《平面几何四个重要定理》由会员分享，可在线阅读，更多相关《平面几何四个重要定理（6页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、本文格式为Word版，下载可任意编辑平面几何四个重要定理 平面几何： 1、四个重要定理： 梅涅劳斯(Menelaus)定理（梅氏线） ABC的三边BC、CA、AB或其延长线上有点P、Q、R，那么P、Q、R共线的充要条 件是 。 塞瓦(Ceva)定理（塞瓦点） ABC的三边BC、CA、AB上有点P、Q、R，那么AP、BQ、CR共点的充要条件是 。 托勒密(Ptolemy)定理 四边形的两对边乘积之和等于其对角线乘积的充要条件是该四边形内接于一圆。 西姆松(Simson)定理（西姆松线） 从一点向三角形的三边所引垂线的垂足共线的充要条件是该点落在三角形的外接圆上。 例题： 1 设AD是ABC的边B
2、C上的中线，直线CF交AD于F。求证：。 【分析】CEF截ABD（梅氏定理） 【评注】也可以添加辅佐线证明：过A、B、D之一作CF的平行线。 2 过ABC的重心G的直线分别交AB、AC于E、F，交CB于D。 求证：。 【分析】连结并延长AG交BC于M，那么M为BC的中点。DEG截ABM（梅氏定理） DGF截ACM【评注】梅氏定理 （梅氏定理）=1 3 D、E、F分别在ABC的BC、CA、AB边上， ，AD、BE、CF交成LMN。 求SLMN。 【分析】 【评注】梅氏定理 4 以ABC各边为底边向外作好像的等腰BCE、CAF、ABG。求证：AE、BF、CG相交于一点。 【分析】【评注】塞瓦定理
3、5 已知ABC中，B=2C。求证：AC=AB+ABBC。 【分析】过A作BC的平行线交ABC的外接圆于D，连结BD。那么CD=DA=AB，AC=BD。 由托勒密定理，ACBD=ADBC+CDAB。 【评注】托勒密定理 2 2 6 已知正七边形A1A2A3A4A5A6A7。求证： 赛） 。（第21届全苏数学竞 【分析】【评注】托勒密定理 7 ABC 的BC边上的高AD的延长线交外接圆于P，作 PEAB于E，延长ED交AC延长线于F。求证：BCEF=BFCE+BECF。 【分析】【评注】西姆松定理（西姆松线） 8 正六边形ABCDEF的对角线AC、CE分别被内分点M、分成的比为AM：AC=CN：C
4、E=k，且B、M、N共线。求k。（23-IMO-5） 【分析】 【评注】面积法 9 O为ABC内一点，分别以da、db、dc表示O到BC、CA、AB的距离，以Ra、Rb、Rc表示O到A、B、 C的距离。 求证：（1）aRabdb+cdc; (2) aRacdb+bdc; (3) Ra+Rb+Rc2(da+db+dc)。 【分析】 【评注】面积法 10ABC中，H、G、O分别为垂心、重心、外心。 求证：H、G、O三点共线，且HG=2GO。（欧拉线） 【分析】 【评注】同一法 11ABC中，AB=AC，ADBC于D，BM、BN三等分ABC，与AD相交于M、N，延长CM交AB于E。 求证：MB/NE
5、。 【分析】 【评注】对称变换 12G是ABC的重心，以AG为弦作圆切BG于G， 2 延长CG交圆于D。求证：AG=GCGD。 【分析】 【评注】平移变换 N 13C是直径AB=2的O上一点，P在ABC内，若PA+PB+PC的最小值是 ，求此时ABC的面积S。 【分析】 【评注】旋转变换 费马点： 已知O 是ABC内一点，AOB=BOC=COA=120；P是ABC内任一点，求证：PA+PB+PCOA+OB+OC。（O为费马点） 【分析】将CC，OO， PP，连结OO、PP。那么B OO、 B PP都是正三角形。 OO=OB，PP=PB。鲜明BOCBOC，BPCBPC。 由于BOC=BOC=12
6、0=180-BOO，A、O、O、C四点共线。 AP+PP+PCAC=AO+OO+OC，即PA+PB+PCOA+OB+OC。 14(95全国竞赛) 菱形ABCD的内切圆O与各边分别交于E、F、G、H，在弧EF和弧GH上分别作O的切线交AB、BC、CD、DA分别于M、N、P、Q。 求证：MQ/NP。 【分析】由ABCD知：要证MQNP，只需证AMQ=CPN， 结合A=C知，只需证 AMQCPN ，AMCN=AQCP。 与O切于MOK=， 连结AC、BD，其交点为内切圆心O。设MNK，连结OE、OM、OK、ON、OF。记ABO=，KON=，那么 EOM=，FON=，EOF=2+2=180-2。 BO
7、N=90-NOF-COF=90-= CNO=NBO+NOB=+=AOE+MOE=AOM 又OCN=MAO，OCNMAO，于是AMCN=AOCO 同理，AQCP=AOCO。 【评注】 ， 15(96全国竞赛)O1和O2与ABC的三边所在直线都相切，E、F、G、H为切点，EG、FH的延长线交于P。求证：PABC。 【分析】 【评注】 16(99全国竞赛)如图，在四边形ABCD中，对角CD上取一点E，BE与AC相交于F，延长DF交BCGAC=EAC。 线AC平分BAD。在于G。求证： 证明：连结BD交AC于H。对BCD用塞瓦定理，可得 由于AH是BAD的角平分线，由角平分线定理， 可得 过C作AB的平行线线于J。 ，故。 交AG的延长线于I，过C作AD的平行线交AE的延长 那么， 所以，从而CI=CJ。 6
