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1、本文格式为Word版，下载可任意编辑2022高等代数复习题 一、 单项选择题 1.假设把x1?0,x2?0,?,xn?0代入实二次型f(x1,?,xn)?nnaijxixj i?1j?1都有f(x1?xn)?0,那么f是( ) (A)正定 (B)半正定 (C)未必正定 (D)负定 2.实对称矩阵A的秩等于r,且它有m个正特征根,那么它的符号差为 ( ) (A) r (B) m (C) 2m-r (D) r-m 3.设f?x1,x2,?,xn?为n元实二次型，那么f?x1,x2,?,xn?负定的充要条件为（ ） (A)负惯性指数=f的秩 (B)正惯性指数=0 (C)符号差=?n (D)f的秩=n
2、 4.设?1,?2,?,?m?是线性空间V的一个向量组,它是线性无关的充要条件为（ ） m(A) 任一组不全为零的数k1,k2,?,km，都有 ?ki?i?0； i?1m(B)任一组数k1,k2,?,km，有 ?ki?i?0； i?1m(C)当k1?k2?km?0时，有 ?ki?i?0； i?1m(D) 任一组不全为零的数k1,k2,?,km，都有 ?ki?i?0 i?15.设W1?P3x,W2?P4x那么dim(W1?W2)?（ ） （A）2； （B）3； （C）4； （D）5 6.数域F上n维空间V有（ ）个基： （A）1； （B）n； （C）n!； （D）无穷多 7.若W1,W2都是n维
3、线性空间V的子空间，那么（ ） (A)维?W1?+维?W1?W2?=维?W2?+维?W1?W2?； (B)维?W1?W2?=维?W1?+维?W2?； (C)维?W1?+维?W1?W2?=维?W2?+维?W1?W2?； (D)维?W1?-维?W1?W2? =维?W1?W2?-维?W2?。 8.W1与W2是n维复空间V的两个子空间，且dimW1?r1,dimW2?r2，那么W1?W2的维数为（ ） (A) dim(W1?W2)?r1?r2 (B) dim(W1?W2)?r1?r2 (C) max(r1,r2)?dim(W1?W2)?min(r1?r2,n) 9.设?是n维线性空间V的线性变换，那么
4、以下错误的说法是（ ） (A)?是单射?的零度=0； (B)?是满射?的秩=n； (C)?是可逆的?核?=?0?； (D)?是双射?是单位变换。 10. ?是线性空间V上的线性变换，?(x1,x2,x3)?(2x1?x2,x2?x3,x1)，那么?关于V的基 ?1?(1,0,0),?2?(0,1,0),?3?(0,0,1)的矩阵是 （ ） ?200?2?10?210?2?10? (A) ?110? (B)?011? (C)?111? (D)?111? ?011?100?00?1?000?11.同一个线性变换在不同基下的矩阵是（ ） (A)合同的； (B)好像的； (C)相等的； (D)正交的
5、12.对于数域P上线性空间V的数乘变换来说 （ ）不变子空间 (A) 只有一个 (B) 只有两个 (C)每个子空间都是 (D)不存在 ?113、设?0?0是矩阵A的特征根，并且有A?0，那么?0是（ ）的一个特征根. （A）?A； （B）A?； （C）A*； （D）A?1 14.两个矩阵好像的是 （ ） ?11?10?11?21?10?11?11?11? (A)?,? (B)?,? (D)?,? (C)?,? 0101111202220222?15.设V是n维欧氏空间 ，那么V中的元素具有如下性质（ ） (A)若?,?,?； (B)若?； (C)若?,?1?1； (D)若?,?0?。 16、?
6、a1?a3a2?b1b2?2?2,?R，如下定义的实数(?,?), a4?b3b4?2?2那么（ ）可做成R 的内积. （A）(?,?)?a1b1； （B）(?,?)?a1b2?a2b3?a3b4?a4b1； （C）(?,?)?a1a3?a4b4； （D）(?,?)?a1b1?2a2b2?3a3b3?4a4b4 17、欧氏空间R中的标准正交基是（ ） 3(A)?1?2?1,0,1?11?11?11?,0,?;?;?0,1,0?； (B)?,0?;?,0,?;?0,0,1?； 2?22?22?22?13,1?111?;?,?,?;?0,0,0?； (D)?1,?1,1?;?1,1,1?;?1,1
7、,?1? 3?333?(C) ?3,18.?为欧氏空间V上的对称变换，下面正确的是 （ ） (A) (?(?),?(?)?(?,?) (B)(?,?(?)?(?(?),?) (C) (?(?),?)?(?,?(?) 19.设?1?2是欧氏空间V的对称变换?的特征根，?1,?2是?的属于?1的特征向量，?3,?4是?的属于?2的特征向量，那么（ ）成立. （A）?1,?2,?3,?4两两正交； （B）?1,?2线性无关且?3,?4线性无关，那么?1,?2,?3,?4两两正交； （C）确定有(?1,?3)?(?1,?4)?(?2,?4)?(?2,?3)?0； （D）若?1,?2正交且?3,?4正交
8、，那么?1,?2,?3,?4是正交组. 20.?是n维欧氏空间V的正交变换，（ ）是正确的. （A）?把V的标准正交基变为标准正交基； （B）?关于任意基的矩阵是正交矩阵； （C）若?(?1),?,?(?n)不是V的标准正交基，那么?1,?,?n也不是V的标准正交基； （D）?关于基?1,?,?n的矩阵A不是正交矩阵，那么?1,?,?n不是V的标准正交基. 21.对于n阶实对称矩阵A，以下结论正确的是（ ） （A）A有n个不同的特征根；（B）A的特征根确定是整数； （C）存在正交矩阵T，使得：T?AT为对角形矩阵； （D）A的属于不同特征根的特征向量必定线性无关，但不确定正交. 二、 填空题
9、1. 写出二次型f(x1,x2,x3)?2x1?7x2?4x3?8x1x2?2x1x3?4x2x3的矩阵 2设A为n级实对称矩阵，那么A正定的充要条件是A的特征多项式的根 3数域P上全体反对称矩阵作成线性空间T?A?Pnn?n222|A?A，那么T的维数为 4.n阶正交矩阵的n行（列）可作为欧氏空间R的一组 _基. 5.设A?Pn?n，且秩(A)?r，W为齐次线性方程式组Ax?0的解空间，那么W不是零子空间的充要 条件为 . 6.数域P上每一个n维线性空间都与 同构. 7.在线性空间V中，定义?0（其中?0是V中一个固定向量），那么当?0? 时，?是V的一个线性变换。 8.R3的两个线性变换
10、?,?为?(x1,x2,x3)?(x1?x2,x2,x3?x1),?(x1,x2,x3)?(x1,0,0),并且 ?(1,0,?1R)3，那么(?)(?)?_ 9.P2?2中，A?10?01?ab?2?2?,?(x)?xA,?x?PE?E?，那么线性变换关于基，?1112?cd?00?00?00?00?E21?10?，E22?01?的矩阵为 . ?10.若线性变换?关于基?1,?2?的矩阵为?a?cb?，那么?关于基?3?2,?1?的矩阵为 。 ?d?11.三阶矩阵A的特征值为-1，2，4，那么A的迹Tr(A)?_,|A|?_ 12.?,?是线性空间V上的线性变换且?，那么?的值域与核也是?的
11、 子空间，且?,?有_特征向量. 13.n阶实对称矩阵的集合按合同分类，可分为 类. 14.两个欧氏空间同构的充要条件是它们有 . 15.设三阶方阵A的特征根是3和?3（二重）那么A?的全部特征根为 . 16.Rn对内积(?,?)?a1b1?2a2b2?nanbn?(a1,?,an),?(b1,?,bn)? 做成欧氏空间，其柯西-布涅柯夫斯基不等式为 . 17.n维欧氏空间的变换?既是对称变换又是反对称变换，那么?是 变换. 18.实对称矩阵的属于不同特征根的特征向量是彼此 的. ?a11x1?a12x2?a13x3?b1?19.若A?(aij)3?3是一个正交矩阵,那么方程组:?a21x1?
12、a22x2?a23x3?b2的解为 . ?ax?ax?ax?b3223333?311三判断题 1.正定矩阵的特征值确定大于0.（） 2.n维欧几里得空间V的每个子空间都有正交补，但不唯一。（） 3. 在n维欧几里得空间V中，内积为(,),设基?1,?2,?,?n的度量矩阵为A，基?1,?2,?,?n的度量矩阵为B，那么A与B好像。（） 4.线性变换A可以在某组基下的矩阵为对角矩阵的充要条件是A有n个不同的特征向量。（） 5.线性变换在不同的基下所对应的矩阵是好像的。（） 6.线性变换将线性无关的向量组变换成线性无关的向量组。（） 7.设V1与V2分别是方程x1?x2?xn?0与x1?x2?xn
13、的解空间，那么V1?V2是直和。 8. A是复数域上线性空间V上的一个线性变换，那么在V中确定存在一组基，使A在此基下的矩阵为Jordan形矩阵。（） 四、计算题 1.在R4中设向量组：?1?(001?1)?2?(10,01)，?3?(010?1)， ?4?(12?21),?5?(2?130) (1)求由?1,?2,?3,?4,?5生成的线性子空间的基和维数。 (2)求向量?(24?42)在此基下的坐标。 2.设?1,?2,?,?n是n维向量空间V的一组基，?1,?1?2,?,?1?2?n也是V的一组基，若向量 ?关于前一个基的坐标为(n,n?1,?,2,1)，求?关于后一个基的坐标。 3.设V1是由?1?10?10?，?2?0121?，?3?2101?生成的线性空间,V2是由 ?1?1111?,?2?1?1?3?1?，?3?11?11?生成的线性空间. (1)求V1?V2
