-.(3)曲线y=f(x)位于x轴下方.理由如下:由(2)可知lnx-,所以f(x)-=.设k(x)=-(x0),则k(x)=.令k(x)0,得0 x1;令k(x)1.所以k(x)在(0,1)上为增函数,在(1,+)上为减函数.所以当x0时,k(x)k(1)=0恒成立,当且仅当x=1时,k(1)=0.又因为f(1)=-0,所以f(x)0恒成立.故曲线y=f(x)位于x轴下方.29规律总结规律总结证明f(x)g(x),x(a,b),可以构造函数F(x)=f(x)-g(
15、x),如果F(x)0,则F(x)在(a,b)上是减函数,同时若F(a)0,由减函数的定义可知,x(a,b)时,有F(x)0,即证明了f(x)0时,f(x)1-.31解析解析(1)由题意可得f(x)=,则f(1)=1,又f(1)=0,所以曲线y=f(x)在点(1,f(1)处的切线方程为y=x-1.(2)证明:由题意知函数f(x)的定义域为(0,+),令g(x)=f(x)-=lnx-1+,则g(x)=-=,令g(x)=0,得x=1.易知当x1时,g(x)0;当0 x1时,g(x)0,32即g(x)=f(x)-0,即f(x)1-.所以g(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+)上单调递增,所以g(x)min=g(1)=0,g(x)g(1)=0,33
