《（北京专用）2019版高考数学一轮复习第三章导数及其应用第三节导数与函数的极值、最值课件理》由会员分享，可在线阅读，更多相关《（北京专用）2019版高考数学一轮复习第三章导数及其应用第三节导数与函数的极值、最值课件理（35页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第三节导数与函数的极值、最值1总纲目录教材研读1.函数的极值与导数考点突破2.函数的最值与导数考点二运用导数解决函数的最值问题考点二运用导数解决函数的最值问题考点一运用导数解决函数的极值问题考点三函数极值与最值的综合应用考点三函数极值与最值的综合应用2教材研读教材研读1.函数的极值与导数函数的极值与导数(1)函数的极小值若函数y=f(x)在点x=a的函数值f(a)比它在点x=a附近其他点的函数值都小,f(a)=0,而且在点x=a附近的左侧f(x)0,则点a叫做函数y=f(x)的极小值点,f(a)叫做函数y=f(x)的极小值.(2)函数的极大值若函数y=f(x)在点x=b的函数值f(b)比它在点
2、x=b附近其他点的函数值都大,f(b)=0,而且在点x=b附近的左侧f(x)0,右侧f(x)-1时,y0;当x-1时,y0.当x=-1时函数取得最小值,且ymin=-.故选C.C63.已知f(x)是定义域为R的偶函数,当x0时,f(x)=(x+1)3ex+1,那么函数f(x)的极值点的个数是()A.5B.4C.3D.2答案答案C当x0时,x=4也是原函数的极值点,又因为此函数为偶函数,故y轴左、右两侧函数的单调性不一致,即x=0也是极值点,故选C.C74.函数f(x)=x-alnx(a0)的极小值为a-alna.答案答案a-alna解析解析f(x)的定义域为(0,+),易知f(x)=1-.由f
3、(x)=0,解得x=a(a0).又当x(0,a)时,f(x)0,函数f(x)在x=a处取得极小值,且极小值为f(a)=a-alna.8考点一运用导数解决函数的极值问题考点一运用导数解决函数的极值问题命题方向一求已知函数的极值命题方向一求已知函数的极值典例典例1若x=-2是函数f(x)=(x2+ax-1)ex-1的极值点,则f(x)的极小值为()A.-1B.-2e-3C.5e-3D.1考点突破考点突破A9答案答案A解析解析由题意可得f(x)=ex-1x2+(a+2)x+a-1.x=-2是函数f(x)=(x2+ax-1)ex-1的极值点,f(-2)=0,a=-1,f(x)=(x2-x-1)ex-1
4、,f(x)=ex-1(x2+x-2)=ex-1(x-1)(x+2),x(-,-2),(1,+)时,f(x)0,f(x)单调递增;x(-2,1)时,f(x)0恒成立,所以f(x)0 x1,f(x)00 x1.所以f(x)的单调递增区间为(1,+),单调递减区间为(0,1).(3)若f(x)在(0,1)内有极值,则f(x)在(0,1)内有解.12令f(x)=0(x(0,1)ex-ax=0a=.设g(x)=,x(0,1),所以g(x)=,当x(0,1)时,g(x)e时,f(x)=0在(0,1)内有解.设H(x)=ex-ax,则H(x)=ex-a0,H(1)=e-ae时,f(x)在(0,1)内有极值且
5、唯一.当ae时,f(x)0在(0,1)上恒成立,则f(x)在(0,1)上单调递增,不符合题意.综上,a的取值范围为(e,+).x(0,x0)x0(x0,1)H(x)+0-f(x)-0+f(x)极小值14方法技巧方法技巧1.利用导数研究函数极值问题的一般流程152.已知函数极值点和极值求参数的两个要领(1)列式:根据极值点处导数为0和极值列方程组,利用待定系数法求解.(2)验证:因为一点处的导数值等于零不是此点为极值点的充要条件,所以利用待定系数法求解后必须验证根的合理性.161-1已知函数f(x)=(x2+bx+b)(bR).(1)当b=4时,求f(x)的极值;(2)若f(x)在区间上单调递增
6、,求b的取值范围.17解析解析(1)当b=4时,f(x)=(x+2)2,定义域为,f(x)=2(x+2)+(x+2)2(-2)=.令f(x)=0,解得x1=-2,x2=0.当x-2或0 x时,f(x)0,所以f(x)在(-,-2),上单调递减;当-2x0,所以f(x)在(-2,0)上单调递增.所以当x=-2时,f(x)有极小值f(-2)=0;当x=0时,f(x)有极大值f(0)=4.(2)f(x)在上单调递增f(x)0,且不恒等于0,对任意x恒成立.又f(x)=(2x+b)+(x2+bx+b)(-2)=,18所以-5x2-3bx+2x0,所以b.因为=,所以b.19典例典例3(2017北京,1
7、9,13分)已知函数f(x)=excosx-x.(1)求曲线y=f(x)在点(0,f(0)处的切线方程;(2)求函数f(x)在区间上的最大值和最小值.考点二运用导数解决函数的最值问题考点二运用导数解决函数的最值问题20解析解析(1)因为f(x)=excosx-x,所以f(x)=ex(cosx-sinx)-1,f(0)=0.又因为f(0)=1,所以曲线y=f(x)在点(0,f(0)处的切线方程为y=1.(2)设h(x)=ex(cosx-sinx)-1,则h(x)=ex(cosx-sinx-sinx-cosx)=-2exsinx.当x时,h(x)0,所以h(x)在区间上单调递减.所以对任意x有h(
8、x)h(0)=0,即f(x)0)的导函数y=f(x)的两个零点为-3和0.(1)求f(x)的单调区间;(2)若f(x)的极小值为-e3,求f(x)的极大值及f(x)在区间-5,+)上的最大值.考点三函数极值与最值的综合应用考点三函数极值与最值的综合应用26解析解析(1)f(x)=,令g(x)=-ax2+(2a-b)x+b-c,因为ex0,所以y=f(x)的零点就是g(x)=-ax2+(2a-b)x+b-c的零点,且f(x)与g(x)符号相同.因为a0,所以由题意知:当-3x0,即f(x)0;当x0时,g(x)0,即f(x)5=f(0),所以函数f(x)在区间-5,+)上的最大值是5e5.(2)
9、由(1)知,x=-3是f(x)的极小值点,所以有28方法技巧方法技巧解决函数极值、最值问题的策略(1)求极值、最值时,要求步骤规范,含参数时,要讨论参数的大小.(2)求函数最值时,不可想当然地认为极值就是最值,要通过比较才能下结论,即函数在给定闭区间上存在极值,一般要将极值与端点值进行比较才能确定最值.293-1(2017北京海淀一模,18)已知函数f(x)=x2-2ax+4(a-1)ln(x+1),其中实数a3.(1)判断x=1是否为函数f(x)的极值点,并说明理由;(2)若f(x)0在区间0,1上恒成立,求a的取值范围.30解析解析解法一:(1)由f(x)=x2-2ax+4(a-1)ln(
10、x+1)可得函数的定义域为(-1,+),f(x)=2x-2a+=,由f(x)=0得x1=1,x2=a-2.因为a3,所以a-21.当a1时,a-2-1.31x(-1,1)1(1,+)f(x)-0+f(x)极小值当x变化时,f(x),f(x)的变化情况如下表:当1a3时,-1a-21.当x变化时,f(x),f(x)的变化情况如下表:x(-1,a-2)a-2(a-2,1)1(1,+)f(x)+0-0+f(x)极大值极小值综上,x=1是函数f(x)的极值点,且为极小值点.32(2)易知f(0)=0,由(1)可知,当a2时,函数f(x)在区间0,1上单调递减,所以有f(x)0恒成立;当2af(0)=0
11、,所以不等式f(x)0不能恒成立.所以a2时有f(x)0在区间0,1上恒成立.33解法二:(1)由f(x)=x2-2ax+4(a-1)ln(x+1)可得函数的定义域为(-1,+),f(x)=2x-2a+=,令g(x)=x2+(1-a)x+(a-2),经验证g(1)=0,因为a0,说明:写明=(1-a)2-4(a-2)=a2-6a+9=(a-3)20也可以由二次函数的性质可得,1是g(x)=x2+(1-a)x+(a-2)的异号零点,所以1是f(x)的异号零点,所以x=1是函数f(x)的极值点.34(2)易知f(0)=0,因为f(x)=,又因为a3,所以a-21,所以当a2时,在区间0,1上f(x)0,所以函数f(x)单调递减,所以有f(x)0恒成立;当2a0,所以函数f(x)单调递增,所以f(a-2)f(0)=0,所以不等式f(x)0不能恒成立.所以a2时有f(x)0在区间0,1上恒成立.35
